Cursos 2018

Singularidades y Geometría Tropical.

Se dice que un punto una variedad es "singular" cuando la dimensión del espacio tangente a la variedad en ese punto es mayor que la dimensión de la variedad. El estudio de las variedades en vecindades de puntos singulares data de tiempos de Newton: Newton dio un método para calcular parametrizaciones locales de curvas planas en vecindades de puntos singulares.

La geometría Tropical estudia el semianillo de los números reales unión el infinito con las operaciones máximo y suma. Esta geometría se ha desarrollado en el siglo XXI.

Veremos como las herramientas de geometría tropical nos ayudan a resolver algunos problemas de teoría de singularidades.

En busca del santo grial complejo.

A inicios de la década de los noventas del siglo pasado, A. Verjovsky y J. Seade comenzaron el estudio de los así llamados grupos Kleinianos complejos, que no es otra cosa mas que el estudio de los invariantes bajo grupos discretos de biholomorfismos que actúan en espacios proyectivos. Durante los últimos años la escuela de grupos Kleinianos a sentado las bases de teoría y podremos decir que estamos comenzando una etapa de madurez.

El objetivo de este mini-curso es dar los elementos básicos de la teoría clásica, explicar la importancia de dentro de la teoría de los teoremas de finitud de Sullivan y Ahlfors respectivamente y concluiremos con los avances que tenemos sobre la generalización de estos teoremas en el caso complejo.

Problemas en Ecuaciones en Derivadas Parciales con la ayuda de la Teoría de Operadores y el Análisis Armónico.

El propósito de este cursillo es motivar a los alumnos a estudiar Análisis Funcional y Análisis de Fourier, mostrándoles cuan poderosas son estas herramientas en problemas de ecuaciones diferenciales parciales.

Contaré sobre nociones elementales de estos campos, que nos permitirán resolver problemas canónicos como problemas de Dirichlet para el Laplaciano y otras ecuaciones (incluso problemas no lineales), a través los llamados potenciales. Esto lo vamos a realizar con conceptos muy básicos de operadores en espacios de Banach, como los son los operadores compactos y la teoría de Fredholm. El cursillo será auto contenido y no supondré conocimiento previo en Análisis Funcional y Teoría de operadores.

Superficies minimales.

Las superficies minimales y sus primos cercanos, las superficies de curvatura media constante, son superficies en el espacio de belleza particular. Así fueron usados en las artes antiguas y modernas y existen también en la naturaleza en la forma de películas de jabón. La investigación de las superficies minimales del punto de vista de las matemáticas forma parte de la geometría diferencial, una rama de las matemáticas que homogeneiza una buena intuición geométrica con el álgebra lineal y el cálculo real.

En la primera parte del minicurso usaremos una versión del teorema de inercia de Sylvester del álgebra lineal para definir las curvaturas principales de una superficie de manera intuitiva. En la segunda parta pondremos la curvatura media de una superficie en relación con (la variación de) su área usando el cálculo de variaciones. Finalmente estudiaremos en la tercera parte la llamada parametrización de Weierstrass de una superficie minimal para disfrutar unas de las maravillas del análisis complejo. Claro que veremos películas de jabón en el curso tambien.