"Descomposición primaria en álgebra conmutativa y aplicaciones en geometría."

Resumen

Veremos cómo algunos aspectos de teoría de números tienen generalizaciones en el ámbito de algunos tipos de anillos. En particular enfocaremos sobre la descomposición de ideales en intersecciones de ideales más elementales, llamados primarios. Explicaremos como esta descomposición se puede traducir en la geometría algebraica afín.

Video de la sesión 1

Video de la sesión 2

"La integral logarítmica y aplicaciones."

Resumen

En este minicurso analizamos algunas consecuencias del hecho que una función tenga integral logarítmica finita, además mostraremos algunas aplicaciones recientes de estos resultados. Para conseguir el objetivo, deduciremos algunos resultados sobre funciones armónicas definidas en subconjuntos abiertos del plano y mostraré además algunos resultados básicos del análisis armónico. El prerrequisito para comprender el material es tener nociones básicas de teoría de la medida y análisis complejo.

Notas del curso día 1

Video de la sesión 1

Video de la sesión 2

"¿Cómo asociarle una superficie a un nudo, y qué información obtener?"

Resumen

Los nudos son curvas simples suaves en el espacio tridimensional, cada nudo tiene asociada una 3-variedad compacta llamada exterior del nudo.

Dos nudos son equivalentes si uno se puede transformar en el otro mediante un homeomorfismo del espacio tridimensional en sí mismo que conserve la orientación. El problema fundamental de la Teoría de nudos es determinar cuando dos nudos son equivalentes. Dos nudos son equivalentes si sus exteriores son homeomorfos, en 1989 se demostró que si dos exteriores de nudos son homeomorfos entonces los nudos son equivalentes. Así pues, entender nudos es equivalente a entender sus exteriores. Una manera de estudiar los exteriores de nudos es tratando de entender las superficies que estén contenidas en ellos. En este curso nos enfocaremos en un tipo especial de superficies conocidas como superficies de Seifert y en varios invariantes y resultados que se pueden obtener para conocer mejor a los exteriores de nudos.

"Topología de curvas reales planas."

Resumen

A diferencia del caso complejo, el estudio de las variedades reales genéricas ha sido un camino empedrado. Hay muchas preguntas donde la respuesta es invariante en el caso complejo y en el real aún hay muchas preguntas abiertas. Un ejemplo de esto es el estudio de la topología de las curvas no singulares en el plano proyectivo. En el caso complejo depende únicamente del grado del polinomio y en el caso real no. Como muestra, una parte del problema 16 de Hilbert es sobre la topología de las curvas reales planas de grado 6.

Empezaremos el curso definiendo las curvas reales y el plano proyectivo real. Después, nos enfocaremos en el estudio de su topología, empezando por los trabajos de Harnack, Klein y Hilbert en el siglo XIX, los de Gudkov y Viro entre otros en el siglo XX. Terminaremos viendo por qué el estudio de la topología de las curvas reales planas y, en especial, el método de Viro son uno de los pilares de la Geometría tropical que se empezó a estudiar en el siglo XXI.

"Introducción a la modelación matemática de portafolios y derivados"

Resumen

En este curso se presentarán estrategias de inversión populares en la práctica a las que se les asocia la capacidad de generar riqueza con bajo riesgo. Si el riesgo de incurrir una pérdida es nulo mientras que la posibilidad de generar capital mayor al inicial es positiva, entonces la estrategia se conoce como oportunidad de arbitraje. En un marco teórico se analizarán dichas estrategias. Para este fin, se formulará un modelo matemático para precios en mercados financieros, se precisará el concepto de estrategia de inversión y se presentará el teorema fundamental de valuación de activos.