Cursos

"Variedad de representaciones para enlaces en PSL (3,C) usando quandles."

TBA

"Descomposiciones de Heegaard para 3-variedades compactas."

Las variedades de dimensión tres han sido objeto de estudio de la Topología en dimensiones bajas desde hace más de 100 años. El ímpetu por dar una respuesta a la entonces "Conjetura de Poincaré" y a una posible clasificación de las 3-variedades (análoga a la clasificación de las variedades de dimensión dos) permitió el desarrollo de muchas teorías que por sí mismas han resultado interesantes. Una de las estrategias más fructíferas ha sido la de cortar una variedad de dimensión tres a lo largo de superficies  interesantes. Las piezas obtenidas deben de tener propiedades conocidas, o ser más fáciles de entender que la variedad original. En 1898 Poul Heegaard describe a las 3-variedades cerradas como uniones de dos cubos con asas. Varios teoremas importantes son demostrados desde este punto de vista, dando luz al entendimientos de las 3-variedades.  Francis Bonahon, en 1983, generaliza esta noción para 3-variedades con frontera, dándole nuevos aires a las descomposiciones de Heegaard. En este curso discutiremos definiciones, ejemplos y teoremas acerca de tales descomposiciones.

Bibliografía: 

1. Martin Scharlemann. Heegaard splittings for compact 3-manifolds.
   https://arxiv.org/pdf/math/0007144
2. Jennifer Schultens. Introduction to 3-manifolds. Graduate studies in mathematics. Vol 151. AMS

Una introducción a la conjetura de Zariski–Lipman

La conjetura de Zariski–Lipman plantea que toda variedad compleja cuya gavilla tangente es localmente libre debe ser suave. Formulada en términos algebraicos, la pregunta se traduce así: ¿todo anillo local A cuyo módulo de derivaciones es libre es necesariamente regular? Esta conjetura, aún abierta en general, ha sido verificada en diversos casos particulares: hipersuperficies, intersecciones completas (locales y homogéneas), y ciertos espacios con singularidades log-canónicas.

El objetivo del curso es introducir los conceptos fundamentales —tanto geométricos como algebraicos— que subyacen en la conjetura. Abordaremos herramientas y conceptos como anillos singulares, módulos de derivaciones, diferenciales de Kähler, normalidad y suavidad. Si el tiempo lo permite, discutiremos algunos de los resultados más relevantes en la literatura y examinaremos enfoques recientes, con énfasis en el caso de singularidades normales de dimensión dos.

Análisis armónico en espacios homogéneos

Sesión 1: Operador de Laplace y polinomios armónicos
Sesión 2: Espacios simétricos y espacios homogéneos
Sesión 3: Geometría y topología de espacios homogéneos
Sesión 4: De polinomios armónicos a representaciones
Sesión 5: Álgebra de modelo asociado a un espacio homogéneo