VII Taller-Escuela de Verano de Análisis y Física Matemática

Mónica Clapp
Instituto de Matemáticas, UNAM, México.

Abstract: Estudiaremos el comportamiento, cuando $\varepsilon\rightarrow0,$ de ciertas soluciones del problema \[ (\wp_{\varepsilon})\qquad\left\{ \begin{array} [c]{ll}% -\varepsilon^{2}\Delta u+u=|u|^{p-2}u & \text{in }\Omega,\\ u=0 & \text{on }\partial\Omega, \end{array} \right. \] donde $\Omega$ es un dominio acotado suave en $\mathbb{R}^{N}$, $N\geq3,$ $\varepsilon>0$, y el exponente $p$ del término no lineal es supercuadrático y subcrítico. Este problema aparece como un modelo para la formación de patrones en varias ramas de la ciencia, por ejemplo, en el estudio del sistema de Keller-Segal en quimiotaxis o del sistema de Gierer-Meinhardt en formación de patrones biológicos, y ha sido extensamente estudiado. Interesa saber dónde se concentran las soluciones y cuál es su perfil asintótico cuando $\varepsilon\rightarrow0.$ En esta charla daremos un panorama sobre los resultados que se conocen hasta la fecha, y presentaremos algunos resultados recientes, obtenidos en colaboración con P.N. Srikanth (Tata Institute of Fundamental Research, Bangalore, India), que exhiben nuevos fenómenos de concentración de soluciones con un perfil asintótico muy distinto al obtenido en resultados anteriores.

Vladislav V. Kravchenko
Departamento de Matemáticas, Cinvestav-I.P.N, México.

Abstract: Hablaremos de problemas espectrales de la teoría de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables tales como los clásicos problemas de Sturm-Liouville tanto regulares como singulares. Recordaremos el concepto de los operadores de transmutación (transformación) (vea, por ejemplo, [1]). Mostraremos algunos de los últimos avances en la construcción explícita y práctica de tales operadores y su uso para la obtención de diferentes representaciones para las soluciones de la ecuación de Sturm-Liouville, apropiadas para la solución de problemas espectrales.

[1] V. A. Marchenko, Sturm-Liouville Operators and Applications. Birkhäuser, Basel, 1986..

Vladimir Rabinovich
Instituto Politécnico Nacional, ESIME Zacatenco, México.

Abstract: Let $\Gamma$ be a simply connected unbounded $C^{2}-$surface in $\mathbb{R}% ^{n}$ of the dimension $n-1$ such that $\Gamma$ divides $\mathbb{R}^{n}$ on two domains $D^{\pm}.$ We consider the essential spectrum of Schrödinger operators on $\mathbb{R}^{n}$ with surface $\delta_{\Gamma}$-interactions which can be written formally of the form \begin{equation} {\normalsize -\Delta+W-}\alpha_{\Gamma}\delta_{\Gamma}\label{0}% \end{equation} where $-\Delta$ is the nonnegative Laplacian in $\mathbb{R}^{n}$, $W\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{n})$ is an electric potential, $\delta_{\Gamma}$ is the Dirac $\delta-$function with the support on the hypersurface $\Gamma ,\alpha_{\Gamma}\in L^{\infty}(\Gamma)$ is a coupling coefficient depending of the points of $\Gamma$. \ \ We realize the formal Schrödinger operator as an unbounded operator $\mathcal{A}_{\Gamma}$ generated by \begin{align*} A_{\Gamma}u & =\left\{ \begin{array} [c]{c}% \left( {\normalsize -\Delta+W}\right) u_{+}\text{ on \ }D_{+}\\ \left( {\normalsize -\Delta+W}\right) u_{-}\text{ on \ }D_{-}% \end{array} \right. ,\\ u & =(u_{+},u_{-})\in H^{2}(D_{+})\oplus H^{2}(D_{-}) \end{align*} and the Robin type transmission conditions on the hypersurface $\Gamma$ \[ \left[ u\right] _{\Gamma}=u_{\Gamma}^{+}-u_{\Gamma}^{-}=0,\left[ \frac{\partial u}{\partial\nu}\right] _{\Gamma}=\frac{\partial u_{\Gamma}% ^{+}}{\partial\nu}-\frac{\partial u_{\Gamma}^{-}}{\partial\nu}=-\alpha _{\Gamma}u_{\Gamma}=-\alpha_{\Gamma}u_{\Gamma}^{\pm} \] where $u_{\Gamma}^{\pm}$ are the limit values of the functions $u_{\pm}$ on $\Gamma$ from $D^{\pm}$, and $\frac{\partial u_{\Gamma}^{\pm}}{\partial\nu}$ are limits of the normal derivative to $\Gamma$ from $D^{\pm}.$ \ We study the essential spectrum $sp_{ess}\mathcal{A}_{\Gamma}$ of the operator $\mathcal{A}_{\Gamma}$ that is the set of $\lambda\in\mathbb{C}$ such that $\mathcal{A}_{\Gamma}-\lambda I$ is not a Fredholm operator in $L^{2}% (\mathbb{R}^{n})$ as an unbounded operator with domain \[ \mathcal{D}_{\mathcal{A}_{\Gamma}}=\left\{ u\in H^{2}(D_{+})\oplus H^{2}(D_{-}):\left[ u\right] _{\Gamma}=0,\left[ \frac{\partial u}% {\partial\nu}\right] _{\Gamma}=-\alpha_{\Gamma}u_{\Gamma}\right\} . \] For the operator $\mathcal{A}_{\Gamma}$ we define a family $Lim(\mathcal{A}% _{\Gamma})$ of limit operators $\mathcal{A}_{\Gamma}^{h}$ of $\mathcal{A}% _{\Gamma}$ depending on the behavior at infinity of the hypersurface $\Gamma,$ of the potential $W,$ and the coupling coefficient $\alpha_{\Gamma}.$ Our main aim is to prove the formula \begin{equation} sp_{ess}\mathcal{A}_{\Gamma}=% %TCIMACRO{\dbigcup \limits_{\mathcal{A}_{\Gamma}^{h}\in Lim(\mathcal{A}% %_{\Gamma})}}% %BeginExpansion {\displaystyle\bigcup\limits_{\mathcal{A}_{\Gamma}^{h}\in Lim(\mathcal{A}% _{\Gamma})}} %EndExpansion sp\mathcal{A}_{\Gamma}^{h}.\label{1}% \end{equation} In many important in applications cases the operators $\mathcal{A}_{\Gamma }^{h}$ have enough simple forms and formula is an effective tool of the calculation of the essential spectra of the operators $\mathcal{A}% _{\Gamma}.$