El operador de Dolbeault-Dirac para espacios homogéneos cuánticos y la fórmula de Parthasarathy

Resumen:

 La geometría no conmutativa explora las álgebras(no conmutativas) que son deformaciones de las álgebras de funciones suaves(o polinomiales) de variedades por introduciendo e investigando nociones no conmutativas de geometría diferencial clásica. En este contexto el primer paso es construir cálculo diferencial o álgebras diferenciales a fin de tener una versión análoga del complejo de Rham clásico. Una clase importante de ejemplos provienen de los grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo descubiertos a finales de los años ochenta los cuales son q-deformaciones de las álgebras coordenadas de grupos de Lie compactos. A lo largo de los años se ha notado que para los espacios homogéneos cuánticos su geometría es más tratable que para grupos cuánticos en sí mismos. Una clase distinguida de estos espacios son las variedades bandera cuánticas las cuales nos proveen de un buen terreno donde desarrollar geometría diferencial no conmutativa. En esta plática se presentará la construcción del operador de Dolbeault-Dirac para variedades bandera cuánticas de tipo irreducible usando el enfoque de la resolución de Bernstein-Gelfand-Gelfand para un obtener un complejo de Dolbeault. Se ilustrara esta construcción para el ejemplo de la variedad bandera irreducible de tipo B_2 así como también sus propiedades espectrales usando una versión no cuántica de la fórmula de Parthasarathy. Si el tiempo permite se platicara cómo aplica este mismo enfoque para la Grassmanniana Gr(2,4) el cual es un trabajo en progreso con K. Rodríguez y E. Wagner.

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