Resumenes

"Analogías en la física matemática"

En esta charla buscamos relacionar elementos que aparecen en la mecánica clásica con elementos de la mecánica cuántica. Con tal objetivo, empezaremos recordando algunos de los elementos de la mecánica clásica para luego motivar la analogía que podemos encontrar entre éstos y los que aparecen en la mecánica cuántica. Lo anterior nos llevará a motivar qué entendemos por cuantización y algunos de sus esquemas. Transformaciones canónicas (en el esquema clásico) y operadores unitarios (en el esquema cuántico) son elementos que podemos relacionar. Podemos cuantizar una transformación canónica y obtener un operador unitario, un ejemplo viene dado por la Transformada de Segal-Bargmann. Con esto en mente, comenzando por la observación de Fock (1928) y luego, continuando con el trabajo de Bargmann (1961), se platicará la obtención de manera analítica tanto de los espacios de Segal-Bargmann como de la Transformada de Segal-Bargmann. Para finalizar, se comentará sobre la obtención (ahora de manera geométrica) de la misma transformada usando el esquema de cuantización geométrica.

*Referencias bibliográficas:
V. BARGMANN, On a Hilbert Space of Analytic Functions and an Associated Integral Transform, Part I, Comm. Pure Appl. Math. 14, 1961.
B. C. Hall, Holomorphic Methods in Mathematical Physics, Contemporary Mathematics, Volume 260, pp. 1-59.
B. C. Hall, Quantum theory for mathematicians, Springer-Verlag, New York, 2013.
M. Moshinsky and C. Quesne, Linear Canonical Transformations and Their Unitary Representations, Journal of Mathematical Physics 12, 1772 (1971).

"Espacios topológicos no conmutativos"

Dado un espacio topológico compacto X podemos asociarle su álgebra de funciones complejas continuas C(X). Las propiedades topológicas de X se ven reflejadas en propiedades algebraicas de C(X). El Teorema de Dualidad de Gelfand establece que esta asignación define una equivalencia entre la categorı́a de espacios topológicos compactos y la categorı́a de C*-álgebras conmutativas con unidad. Las C*-álgebras son un tipo de algebras de operadores; las cuales fueron introducidas por von Neumann en su formulación matemática de la mecánica cuántica.

En este plática, despues de introducir a las C ∗ -álgebras, estudiaremos la dualidad de Gelfand y veremos el diccionario entre ambas categorı́as. La dualidad de Gelfand, además de establecer un poderoso puente entre la topologı́a y el análisis funcional, es una de las piedras angulares para visualisar a las C ∗ -álgebras como espacios topológicos no conmutativos. Dicha perspectiva ha fructificado en la creación de áreas relativamente nuevas como la geometrı́a no conmutativa, probabilidad libre, análisis armónico no conmutativo, K-teorı́a y K-homologı́a de operadores ası́ como la K-teorı́a bivariante de Kasparov.

Bibliografı́a:
• G. J. Murphy, C ∗ -algebras and operator theory. Boston, MA etc.: Academic Press, Inc., 1990.
• Dixmier, Jacques. C ∗ -algebras. North-Holland Mathematical Library. Vol. 15. Amsterdam - New York - Oxford: North-Holland Publishing Company, 1977.

"Construcción Geométrica de Clases Caracterı́sticas"

Sea ξ una haz vectorial suave sobre una variedad diferenciable M . Sea h : ε n−i+1 → ξ un morfismo de haces genérico del haz trivial de rango n − i + 1 a ξ. Daremos una construcción geométrica de las clases de Stiefel-Whitney cuando ξ es un haz vectorial real, y de las clases de Chern cuando ξ es un haz vectorial complejo. Usando h definimos una variedad diferenciable cerrada Z̃(h) y una aplicación φ : Z̃(h) → M cuya imágen es el conjunto singular de h. La i-ésima clase caracterı́stica de ξ es el dual de Poincaré de la imágen, bajo el homomorfismo inducido en homologı́a por φ, de la clase fundamental de la variedad Z̃(h). Extendemos esta construcción para haces vectoriales sobre un espacio paracompacto, usando que el haz universal está filtrado por haces vectoriales suaves.

Bibliografı́a:
• M. Aguilar, J. L. Cisneros-Molina, M. E. Frı́as-Armenta, Characteristic classes and transversality. Topology and its Applications, Vol. 154, 1220-1235, 2007.

"Algoritmo Sparse Identification of Nonlinear Dynamics (SINDy) Aplicado a sistemas caóticos"

La capacidad de descubrir leyes fı́sicas y ecuaciones a partir de datos es uno de los mayores logros de la humanidad. Una comprensión cuantitativa de las restricciones dinámicas y los equilibrios en la naturaleza ha facilitado el rápido desarrollo del conocimiento y ha permitido logros tecnológicos avanzados, incluidos aviones, motores de combustión, satélites, energı́a eléctrica y entre otros. En este trabajo, se utilizan técnicas de machine learning con sistemas dinámicos no lineales para descubrir ecuaciones fı́sicas gobernantes a partir de datos de medición. La única suposición sobre la estructura del modelo es que solo hay unos pocos términos importantes que rigen la dinámica, por lo que las ecuaciones son dispersas en el espacio de funciones posibles; esta suposición es válida para muchos sistemas fı́sicos. En particular, usamos la regresión sparse para determinar la menor cantidad de términos en las ecuaciones que gobiernan la dinámica necesaria para representar con precisión los datos. Los modelos resultantes equilibran la complejidad del modelo con la capacidad descriptiva y evitan el sobreajuste. Demostramos el algoritmo Sparse Identification of Nonlinear Dynamics (SINDy) en una amplia gama de problemas, desde sistemas canónicos simples, que incluyen osciladores lineales y no lineales y el sistema caótico de Lorenz, hasta el vórtice de fluido que se desprende detrás de un obstáculo. El ejemplo del fluido ilustra la capacidad de este método para descubrir la dinámica de un sistema que los expertos de la comunidad tardaron casi 30 años en resolver. También mostramos que este método se generaliza a sistemas parametrizados, variables en el tiempo o forzados externamente.

Bibliografı́a: • R. A. Horn, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1986.
• L. Trefethen, D. Bau, Matrix Computations, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1997.
• N. Kutz, Data-Driven Modeling Scientific Computation. Methods for Complex Systems Big Data, Oxford University Press, 2013.
• Zhe Bai, Thakshila Wimalajeewa, Zachary Berger, Guannan Wang, Mark Glauser, and Pramod K Varshney. Low-dimensional approach for reconstruction of airfoil data via compressive sensing. AIAA Journal, pages 1– 14, 2014.
• G. Berkooz, P. Holmes, and J. L. Lumley. The proper orthogonal decomposition in the analysis of turbulent flows. Annual Review of Fluid Mechanics, 23:539–575, 1993.
• S. L. Brunton, J. H. Tu, I. Bright, and J. N. Kutz. Compressive sensing and low-rank libraries for classification of bifurcation regimes in nonlinear dynamical systems. SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, 13(4):1716–1732, 2014.
• Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, and Robert Tibshirani. An introduction to statistical learning. Springer, 2013.
• L. Ljung. System Identification: Theory for the User. Prentice Hall, 1999.
• P. J. Schmid. Dynamic mode decomposition of numerical and experimental data. Journal of Fluid Mechanics, 656:5–28, August 2010.
• J. Wright, A. Yang, A. Ganesh, S. Sastry, and Y. Ma. Robust face recognition via sparse representation. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 31(2):210–227, 2009.

"La correspondencia de McKay"

La correspondencia de McKay establece una conexión (sorprendente) entre varias áreas de la matemática. Con la construcción de McKay se conectan la teorı́a de singularidades complejas, la teorı́a de representaciones de grupos finitos, las álgebras de Lie semi simples y los diagramas de Coxeter-Dynkin. En concreto, la correspondencia de McKay da una relación uno a uno entre las representaciones irreducibles de los subgrupos finitos de SL(2, C), los diagramas de Dynkin de tipo ADE y las singularidades Kleinianas. En esta plática daremos los conceptos necesarios para establecer dicha correspondencia y calcularemos algunos ejemplos sencillos.

Bibliografı́a:
• J. McKay, Graphs, singularities, and finite groups Proc. Symp. Pure Math. Vol. 37. No. 183. 1980.
• O. Riemenschneider. McKay correspondence for quotient surface singularities. Singularities in geometry and topology. Proceedings of the Trieste singularity summer school and workshop, ICTP, Trieste, Italy, August 15-September 3, 2005. Hackensack, NJ: World Scientific. 483–519 2007.

"Un breve recorrido por Geometría Diferencial y las métricas de Einstein"

"Una construcción de pinceles elı́pticos en superficies tóricas asociadas a sistemas de raı́ces"

Las fibraciones elı́pticas son un hermoso tema geométrico a la vez que son una herramienta para el estudio de variedades algebraicas.

Las variedades Calabi-Yau son una generalización en dimensiones superiores de las curvas elı́pticas, que está dada por condiciones en los grupos correspondientes a la descomposición de Hodge de su cohomologı́a. Las variedades Calabi-Yau en dimensión 2 son conocidas como superficies K3.

Las fibraciones elı́pticas permiten obtener información geométrica a partir de la información en el grupo asociado a la familia de curvas elı́pticas, el llamado grupo de Mordell-Weil. El grupo de Mordell-Weil de una fibración elı́ptica tiene por elementos las secciones de una fibración y obtiene su estructura de grupo a partir de la estructura de grupo de cada fibra. Particularmente, existe una relación entre el número de Picard de una superficie que posee una fibración elı́ptica y el rango de Mordell-Weil de la fibración, llamada la ecuación de Shioda-Tate. Esta ecuación es una maravillosa relación entre propiedades aritméticas y geométricas presentes en una variedad algebraica.

Usando los métodos de uno de los trabajos más famosos de V. Batyrev, ”Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties”, se pueden construir variedades Calabi-Yau como hipersuperficies de variedades tóricas partiendo de politopos enteros que poseen la propiedad de ser reflexivos. Esta construcción de variedades Calabi-Yau en particular permite construir pinceles elı́pticos en superficies tóricas y de ahı́ construir las correspondientes superficies elı́pticas racionales. Hablaremos de algunas construcciones y de su relación con estudio de superficies K3. Obtendremos los politopos reflexivos a partir de sistemas de raı́ces, que son objetos matemáticos que surgen en la clasificación de álgebras de Lie simples.

Bibliografı́a:
• V. Batyrev, Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties, Journal of Algebraic Geometry,3, 1994,
• W. Fulton, Introduction to toric varieties, Annals of mathematics studies, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ,1993

"Representación local aproximada de operadores de evolución estructurados para sistemas equivariantes de tiempo discreto"

En esta charla, se presentan algunos resultados generales en la teorı́a de representaciones matriciales de operadores estructurados con aplicaciones precisas a la representación autorregresiva de computadoras de yacimientos recurrentes. En primer lugar, se consideran técnicas genéricas de embebimiento de retardo temporal no lineales para los datos de series de tiempo muestreados de un sistema de tiempo discreto arbitrario en consideración. En segundo lugar, se aplican métodos de rotación subespacial y mı́nimos cuadrados dispersos para identificar representaciones matriciales aproximadas de las matrices de acoplamiento de salida, que determinan las representaciones autorregresivas de las computadoras de reservorio recurrentes correspondientes a algún sistema dinámico dado bajo consideración. Se presentan algunas conexiones de las técnicas teóricas antes mencionadas, con la teorı́a-K de operadores, al igual que algunas conexiones con aplicaciones en identificación aproximada y simulación predictiva de sistemas no lineales equivariantes, que pueden o no exhibir un comportamiento caótico.

Bibliografı́a:
• D. J. Gauthier, E. Bollt, A. Griffith, W. A. S. Barbosa (2021). Next generation reservoir computing. Nature Communications volume 12, Article number: 5564.
• T. Loring, F. Vides (2020). Computing Floquet Hamiltonians with symmetries. Journal of Mathematical Physics, Volume 61, Issue 11, 10.1063/5.0023028.
• Marc A. Rieffel (1980). Actions of finite groups on C*-algebras. Mathematica Scandinavica, 47(1):157–176.
• F. Vides (2022). Computing Semilinear Sparse Models for Approximately Eventually Periodic Signals. arXiv:2110.08966 [math.OC]. In press.
• F. Vides (2022). Sparse system identification by low-rank approximation. arXiv:2105.07522 [math.NA]. In press.

"Un método de elementos finitos de orden superior para problemas de interfaz elı́pticos."

Existen numerosos fenómenos fı́sicos que se pueden modelar mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes discontinuos o fuentes singulares. Por ejemplo, surge una ecuación diferencial con coeficientes discontinuos cuando se modela el flujo de calor en estado estacionario en una barra bimaterial delgada donde cada material tiene una conductividad térmica diferente. De manera similar, la ecuación de Poisson bidimensional con una fuente singular se puede usar para modelar la transferencia de calor a través de una placa rectangular en la que se aplica una fuente de calor concentrada a lo largo de una curva circular. En ambos casos, la solución podrı́a ser discontinua o continua pero no diferenciable en una región contenida en el dominio de interés. Esta región generalmente se denomina interfaz o frontera interna y la resolución de una ecuación diferencial cerca de una interfaz se denomina resolución de un problema de interfaz. Los métodos numéricos estándar no funcionan bien al aproximar la solución de un problema de interfaz porque requieren que la solución sea suficientemente diferenciable. En esta conferencia discutiremos un nuevo método de elementos finitos para aproximar soluciones de problemas de interfaz elı́pticos. Nuestro enfoque difiere de otros métodos de elementos finitos para problemas de interfaz en dos aspectos: una forma fuerte de la formulación variacional y colocación para enforzar las condiciones de interfaz. También imponemos condiciones de interfaz en derivadas de orden superior. Una solución numérica está representada por dos polinomios bicúbicos de Hermite definidos por partes. Probamos el método propuesto en soluciones de problemas modelos elı́pticos bidimensionales con coeficientes discontinuos o fuentes singulares y problemas elı́pticos con geometrı́a complicada. Nuestras pruebas numéricas muestran que el método alcanza un cuarto orden de precisión en promedio en la norma L 2. Se observan resultados similares para la solución de problemas elı́pticos con geometrı́a complicada.

Bibliografı́a:
• C. S. Peskin, Flow patterns around heart valves: A numerical method, Journal of Computational Physics 10 (2) (1972) 252 – 271.
• R. LeVeque, Z. Li, The immersed interface method for elliptic equations with discontinuous coefficients and singular sources, SIAM Journal on Numerical Analysis 31 (4) (1994) 1019–1044.
• Z. Li, T. Lin, X. Wu, New cartesian grid methods for interface problems using the finite element formulation, Numerische Mathematik 96 (2003) 61-98.
• T. Lin, Y. Lin, R. Rogers, M. Lynne Ryan, A rectangular immersed finite element space for interface problems, Vol. 7, 2001, pp. 107–114.
• A. Loubenets, T. Ali, M. Hanke, Highly accurate finite element method for one-dimensional elliptic interface problems, Applied Numerical Mathematics 59 (1) (2009) 119 – 134.
• R. Aitbayev, N. Yergaliyeva, A fourth-order collocation scheme for two-point interface boundary value problems, Advances in Numerical Analysis 2014 (112014).
• Z. Li, K. Ito, The Immersed Interface Method: Numerical Solutions of PDEs Involving Interfaces and Irregular Domains, Frontiers in Applied Mathematics, Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006.
• A. N. Konovalov, Problems of Multiphase Fluid Filtration, World Scientific Publishing Company, Singapore, 1994.