Resúmenes
Cursos
Maria Luisa Daza Torres
"Modelos matemáticos de enfermedades infecciosas con Python"
Este curso introduce los fundamentos de los modelos matemáticos de enfermedades infecciosas,
con énfasis en la predicción epidemiológica mediante su implementación computacional en Python.
Se aborda el desarrollo y análisis de modelos compartimentales, en particular el modelo SIR (susceptibles-infectados-recuperados).
El temario incluye: simulación de sistemas tipo SIR, estimación de parámetros a partir de series
temporales epidemiológicas, generación de pronósticos y cuantificación de la incertidumbre asociada a las predicciones mediante métodos bayesianos.
El curso integra la formulación matemática con la implementación computacional,
examinando los desafíos derivados del uso de datos observacionales y las limitaciones intrínsecas de los modelos.
Carlos Alfonso Cabrera Ocañas
"Sobre las nociones de entropía"
La entropía aparece en numerosas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones como una forma de cuantificar complejidad, crecimiento, incertidumbre y pérdida de información. Más que un concepto completamente cerrado, admite formulaciones diversas que responden a estructuras y problemas distintos. En este minicurso examinaremos algunas maneras en que la idea de entropía aparece y se formaliza en matemáticas, buscando señalar rasgos comunes y discutiendo cómo el concepto puede reformularse más allá de sus presentaciones clásicas. El objetivo será ofrecer una primera perspectiva que ayude a reconocer fenómenos de tipo entrópico, presentar algunas de las ideas matemáticas que intervienen en su estudio y, sobre todo, mostrar la riqueza de preguntas que todavía permanecen abiertas alrededor del concepto.
Conferencias
Gilberto Calvillo Vives
"Dualidad en optimización."
El problema general de optimización es: Dado un conjunto P y una función \(f : P\rightarrow R\) encontrar \(x^* \in P\) tal que \(f(x^*) \geq f(x)\), \(x \in P\),
o demostrar que no existe tal \(x^*\). Instancias de este problema aparecen en diversos campos de aplicación: En Física juega un papel muy
importante el principio de mínima acción; en Estadística es inevitable toparse con mínimos cuadrados; en Economía los modelos de equilibrio
se obtienen suponiendo que los agentes económicos maximizan su utilidad; en la industria surgen diversos problemas de optimización de
la producción; en transporte, nos interesa encontrar la ruta más corta entre dos puntos. Es decir, la optimización es un tema recurrente en
las aplicaciones de la matemática.
Por otra parte la Dualidad es un concepto central en las matemáticas. En los elementos de teoría de conjuntos aparece mediante las
leyes de De Morgan; en Geometría Proyectiva plana intercambiando puntos y rectas mediante la polaridad de Apolonio; en gráficas planas los
vértices y las caras son duales y muy relacionado a ello tenemos la dualidad de poliedros en 3D, etc.
En esta plática trataré de explicar cómo aparece la dualidad en Optimización y porque es importante. Para ello mostraré varios ejemplos que son
relevantes en la historia de la optimización y que son de suma importancia en las aplicaciones.
Laura Carballo Sigler
"¿Por qué no se puede peinar un balón?."
En esta plática se explicará la relación fundamental entre la topología y los sistemas dinámicos a través del teorema de Poincaré-Hopf. Esta charla aborda de forma intuitiva cómo los campos vectoriales en una esfera no pueden evitar tener puntos singulares, similar a intentar peinar una superficie esférica sin dejar remolinos. Conectaremos este fascinante resultado topológico con la geometría de un balón de fútbol, demostrando cómo la suma de los índices de estos puntos siempre refleja la característica de Euler.
María Magdalena Casas Saucedo
"De la Mecánica Clásica a la Cuantización Geométrica."
Esta charla explora la conexión entre la física clásica y la mecánica cuántica a través de la geometría simpléctica. Analizaremos cómo las transformaciones canónicas y sus funciones generadoras dan origen a transformadas unitarias clave, como las de Fourier y Bargmann, esto para el caso de transformaciones canónicas lineales. Se propone entonces describir cuál sería la relación entre las Transformadas de Bargmann y las transformaciones canónicas cuando el espacio de configuración es reemplazado por la esfera.
Ana Cristina Chávez Cáliz
"Billares disipativos exteriores."
Los billares exteriores son sistemas dinámicos discretos definidos fuera de un D dominio convexo del plano. Dado un punto z en el exterior,
elige una de las rectas tangentes a D que pasan por z. Si q es el punto de tangencia, entonces la imagen de z bajo el billar exterior T(z) = z'
se obtiene de reflejar z con respecto a q. Es decir, T(z) = q + (q-z). Este tipo de billares presentan diferentes comportamientos:
preservan el área, poseen órbitas periódicas, y el escape al infinito es posible si el borde de D no es suficientemente suave.
Sin embargo, uno puede tomar este sistema, y alterarlo: dado un coeficiente fijo a \in (0,1), el billar disipativo exterior
se define ahora como T_a(z) = q + a(q-z) (es decir, en vez de simplemente reflejar z, reflejamos y contraemos por un factor a).
Veremos que en este caso el billar no preserva áreas: las encoge por un factor a^2. Las órbitas periódicas pueden desaparecer,
dependiendo del dominio D o incluso del coeficiente a. El escape al infinito es imposible y la dinámica "interesante" se restringe a un ánulo.
Este es un trabajo en curso en colaboración con L. Barraco, O. Bernardi, C. Fierobe, A. Sorrentino y S. Tabachnikov.
Acompañaremos la exposición con visualizaciones y experimentos matemáticos computacionales que han sido elaborados junto con A. Arroyo.
José Luis Cisneros Molina
"Magia antidiagonal, números de Fibonacci y tu número complejo favorito no nulo."
En esta plática mostraré una propiedad mágica de las matrices 2x2; cómo calcular los números de Fibonacci con potencias de una matriz, y cómo la propiedad mágica nos permite encontrar una fórmula para calcular los números de Fibonacci usando tu número complejo favorito no nulo.
Gabriela Hinojosa Palafox
"Una introducción a las superficies anudadas."
En esta plática introduciremos las nociones básicas de superficies anudadas, entre ellos diagramas, movidas de Roseman, película de movimiento, para posteriormente centrarnos en algunos aspectos de la geometría de superficies poliédricas.
Fabiola Manjarrez Gutiérrez
"Invariantes de nudos."
Un nudo es una curva suave encajada en el espacio tridimensional. Dos nudos son equivalentes si uno puede ser deformado en el otro, sin hacer cortes y sin autointersecciones. Un invariante de nudos es una propiedad topológica o un objeto matemático que se le asocia a un nudo y que satisface que bajo equivalencia de nudos dicho invariante es equivalente en su categoría. En esta charla daré definiciones básicas de todos los conceptos mencionados, así como ejemplos de algunos invariantes.
Cintia Pacchiano Camacho
"Métodos variacionales y espacios métricos con medida."
Los métodos variacionales surgieron como una respuesta al problema de encontrar mínimos de funcionales. Su objetivo es establecer
condiciones necesarias y suficientes para la existencia de dichos mínimos, así como desarrollar herramientas y algoritmos que permitan
calcularlos. El cálculo de variaciones está estrechamente relacionado con la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, ya que
las condiciones de existencia de una solución al problema de minimización suelen depender de que dicha solución satisfaga una determinada ecuación diferencial.
Mi investigación se centra en extender resultados clásicos del cálculo de variaciones al contexto de los espacios métricos
con medida, con énfasis en los métodos asociados a la existencia y regularidad de ecuaciones diferenciales parciales no lineales,
tanto parabólicas como elípticas. En lugar del marco euclidiano clásico, trabajamos exclusivamente a nivel variacional en espacios
métricos con medida dotados de una medida doblante y que satisfacen una desigualdad de Poincaré.
En esta charla presentaré una de mis principales líneas de investigación:
• El flujo de variación total (Total Variation Flow, TVF).
Durante las últimas dos décadas se ha desarrollado, en este contexto abstracto, una teoría de funciones de Sobolev y un cálculo
diferencial de primer orden. Una de las principales motivaciones para el desarrollo de esta teoría ha sido la búsqueda de un marco
unificado que abarque los supuestos y m ́etodos utilizados en diversos espacios específicos, como los espacios euclidianos con peso,
las variedades riemannianas, los grupos de Heisenberg, los grafos, entre otros.
Actualmente, el análisis en espacios métricos constituye un área de investigación activa e independiente que reúne a especialistas
de distintas ramas de las matemáticas. Además de su interés intrínseco, tiene aplicaciones en campos tan diversos como la teoría
geométrica de grupos, las ecuaciones diferenciales parciales no lineales e incluso la informática teórica. Este enfoque no solo
permite comprender mejor diversos fenómenos matemáticos, sino que también puede conducir a nuevos resultados, incluso en el contexto clásico euclidiano.
Laura Rosales Ortiz
"Un vistazo a la dinámica de campos vectoriales."
Si tenemos un campo vectorial definido en el "mundo real", las soluciones de su ecuación diferencial asociada son curvas, lo cual permite plantear la siguiente pregunta: ¿dónde se acumulan dichas soluciones en el pasado y en el futuro? ¿qué tan grande es ese conjunto?
Después de responder a estas preguntas para algunas variedades conocidas, intentaremos deducir qué se necesitaría para tener un equivalente en el "mundo complejo".
José Antonio Seade Kuri
"Introducción a las foliaciones."
Una variedad diferenciable \(M\) de dimensión \(n\) es un espacio métrico que podemos cubrir por abiertos homeomorfos a discos de \(R^n\),
que les llamamos cartas coordenadas, pegados a través de funciones diferenciables. Una foliación de dimension \(k\) en una variedad M,
es una descomposición de \(M\) en subconjuntos llamados "hojas", de manera tal que cada carta coordenada se ve como un producto \(D^k \times D^{n-k}\) de
discos de dimensiones \(k\) y \(n-k\), y las funciones de pegado preservan esa descomposición. Las hojas son entonces los máximos conjuntos conexos que nos quedan.
Por ejemplo, si \(f\) es una función diferenciable \(\mathbb R^{n+k} \to U \subset \mathbb R^n\) sin puntos críticos, es decir que su derivada
tiene rango \(k\) en todas partes, entonces para cada \(x\in U\) tenemos que \(f^{-1}(x)\) es una variedad diferenciable de dimension \(k\), y si
tomamos todas las fibras \(f^{-1}(x)\) para todo \(x \in U\), tenbemos una foliacion de dimensión \(k\) en \(\mathbb R^{n+k}\).
En esta plática daremos una introducción a la teoría de foliaciones, empezando desde lo más elemental, para llegar a la frontera de
algunos temas de investigación actuales.
Jawad Snoussi
"Fracciones continuas en geometría tórica."
Las variedades tóricas son un tipo de espacios algebraicos que se pueden describir por datos combinatorios. Veremos cómo se pueden usar fracciones contínuas en la descripción de estos espacios y de sus singularidades en dimensión 2.
Santiago Alberto Verjovsky Solá
"Del Teorema del Mapeo de Riemann al Teorema de Uniformización de Koebe-Poincaré: sus consecuencias y aplicaciones."
El teorema del mapeo de Riemann afirma que todo subconjunto abierto, simplemente conexo y propio de ℂ es biholomorfo al disco unitario D. Riemann
lo enunció en su disertación de 1851 apoyándose en el principio de Dirichlet, cuya validez general Weierstrass cuestionó dos décadas después y
que Hilbert restableció con rigor a comienzos del siglo XX. Antes de esa justificación ya existían demostraciones independientes del propio
enunciado: la de Osgood en 1900, vía la existencia de la función de Green, y más tarde las de Poincaré, Koebe y Carathéodory, a las que se sumó
una prueba variacional —maximizar |f'(0)| entre las funciones univalentes de D en el dominio dado— atribuida a Fejér y Riesz.
El teorema de uniformización, demostrado independientemente por Koebe y por Poincaré en 1907, extiende esta clasificación de dominios planos a
superficies de Riemann arbitrarias: toda superficie de Riemann simplemente conexa es biholomorfa a la esfera de Riemann Ĉ, al plano complejo ℂ o
al disco unitario D. El teorema del mapeo de Riemann corresponde al tercer caso, restringido a subconjuntos propios de ℂ.
De aquí se sigue que toda superficie de Riemann X es el cociente de su cubierta universal —una de esas tres superficies modelo— por un
grupo de automorfismos que actúa libre y propiamente discontinuamente, isomorfo al grupo fundamental de X. La cubierta universal es Ĉ
solo si X ≅ Ĉ; es ℂ exactamente cuando X es ℂ, ℂ∖{0} o un toro complejo ℂ/Λ; en cualquier otro caso es D, y X hereda entonces la métrica de
Poincaré del disco, invariante bajo un grupo fuchsiano de transformaciones cubrientes. Esta trirreducción explica, para las curvas algebraicas
complejas compactas, por qué las de género 0 son la esfera, las de género 1 son toros complejos ℂ/Λ y las de género mayor que 1 son
cocientes D/Γ dotados de una métrica hiperbólica canónica.
Cristina Villanueva Segovia
"Mirando conjuntos con lupa y microscopio."
¿Qué es ser chiquito? Tratando de dar respuesta a esta pregunta, en esta charla presentaremos distintas nociones de tamaño de un conjunto. Llegaremos así a la noción de conjunto microscópico, veremos algunas de sus propiedades y plantearemos algunas preguntas abiertas.
Gregor Weingart
"TBA."
TBA