Pláticas
Paul Vladimir Barajas Guzmán
"Explorando Singularidades a través de Derivaciones y Espacios de Arcos."
Durante los años 60, motivado por los recientes avances en la resolución de singularidades de
Hironaka, J. Nash introdujo dos objetos fundamentales que revolucionaron la teoría de singularidades:
la explosión de Nash y los espacios de arcos. Aunque estos conceptos tienen una naturaleza
eminentemente geométrica, en esta charla los abordaremos desde una perspectiva puramente algebraica,
utilizando herramientas como el módulo de diferenciales de Kähler y las derivaciones de Hasse-Schmidt.
Exploraremos cómo se comporta la explosión de Nash en esquemas de jets y presentaremos algunos
resultados en esta dirección. Finalmente, discutiremos aspectos interesantes sobre deformaciones
de espacios de arcos y plantearemos algunas preguntas sobre sus duales algebraicos.
Carlos Alfonso Cabrera Ocañas
"Representaciones de grupos como espacios de deformaciones."
TBA
Lucía López de Medrano
TBA
TBA
Mario Eudave Muñoz
Cirugía de Dehn en nudos
Sea K un nudo en la 3-esfera, o sea una curva simple cerrada. Una vecindad regular de K, N(K), es un toro sólido. Al proceso de remover N(K) y volverlo a pegar de manera diferente se le conoce como cirugía de Dehn. El resultado es una 3-variedad cerrada (o sea compacta y sin frontera). También podemos hacer cirugía en un enlace, o sea una colección de curvas simples cerradas, y de hecho cualquier 3-variedad cerrada y orientable se puede obtener de esta manera. Dado un nudo resulta interesante saber que propiedades del nudo se preservan en una 3-variedad obtenida por cirugía, o bien dada una 3-variedad se puede preguntar cómo debe ser un nudo que la produce por cirugía. En esta plática discutiremos algunos problemas abiertos sobre cirugía de Dehn.
Gabriela Hinojosa
"Curvatura total y Área de 2-nudos spun cubulados."
Decimos que un nudo de dimensión dos $K^2$ es \emph{un 2-nudo cubulado,} si es el encaje de una 2-esfera en el 2-esqueleto de la cubulación canónica de $\mathbb{R}^4$; en particular, $K^{2}$ es la unión de $m(K^{2})$ cuadrados unitarios, de aquí que $m(K^{2})$ es su área. Definimos el área minimal de $K^{2}$ como el ínfimo sobre todos las áreas de 2-nudos cubulados isotópicos a $K^2$. El área minimal de un 2-nudo cubulado es un invariante, por lo que la siguiente pregunta surge de manera natural: Dado un 2-nudo, ¿cuál es la área mínima requerida para obtener un 2-nudo cubulado isotópico a éste? De manera an\'aloga, generalizamos la noci\'on de curvatura minimal reticular para 1-nudos cubulados a curvatura minimal cubicular para 2-nudos cubulados, que tambi\'en es un invariante, y estimaremos una cuota para 2-nudos spun cubulados.
José Antonio Seade Kuri
"Grupos de Klein: dinámica y geometría."
Los grupos de Klein fueron introducidos por Poincaré y son grupos de transformaciones de Mobius
en la recta compleja, es decir transformaciones que mandan cada número complejo z en otro complejo
de la forma $(az+b)/(cz +d)$.
Estos grupos tienen propiedades dinámicas y geométricas fascinantes, donde aparecen conceptos
muy bellos y profundos como, por ejemplo, los de conjuntos fractales. En esta charla hablaremos
de estos grupos, empezando desde lo más básico, para llegar a temas en la frontera del conocimiento.
Jawad Snoussi
"Explosiones de Nash en espacios singulares."
Definiremos la modificación o explosión de Nash en espacios algebraicos y analíticos.
Daremos una descripción y algunas propiedades de esta operación.
Enunciaremos algunos resultados y hablaremos de preguntas abiertas sobre el tema.
Cristina Villanueva Segovia
"Variaciones sobre una conjetura de Toeplitz."
¿Toda curva de Jordan contiene los cuatro vértices de un cuadrado euclidiano? Este problema —conocido como el problema del cuadrado inscrito— fue planteado por Toeplitz hace más de cien años y a la fecha no sabemos la respuesta. En esta charla haremos un recorrido por ciertas variantes de este problema, se presentarán algunos resultados que hemos obtenido recientemente y surgirán nuevas preguntas. Más allá de introducir al público a la investigación que hemos estado realizando, espero que este recorrido nos brinde también una muy buena muestra de la profunda (aunque a veces intrincada) relación entre la topología y la geometría.
Carlos Villegas Blas
TBA
TBA
Cintia Pacchiano Camacho
Resultados de Regularidad para Problemas de Fase Doble en Espacios Métricos de Medida
En esta charla, presentamos resultados de acotación, continuidad de Hölder y desigualdades de
Harnack para cuasiminimizadores locales de problemas elípticos de fase doble de tipo $p$-Laplace
en el contexto general de espacios métricos de medida. Las demostraciones siguen un enfoque
variacional, basado en el método de De Giorgi y en un análisis cuidadoso de las fases.
La principal novedad es el uso de un enfoque intrínseco, basado en una desigualdad de
Sobolev-Poincaré de fase doble.
Además, presentamos resultados de regularidad en la frontera para cuasiminimizadores de
funcionales de fase doble. Nuevamente utilizamos un enfoque variacional para obtener una
estimación puntual cerca de un punto de la frontera, así como una condición suficiente para
la continuidad de Hölder. Este es un proyecto en curso, en colaboración con la
Prof. Dra. Antonella Nastasi de la Universidad de Palermo.
Durante las últimas dos décadas, se ha desarrollado una teoría de funciones de Sobolev y cálculo
de primer orden en este contexto abstracto. Una motivación central para desarrollar dicha teoría
ha sido el deseo de unificar las hipótesis y métodos empleados en diversos espacios específicos,
como espacios euclidianos con peso, variedades riemannianas, grupos de Heisenberg, grafos, etc.
El análisis en espacios métricos es hoy en día un campo activo e independiente, que reúne a
investigadores de diferentes áreas del espectro matemático. Tiene aplicaciones en disciplinas
tan diversas como la teoría geométrica de grupos, las EDP no lineales e incluso la ciencia de
la computación teórica. Esto nos puede ofrecer una mejor comprensión de los fenómenos y también
conducir a nuevos resultados, incluso en el caso clásico euclidiano.
María de los Angeles Guevara Hernández
El determinante de nudos alternantes y los números de Catalan
Dado un diagrama de un nudo o enlace, se puede ignorar la información de sus cruces y considerarlo como un grafo plano en la 2-esfera. Este grafo divide la esfera en regiones delimitadas por aristas y vértices. Las regiones complementarias de la proyección del enlace que tienen dos cruces en su frontera se denominan bigonos. En está plática, estudiaremos el comportamiento del determinante de los nudos alternantes al considerar su número mínimo de bigonos. Además, daremos un método para obtener el número de árboles de expansión de ciertos grafos y con ello enunciamos una fórmula para obtener el determinante de los correspondientes nudos alternantes. Mostraremos también una relación entre los números de Catalan y la cerradura de ovillos, lo que ayuda a comprender la estructura de los números de Catalan. Este es un trabajo conjunto con Mario Eudave.
Yesenia Bravo Ortega
Polinomios mixtos bicomplejos y topología de fibraciones de Milnor
En esta charla hablaremos sobre la topología de ciertas aplicaciones polinomiales
reales definidas en R4n, construidas a partir de variables bicomplejas y sus conjugadas.
A estas aplicaciones las denominamos polinomios mixtos bicomplejos.
Introduciremos la noción de homogeneidad con pesos polares, que generaliza
la homogeneidad ponderada en el contexto complejo. Esta estructura nos permitirá establecer
la existencia de fibraciones de Milnor globales y esf´ericas.
Además, presentaremos una versión bicompleja del teorema de Milnor, un resultado
de tipo Join que describe el tipo de homotopía de las fibras en el caso de variables separables,
y hablaremos tambi´en de una introducci´on al c´alculo vectorial bicomplejo.
Estos resultados extienden trabajos previos sobre polinomios mixtos en variables
complejas y sus conjugadas.
Tim Gendron
Geometría cuántica y cuasicristalina al servicio de la teoría de números
En esta charla introducimos geometría cuántica como geometría multivaluada, en donde los
"puntos cuánticos" son torsores respecto a un grupo fijo.
En característica positiva, esta definición se motiva por el concepto de módulo de
Drinfeld cuántico: una generalización multivaluada del módulo de Drinfeld.
En característica cero, introducimos un análogo de módulo de Drinfeld basado en cuasicristales y
el concepto cuántico aliado es una versión multivaluada del mismo. Discutimos la aplicación
de geometría cuántica a la solución del 12 problema de Hilbert en el caso de campos cuadráticas
y reales en característica positiva e indicamos como se contempla usar la versión cuasicristalina
para solucionar el caso de campos cuadráticas y reales en característica cero.