Pláticas
Gregor Weingart
"El flujo geodésico."
Entre los sistemas dinámicos estudiados en detalle en las matemáticas destaca el flujo geodésico de las variedades Riemannianas por su belleza y su interés geométrico y topológico. En general el flujo geodésico es definido para toda
variedad afín de tal manera que sus órbitas periódicas coinciden con las
geodésicas cerradas. En el caso de una superficie hiperbólica por ejemplo
obtenemos una relación entre las órbitas periódicas del flujo geodésico y los
valores propios del operador de Laplace-Beltrami, la Fórmula de Traza de
Selberg.
En mi plática quiero presentar unos ejemplos del flujo geodésico en variedades
Riemannianas particulares como el flujo geodésico en el haz tangente de una
superficie hiperbólica, que resulta en una interpretación sorprendiente del
grupo de Lie SL(2,R). Además quiero discutir unos ejemplos en que el flujo
geodésico es completamente integrable y presentar una familia interesante de
sus integrales primeras, que se llaman tensores de Killing.
Gabriela Hinojosa
"Algunos aspectos de la curvatura minimal de 2-nudos cubulados."
Un 2-nudo cubulado es un encaje de la 2-esfera en el 2-esqueleto de la cubulación canónica de $\mathbb{R}^4$. En esta plática, generalizamos la noción de curvatura total minimal de nudos cubulados de dimensión uno a dimensión dos, como el mínimo sobre todas las curvaturas totales de 2-nudos cubulados que son isotópicos al nudo dado; y abordaremos la siguiente pregunta: ¿cuál es la curvatura total minimal de un 2-nudo si es un 2-nudo cubulado?
Timothy Gendron Thornton
Geometría Cuántica
En esta charla presentaré estructuras que podrían formar la base de una
teoría cuántica de geometría algebraica.
Empezaré con un resumen de la teoría de Weierstrass, que establece una
vinculación profunda entre toros analíticos (cocientes de los complejos
por una retícula) y curvas elípticas (curvas algebraicas de genero 1
definidas sobre los complejos).
Luego introduciré el toro cuántico — un cociente de los reales por un
seudo-retícula densa — y plantaré el problema de encontrar una teoría de
Weiestrass correspondiente.
Para estudiar toros cuánticos, definí (con C. Castaño) una versión
cuántica del invariante modular. Este invariante es multi-valuado y por
ende argumentaré que la generalización cuántica buscada de curva elíptica
es una objeto geométrico cuyos puntos son multi-valuados.
Este interpretación es apoyado cuando consideramos la situación análoga en
característica positiva (en la cual los complejos se reemplazan por campos
de característica positiva), donde un análogo multi-valuada de curva
elíptica jugaba un papel fundamental en la solución del 12 Problema de
Hilbert para campos reales y cuadráticas (trabajo con L. Demangos).
Gustavo Navarrete
Número de asas de exteriores de nudos y enlaces racionales en el 3-toro
En 1967 John Conway introduce la teoría de ovillos: parejas formadas por una 3-bola y dos arcos propiamente encajados con extremos fijos en la frontera de la bola. Los ovillos racionales son aquellos que se pueden obtener del ovillo trivial (dos arcos rectos) mediante una sucesión de twists horizontales o verticales, operaciones que corresponden algebraicamente a fracciones continuas. Conway demostró que existe una correspondencia biyectiva entre ovillos racionales y los números racionales unión el infinito.
Si cerramos un ovillo uniendo los extremos en el exterior de la bola, dentro del espacio tridimensional, es posible formar un nudo o un enlace. En esta plática exploraremos el comportamiento del número de asas en los exteriores de nudos y enlaces obtenidos al encajar estos ovillos dentro del 3-toro, uniendo sus extremos de de una manera muy específica. Todo será estudiado dentro del marco de las descomposiciones de Heegaard y descomposiciones de Heegaard circulares para variedades con sutura.
Carlos Villegas Blas
"On the spectral invariants for the Dirichlet to Neumann map in the unit sphere."
In this talk we consider the Dirichlet to Neumann map (D-N) for the unit sphere in $R^3$. When we are sufficiently far from the origin, the spectrum of such an operator consists of eigenvalue clusters around the natural numbers. The distribution of the corresponding scaled eigenvalue shifts has an asymptotic expansion when the label of the cluster goes to infinity. The asymptotic expansion consists of distributions called spectral invariants. By using the averaging method, asymptotics of the Berezin symbol of the D-N map and a suitable symbol calculus, we compute the first terms of such an expansion in terms of the Radon transform (averages along geodesis of the unit sphere) of derivatives of a function that encodes conductivity properties of the media in the unit ball in $R^3$. This is joint work with S. Perez-Esteva (UNAM, Cuernavaca) and A. Uribe (University of Michigan).
Ana Cristina Chávez Caliz
"Polígonos de Poncelet: estructura, dinámica e invariantes."
Durante su cautiverio en Saratov (1813–1814), Jean Poncelet redactó su Traité des propriétés projectives des figures. Entre sus resultados destaca el Porisma de clausura de Poncelet: si existe un polígono simultáneamente inscrito en una cónica y circunscrito a otra, entonces cualquier punto inicial en la cónica exterior genera un polígono cerrado con las mismas propiedades. A esta familia se le conoce como los polígonos de Poncelet.
Recientemente (2020), Dan Reznik, Ronaldo García y Jair Koiller identificaron diversos invariantes de estos polígonos mediante experimentos numéricos, lo que motivó nuevas demostraciones debidas a Arseny Akopyan, Richard Schwartz, Serge Tabachnikov, Misha Bialy y Hellmuth Stachel.
A pesar de su antigüedad, el Porisma de Poncelet sigue planteando preguntas abiertas. En esta charla presentaré el marco introducido por Phillip Griffiths y Joseph Harris (1978), que permite abordar estos problemas con herramientas contemporáneas de geometría proyectiva y análisis complejo.
Alberto Verjovsky Sola
"Intersección de cuádricas en C^n, variedades complejas y politopos convexos."
Presentamos una construcción geométrica que produce grandes fami- lias de variedades complejas compactas y no kählerianas, obtenidas como espacios de hojas de foliaciones holomorfas no singulares en abiertos del es- pacio proyectivo complejo. Dada una configuración admisible de vectores (Λ1, . . . , Λn) ⊂ C m que satisface las condiciones de Siegel y de hiperbo- licidad débil, analizamos la acción holomorfa lineal de C m sobre C n y la foliación inducida en P n−1 . El conjunto de hojas de tipo Siegel admite una sección transversal natural definida por la intersección explícita de cuadrá- ticas reales, lo cual produce una variedad compleja suave M de dimensión n − m, junto con un cociente compacto M1 y una versión proyectivizada N de dimensión compleja n − m − 1. Esta construcción unifica, dentro de un mismo marco, la aparición de toros complejos, variedades de Hopf, variedades de Calabi–Eckmann y una amplia clase de variedades LV–M. Estos resultados establecen una correspondencia profunda entre geo- metría compleja, geometría tórica y convexa, y la topología de intersec- ciones de cuadráticas reales en C n , generando infinitos ejemplos nuevos de variedades complejas compactas, en su mayoría no simplécticas y no algebraicas.