Hablaremos de ecuaciones diferenciales complejas. Después de presentar algunos hechos generales nos centraremos en dos asuntos, donde se mezclan las ecuaciones con ciertos grupos: la teoría de Schwarz de uniformización de polígonos planos y las ecuaciones de Riccati.

El objetivo de este curso es dar las definiciones básicas de la Geometría Tropical, así como algunas de sus aplicaciones a Geometría algebraica compleja y real. En particular veremos algunas de las aplicaciones enumerativas de esta Geometría.

   La Geometría Tropical empieza a estudiarse a principios de este milenio. Esta Geometría se basa en el Álgebra conocida como Tropical o Max-Plus. Consideramos como conjunto a los números reales unión el menos infinito y definimos la operación adición o suma tropical de dos números como el máximo entre ellos. La operación producto o multiplicación tropical de dos números se define como la suma clásica de ellos. Para hacer la diferencia de las operaciones tropicales de las clásicas, utilizaremos los símbolos ⊕ y ⊗. Así 5 ⊕ 3 = 5 y 5 ⊗ 3 = 8.

   Usando estas definiciones se construyen polinomios tropicales y se definen las variedades tropicales. Estas variedades son complejos poliedrales balanceados, es decir, unión de poliedros con una muy fuerte estructura combinatoria. Esta propiedad vuelve a la combinatoria una herramienta clave en el mundo tropical. El gran avance, que ha tenido esta geometría, se debe a las impresionantes aplicaciones, que tiene en otras áreas de las matemáticas.

Se darán una introducción a los espacios de Hilbert con núcleo reproductor, se estudiarán sus propiedades básicas y su relación con las funciones definidas positivas. Se mostrarán, que el espacio de Hardy, el espacio de Bergman y el espacio de Segal-Bargmann son espacios de funciones analíticas, que tienen núcleo reproductor. Finalmente se mencionarán algunas aplicaciones de los espacios de Hilbert con núcleo reproductor.

La Teoría de Preferencias estudia métodos para determinar una "preferencia colectiva" a partir de un conjunto finito E de preferencias individuales con respecto a un conjunto finito de alternativas, opciones, objetos o candidatos. El más célebre es el Método Mayoritario, propuesto por Condorcet en 1781, que consiste en aplicar la regla simple: "Si hay más individuos que prefieren la alternativa X a la alternativa Y que individuos que prefieren Y a X, entonces colectivamente X es preferida a Y".

   Aunque el Método Mayoritario parece justo y razonable, tiene el inconveniente de que su aplicación puede conducir a la Paradoja de Condorcet, es decir, intransitividad colectiva: X es preferida a Y, la cual es preferida a Z, la cual es preferida a X.

   En este mini-curso se verán varias condiciones algebraicas sobre E, que garantizan la transitividad del Método Mayoritario, incluida la celebérrima Unimodalidad, propuesta por D. Black en 1958. También se mostrarán relaciones de la unimodalidad con la solución de problemas de Optimización Combinatoria.

En la industria petrolera se necesitan determinar una serie de propiedades de las rocas en las que se encuentran almacenados los hidrocarburos para alimentar adecuadamente a los simuladores de yacimientos. Hace relativamente poco tiempo se han empezado a utilizar tomografías computarizadas de rocas para determinar sus propiedades físicas. Sin embargo las propiedades, que se necesitan, no pueden obtenerse directamente del tomógrafo, sino que se tienen que calcular.

   Para esto es que se tienen que hacer modelos digitales de las rocas y a partir de ellos calcular las propiedades útiles como entre otras densidad, porosidad, micro y macroporosidad, estructura fractal, permeabilidad absoluta direccional, propiedades elásticas, factor de formación y exponente de cementación, presión capilar, índice de resistividad y permeabilidad relativa.

   En el Laboratorio de Simulación de nuestra Unidad se ha empezado a trabajar en este tipo de modelado matemático de rocas para resolver este problema localmente para nuestra industria del petróleo. En la charla se expondrán algunas de estas ideas con mayor detalle y se hablarán de algunos de los enfoques, que hemos adoptado.

La geometría tropical estudia la geometría del semianillo tropical de los reales con las operaciones máximo y suma. Estas operaciones pueden definirse en cualquier grupo totalmente ordenado dando lugar a objetos geométricos diferentes.

En esta charla describiremos la dinámica de la transformación doblamiento del ángulo en el círculo, que pese a parecer muy simple guarda algunas sorpresas.

En esta plática discutiremos una teoría general de números, que incluye la teoría algebraica clásica y la teoría transcendental. La teoría de números algebraicos está basada en el estudio de los ideales en el anillo de enteros de un campo de extensión de los racionales. Si queremos extender esta teoría al campo de números reales, enfrentamos con el obstáculo, de que el campo de los reales no cuenta con un "anillo de enteros".

   Plantearemos los enteros no estándares ^*Z como la noción indicada de "anillo de enteros reales". Para cualquier número real r introduciremos un grupo ^*Z(r), llamado el grupo de aproximaciones diofantinas de r, que jugará el papel del "ideal principal generado por r". De hecho el grupo ^*Z(r) es una Ideología, una noción generalizada de un ideal. Discutiremos la aritmética de ideologías y la clasificación de números irracionales en términos de su aritmética ideológica.

La teoría de singularidades es, en cierta forma, continuación del cálculo diferencial y de la geometría analítica, que aprendemos en los primeros años de la universidad. El punto de partida es considerar una función diferenciable, digamos de Rⁿ en R^p, y estudiar el comportamiento de la función en una vecindad de un punto crítico. En esta charla daremos una introducción a algunos de los aspéctos básicos de la teoría de singularidades.

Las fracciones de Farey aparecen de manera sorprendente en varias áreas de las matemáticas y hasta en problemas de matemáticas pre-universitarias. En esta plática hablaremos un poco de las propiedades principales de las Fracciones de Farey, y ejemplificaremos como aparecen de forma insospechada en las matemáticas, primero analizando un problema de olimpiada de matemáticas cuya solución requiere deducir por uno mismo algunas de las propiedades de estas fracciones. El otro ejemlo, que daremos, es la aparición de estas fracciones en el famoso conjunto de Mandelbrot.

El objetivo de la plática es motivar el interés en el estudio del espectro de operadores autoadjuntos y su interpretación en mecánica cuántica. Comenzaremos por recordar algunos hechos de álgebra lineal para matrices autoadjuntas, así como el problema de vibración en una cuerda unidimensional sujeta en sus extremos, el caso de una guitarra.