Geometrie der Modulräume minimaler isometrischer Immersionen

der Sphären in Sphären

Gregor Weingart

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Minimale isometrische Immersionen 9

3 Beispiele und Konstruktionen 19 3.1 Die Konstruktion von Takahashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 Die Konstruktion von Mashimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Die Modulräume M_{λ} im Fall der Sphären 27 4.1 Eigenwerte und Eigenräume der Sphären . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Die Plückergraduierung von Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Geometrie der Diracschen Deltafunktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5 Die Dimension des Modulraums M_{k}^{(d)} 43 5.1 Das Lemma von do Carmo–Wallach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2 Die allgemeine Dimensionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Geometrie der Kegelschnitte 51 6.1 Positiv semidefinite Bilinearformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2 Lokale Randstruktur von Kegelschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3 Andere Beispiele für Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

7 Die Modulräume M_{k}^{(d)} der S^{3} 65 7.1 Realisierungen der Gruppen SO_{3}ℝ und SO_{4}ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2 Minimale isometrische Immersionen der S^{3} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8 Der Satz von Moore und der Modulraum M_{λ_{4}} der S^{3} 83 8.1 Der Kegelschnitt der zweiten Fundamentalformen . . . . . . . . . . . . . . . 83 8.2 Der Beweis der Sätze von Cartan und Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 8.3 Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A Symmetrische und äußere Algebra 101

B Darstellungstheorie von 𝔰𝔩_{2} 107

C Die Standardimmersionen 111 2

Kapitel 1

Einleitung

Minimal immersierte Mannigfaltigkeiten bilden eine Fülle besonders schöner, geometrischer Studienobjekte. Neben den bekannten Bildern spezieller minimaler Immersionen bietet auch die Menge aller Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen einer Mannigfaltigkeit mit einer festgeschriebenen Riemannschen Metrik in runde Sphären ein geometrisches Studienobjekt mit einer faszinierend komplexen Struktur. Dabei werden zwei minimale isometrische Immersionen in runde Sphären als äquivalent bezeichnet, wenn sie sich nur um eine Isometrie der beiden Zielsphären unterscheiden.

Im Falle der minimalen isometrischen Immersionen der Sphären in runde Sphären beschrieben do Carmo–Wallach [dC&W] die Menge aller Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen in runde Sphären durch einen Modulraum M_{λ}, dessen Konstruktion später auf gewisse andere Mannigfaltigkeiten wie zum Beispiel die komplex–projektiven Räume übertragen wurde. Alle diese Mannigfaltigkeiten haben gemeinsam, daß sie eine ausgezeichnete Standardimmersion besitzen, die in die Konstruktion des Modulraums unmittelbar eingeht. So wurden die Standardimmersionen der isotropie–irreduziblen homogenen Räume von Takahashi [Ta] schon vor der ersten Beschreibung der minimalen isometrischen Immersionen der Sphären durch do Carmo–Wallach [dC&W] konstruiert.

Eine neue Interpretation der Konstruktion von do Carmo–Wallach ermöglicht es nun, den Modulraum M_{λ} der minimalen isometrischen Immersionen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit in völliger Allgemeinheit ohne die explizite Wahl irgendeiner Standardimmersion zu konstruieren, und das Problem verlagert sich dahin zu zeigen, daß dieser Modulraum nicht die leere Menge ist. Ein unmittelbarer Vorteil dieser neuen Interpretation ist zum Beispiel, daß sie die Modulräume einfach zusammenhängender Riemannscher Mannigfaltigkeiten direkt mit den Modulräumen ihrer Quotientenmannigfaltigkeiten in Beziehung setzt, über deren minimale isometrische Immersionen man im allgemeinen wenig weiß, geschweige denn, daß man eine Standardimmersion kennt.

In dieser neuen Interpretation wird eine Äquivalenzklasse minimaler isometrischer Immersionen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit N durch eine positiv semidefinite Bilinearform auf dem Dualraum E_{λ}^{∗} des Eigenraums E_{λ} des skalaren Laplaceoperators auf N für einen vom Radius r der Zielsphäre abhängenden Eigenwert λ = \frac{dim N}{r^{2}} > 0 repräsentiert. Umgekehrt muß eine positiv semidefinite symmetrische Bilinearform auf E_{λ}^{∗} einige Zusatzbedingungen erfüllen, damit sie Modul einer Äquivalenzklasse minimaler isometrischer Immersionen wird.

Diese Zusatzbedingungen hängen einzig von der Geometrie der Diracschen Deltafunktionale in E_{λ}^{∗} ab und zeigen, daß der Modulraum M_{λ} aller minimalen isometrischen Immersionen zum Eigenwert λ der Schnitt eines affinen Unterraums mit der Menge aller positiv semidefiniten Bilinearformen auf E_{λ}^{∗} ist. In diesem Sinne stellen die Modulräume M_{λ} eine Zusatzstruktur auf dem Spektrum einer Riemannschen Mannigfaltigkeit N dar, die natürlich nur relevant für Riemannsche Mannigfaltigkeiten ist, für die es überhaupt minimale isometrische Immersionen in eine Sphäre gibt.

Die geometrische Beschreibung der Modulräume M_{λ} als Schnitt eines affinen Unterraums mit dem Kegel der positiv semidefiniten symmetrischen Bilinearformen auf E_{λ}^{∗} setzt die Frage nach der Beschreibung der Randstruktur dieser Modulräume in direkte Analogie zu anderen Problemen wie etwa das Hurwitz–Radon–Problem der Klassifikation aller orthogonalen Multiplikationen. Die einfache Konstruktion der Modulräume M_{λ} täuscht nämlich darüber hinweg, wie schwierig es ist, genaue Aussagen über die Struktur ihrer Ränder zu beweisen. Die Lösung dieser Fragen ist bis jetzt nur in Einzelfällen möglich, und ein vergleichendes Studium der Kegelschnitte, das heißt der Schnitte affiner Unterräume mit Kegeln positiv semidefiniter symmetrischer Bilinearformen, erscheint unumgänglich.

Eine große Klasse von Beispielen für interessante Kegelschnitte erhält man dadurch, daß man in der zweiten symmetrischen Potenz Sym^{2}E einer irreduziblen Darstellung E einer kompakten Liegruppe G diejenigen affinen Räume durch das bis auf einen skalaren Faktor eindeutige G–invariante Element G von Sym^{2}E betrachtet, deren Modell– bzw. Parameterräume G–invariante Unterräume von Sym^{2}E sind. Diese Beispielklasse umfaßt die Modulräume M_{λ_{k}} der minimalen isometrischen Immersionen der Sphären zum k–ten Eigenwert und daneben einen ganzen Turm kompakter Kegelschnitte

M_{k}^{(0)} ⊃ M_{k}^{(1)} = M_{λ_{k}} ⊃ … ⊃ M_{k}^{(⌊ \frac{k}{2} ⌋−1)}

in dem alle Unterkegelschnitte eine geometrische Interpretation als Raum von Abbildungen der Sphären in Sphären besitzen [To2]. Dabei läuft die vollständige Beschreibung der Kegelschnitte in dieser Klasse im wesentlichen auf die Beschreibung der Invarianten der Darstellungen der auf den Kegelschnitten operierenden Gruppe G hinaus. Die übliche Methode der Zerlegung in irreduzible Darstellungen hilft bei der Beschreibung dieser Kegelschnitte offensichtlich wenig, denn die interessantesten Randpunkte sind im allgemeinen über mehrere irreduzible Darstellungen verschmiert.

Eines der zentralen Ergebnisse dieser Arbeit ist die Identifizierung der Kegelschnitte M_{k}^{(d)} mit dem Modulraum aller Eigenabbildungen der Sphäre in Sphären mit Standardfundamentalformen bis zum Grad d, und der anschließenden Berechnung der Dimensionen der Parameterräume dieser Kegelschnitte. Die entscheidende Neuerung besteht dabei in einer algebraischen Charakterisierung dieser Parameterräume, die im Gegensatz zum Ansatz von do Carmo–Wallach ohne Darstellungstheorie auskommt. Umgekehrt läßt sich diese Charakterisierung sofort in Darstellungstheorie übersetzen, so daß man damit einen Überblick über die im Parameterraum enthaltenen, irreduziblen Darstellungen erhält. Die Berechnung der Dimensionen der Parameterräume ist dann eher eine Formsache.

Mit anderen Methoden wurde dieses Ergebnis von Toth [To4] für d = 1 und in Gauchman– Toth [G&T] für allgemeine d > 1 bewiesen, wobei aber letztlich der interessante Fall d > 1 für die dreidimensionale Sphäre S^{3} aufgrund der unterschiedlichen Darstellungstheorie der SO_{4}ℝ offen blieb. Gerade die Modulräume M_{k}^{(d)} mit d ≥ 3 scheinen aber die Möglichkeit der Konstruktion neuer minimaler isometrischer Immersionen der S^{3} zum k–ten Eigenwert zu eröffnen, die in Zielsphären der Dimension kleiner als k gehen. Allerdings hätte die Berechnung konkreter Beispiele den Rahmen dieser Arbeit überschritten.

Die neue Interpretation der Modulräume M_{λ} der minimalen isometrischen Immersionen hat insbesondere den Vorteil, daß der Modul einer vorgegebenen minimalen isometrischen Immersion berechenbar wird. Dies zeigt sich in einem zweiten wesentlichen Ergebnis dieser Arbeit, der Lokalisierung der Moduli der von Mashimo konstruierten minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} im Modulraum M_{λ}. Es ist nämlich weitaus einfacher, die Moduli selbst zu manipulieren, als neue minimale isometrische Immersionen explizit hinzuschreiben. Als ein Beispiel für diese Philosophie mag die Bestimmung aller Zieldimensionen für die sogenannten äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} dienen, deren schwieriger Teil die Existenzaussage ist. Die entsprechenden Moduli lassen sich ganz leicht konstruieren, um die minimalen isometrischen Immersionen als Orbiten der Gruppe SU_{2} zu realisieren, bedarf es etwas mehr Arbeit.

Das zweite Kapitel stellt die Konstruktion von do Carmo–Wallach im allgemeinen Rahmen vor und beschreibt einige unmittelbare Folgerungen für die Geometrie der Modulräume M_{λ}. Schon dabei zeigen sich die Vorteile der neuen Interpretation dieser Konstruktion, die eine Beziehung zwischen den Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen einfach zusammenhängender Riemannscher Mannigfaltigkeiten und ihrer Quotientenmannigfaltigkeiten herstellt. Daneben wird eine allgemeine Konstruktion vorgestellt, mit der man Beispiele minimaler isometrischer Immersionen finden kann, deren Bilder keine eingebetteten Untermannigfaltigkeiten der Zielsphären sind.

Das dritte Kapitel wiederholt die bekannten Grundkonstruktionen minimaler isometrischer Immersionen von Takahashi und Mashimo. In der neuen Interpretation scheint dabei eine bemerkenswerte Verbindung der Konstruktion von Mashimo mit dem Satz von Peter– Weyl auf. So kann man zum Beispiel treue Darstellungen einer kompakten Liegruppe stets als minimale isometrische Immersionen in Sphären auffassen.

Im vierten Kapitel wird die algebraische Charakterisierung der Parameterräume der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n} beschrieben und diese Modulräume mit den Modulräumen der Eigenabbildungen der Sphäre S^{n−1} in Sphären mit Standardfundamentalformen bis zum Grad d identifiziert. Mit Hilfe dieser Charakterisierung läßt sich zum Beispiel auf der Vereinigung der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n} eine Multiplikation

Ψ : M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{1}} × … × M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{r}} ⟶ M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{1}+...+n_{r}}

definieren, mit deren Hilfe man Beispiele minimaler isometrischer Immersionen höherdimensionaler Sphären aus niederdimensionalen Beispielen zusammenbasteln kann. Eine damit eng verwandte Konstruktion findet sich zum Beispiel in Toth [To3]. Im folgenden fünften Kapitel wird diese Charakterisierung dazu benutzt, die Dimensionen der Parameterräume der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n} zu berechnen.

Das sechste Kapitel ist eher philosophischer Natur und versucht, die Schnitte affiner Unterräume mit den Kegeln positiv semidefiniter symmetrischer Bilinearformen als neue geometrische Studienobjekte zu propagieren. Wie bereits angesprochen, kann man eine Vielzahl interessanter Beispiele dadurch bekommen, daß man in der zweiten symmetrischen Potenz Sym^{2}E einer irreduziblen Darstellung E einer kompakten Liegruppe G affine, G–invariante Unterräume durch das bis auf einen skalaren Faktor eindeutige G–invariante Element G betrachtet. Es stellt sich eigentlich eher die Frage, welche geometrische Bedeutung als Modulraum diese Kegelschnitte besitzen.

Im siebten Kapitel werden die Modulräume M_{k}^{(d)} der dreidimensionalen Sphäre untersucht und eine grobe Landkarte dieser Modulräume skizziert. Danach werden die Moduli der minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo lokalisiert und anschließend eine Beschreibung der Randstruktur eines gewissen Unterkegelschnitts Mk^{Mashimo} gegeben, der alle diese Moduli enthält. Es zeigt sich, daß die einzig möglichen Dimensionen für die Zielsphären der vollen minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zu den Randpunkten von Mk^{Mashimo} gerade von der Form k(k + 2) − n_{L}n_{R} sind, wobei n_{L} und n_{R} beliebig aus

k = 4  n_{L}, n_{R} ∈ {1, 2, 3, 5}
k ≥ 6 gerade  n_{L}, n_{R} ∈ {1, 2, …, k + 1}
k ≥ 5 ungerade  n_{L}, n_{R} ∈ {2, 4, …, k + 1}

aber nicht beide gleich k + 1 gewählt werden dürfen. Alle diese Zieldimensionen werden tatsächlich auch realisiert. Im Fall k = 4 wurde dieses Ergebnis zuvor von Toth–Ziller [T&Z] veröffentlicht, die auch anmerken, daß sich diese Ergebnisse auf höhere k verallgemeinern lassen. Allerdings ist der schwierigere Teil des Beweises die Existenzaussage. Daneben werden im siebten Kapitel die ersten Beispiele für minimale isometrische Immersionen der S^{3} konstruiert, deren Bilder keine glatten Untermannigfaltigkeiten der Zielsphären sind.

Das achte Kapitel beschreibt den Rand des Modulraums M_{4}^{(1)} der S^{3} mehr oder weniger vollständig. Dabei wird insbesondere eine bemerkenswerte Verbindung zwischen diesem Modulraum und den zweiten Fundamentalformen der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zu beliebigen Eigenwerten hergestellt. Dadurch kann man ein Ergebnis von Cartan für diese Fundamentalformen dazu benutzen zu zeigen, daß alle minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} in die S^{9} zum vierten Eigenwert unter der Operation der Isometriegruppe O_{4}ℝ der S^{3} konjugiert zueinander sind. Im Anschluß daran werden alle Klassen minimaler isometrischer Immersionen der S^{3} in die S^{14} zum vierten Eigenwert unter der Operation von O_{4}ℝ klassifiziert. Dieses Ergebnis ist nicht nur für sich alleine genommen interessant, sondern ist auch im Zusammenhang mit den zweiten Fundamentalformen minimaler isometrischer Immersionen zu beliebigen Eigenwerten zu sehen.

Die Ergebnisse dieser Arbeit entstammen im wesentlichen aus zwei verschiedenen Zeitabschnitten, und dementsprechend besteht diese Arbeit aus zwei Teilen, die durch das eher philosophische Kapitel über die geometrische Struktur von Kegelschnitten zusammengehalten werden. Dabei lehnt sich der erste Teil in Form und Inhalt noch an die unmittelbare Vorgängerarbeit von Otto [O] an, die mich persönlich mit dem Thema bekanntmachte. Allerdings hat dieser erste Teil später zahlreiche Änderungen und Erweiterungen erfahren, so daß sich der zeitliche Abstand der beiden Teile dem Leser hoffentlich nicht zu störend bemerkbar macht.

Mein besonderer Dank gilt Prof. Werner Ballmann, der mir die Zeit und Unterstützung gab, mich mit diesem faszinierenden Thema zu beschäftigen. Viele Diskussionen und Gespräche halfen mir gerade in den letzten Wochen, noch etliche Verbesserungen an dieser Arbeit vorzunehmen. Insbesondere ist dabei ein Briefwechsel mit Christine Escher und Gabor Toth zu erwähnen, in dem sich eine Konzeptionslücke früherer Versionen dieser Arbeit auftat. Außerdem will ich mich an dieser Stelle bei meiner Familie und bei all den Menschen bedanken, Mathematikern und Nichtmathematikern, die mir in der einen oder anderen Art und Weise beim Schreiben dieser Arbeit geholfen haben.

Gregor Weingart Bonn, im August 1998 8

Minimale isometrische Immersionen

Nach einem Satz von Calabi [Cal] kann die zweidimensionale Sphäre S^{2} nur in die geradedimensionalen Sphären S^{2k} ⊂ ℝ^{2k+1}, k ≥ 1, minimal und isometrisch so abgebildet werden, daß das Bild bereits den ganzen Vektorraum ℝ^{2k+1} aufspannt, wobei sich je zwei solcher Immersionen nur um eine Isometrie des umgebenden ℝ^{2k+1} unterscheiden. Dies bedeutet unter anderem, daß jede innere Isometrie der S^{2} zu einer äußeren Isometrie des ganzen umgebenden ℝ^{2k+1} fortgesetzt werden kann. Hingegen besitzen minimale Untermannigfaltigkeiten der Sphären im allgemeinen weder eine eindeutige minimale isometrische Einbettung noch lassen sich ihre inneren Isometrien stets zu äußeren Isometrien der umgebenden Sphäre fortsetzen.

Eine Konstruktion von do Carmo–Wallach [dC&W] beschreibt die Menge aller Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen der Sphären in runde Sphären unter äußeren Isometrien. Eine neue Interpretation dieser Konstruktion gibt eine einfache, geometrische Beschreibung der Menge aller Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen einer beliebigen, kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit in runde Sphären unter einer analogen Äquivalenzrelation. Beide Konstruktionen beruhen einzig auf einem Lemma von Takahashi [Ta], das die minimalen unter den isometrischen Immersionen in Sphären durch eine elliptische Differentialgleichung charakterisiert:

Lemma 2.1 (Lemma von Takahashi [Ta]) Sei (N, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W eine isometrische Immersion in die Sphäre S_{W} vom Radius r eines euklidischen Vektorraums W mit Metrik ⟨ , ⟩_{W}, aufgefaßt als Schnitt des trivialen W –Bündels über N. ϕ ist genau dann minimal, wenn es Eigenschnitt des horizontalen Laplaceoperators Δ zum Eigenwert λ = \frac{dim N}{r^{2}} ist.

Beweis: Als triviales Vektorbündel trägt das W –Bündel über N den trivialen Zusammenhang, der für Vektorfelder X, Y auf N und den Schnitt ϕ einfach als Xϕ, Y ϕ usw. geschrieben werde. In diesem Sinne gilt für einen Punkt p ∈ N:

ϕ_{∗} : T_{p}N ⟶ T_{ϕ(p)}W ≅ W, X ⟼ (Xϕ)(p)

Dementsprechend gibt es eine orthogonale Zerlegung von W in

W ≅ ℝϕ(p) ⊕ ϕ_{∗}(T_{p}N) ⊕ ϕ_{∗}(T_{p}N)^{⊥}
radial  tangential  normal

wo ϕ_{∗}(T_{p}N)^{⊥} das Normalenbündel zu ϕ_{∗}(T_{p}N) in T_{ϕ(p)}S_{W} ist. Die zweite Fundamentalform II scheint dann definitionsgemäß in der entsprechenden Zerlegung von

XY ϕ = \frac{1}{r^{2}} ⟨XY ϕ, ϕ⟩_{W} ϕ ⊕ ϕ_{∗}(∇_{X}Y) ⊕ II(X, Y)

auf, denn wegen ⟨ϕ, ϕ⟩_{W} = r^{2} ist \frac{1}{r^{2}} ⟨XY ϕ, ϕ⟩_{W} ϕ der radiale Teil, und ϕ_{∗}(∇_{X}Y) ist der tangentiale Teil, weil ϕ eine Isometrie ist. Mittels ⟨XY ϕ, ϕ⟩_{W} = −⟨Xϕ, Y ϕ⟩_{W} = −g(X, Y) erhält man damit zunächst

II(X, Y) = XY ϕ − (∇_{X}Y)ϕ + \frac{1}{r^{2}} g(X, Y)ϕ

und beim Bilden der Spur über X, Y schließlich:

tr_{g}II = −Δϕ + \frac{dim N}{r^{2}} ϕ □

Definition 2.2 (Äquivalenz minimaler isometrischer Immersionen) Seien ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W und ϕ̃ : N ⟶ SW̃ ⊂ W̃ zwei minimale isometrische Immersionen in Sphären, deren Bilder Unterräume Spann{ϕ} und Spann{ϕ̃} von W bzw. W̃ aufspannen. Dann heißen ϕ und ϕ̃ äquivalent, geschrieben ϕ ∼ ϕ̃, wenn es eine Isometrie F : Spann{ϕ} ⟶ Spann{ϕ̃} gibt mit ϕ̃ = F ∘ ϕ.

Dies ist die schwächste, sinnvolle Äquivalenzrelation. Auf ihren Äquivalenzklassen operiert die Gruppe aller Isometrien von N durch Verknüpfung einer Isometrie γ : N ⟶ N mit einem Repräsentanten ϕ : N ⟶ W. Im allgemeinen sind ϕ und ϕ ∘ γ nicht äquivalent, es sei denn, die Isometrie γ von N läßt sich zu einer Isometrie des ganzen, umgebenden Vektorraums W fortsetzen. Anstatt der obigen Äquivalenz könnte man deshalb auch den stärkeren Äquivalenzbegriff untersuchen, der neben Isometrien der Zielvektorräume auch Isometrien von N zuläßt. Implizit spielt dieser stärkere Begriff bei den folgenden Überlegungen durchaus eine Rolle, aber die schwächere Äquivalenz erlaubt die Konstruktion eines ”geometrischen“ Modulraums.

Sei nun ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W eine minimale isometrische Immersion in eine Sphäre vom Radius r, dann ist ϕ ein Eigenschnitt des Laplaceoperators Δ zum Eigenwert λ = \frac{dim N}{r^{2}} . Also kann man ϕ mit Eigenfunktionen im Eigenraum E_{λ} = {f ∈ C^{∞}N : Δf = λf} des skalaren Laplaceoperators auf N vergleichen, und dazu die kanonische Abbildung betrachten:

ϕ^{∗} : W^{∗} ⟶ E_{λ}, α ⟼ α ∘ ϕ

Genau dann ist ϕ^{∗} injektiv, wenn das Bild von ϕ den ganzen Zielvektorraum W aufspannt, nach Definition charakterisiert diese Eigenschaft die vollen minimalen isometrischen Immersionen. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, daß der Begriff ”voll“ in der Literatur zum Thema nicht einheitlich benutzt und gelegentlich mit dem weiter unten eingeführten Begriff der erzeugenden minimalen isometrischen Immersion verwechselt wird. Offensichtlich kann man nun jede minimale isometrische Immersion als volle Immersion in den von ihrem Bild aufgespannten Unterraum (Kern ϕ^{∗})^{⊥} ⊂ W auffassen, die resultierende kanonische Abbildung ϕ^{∗} : (Kern ϕ^{∗})^{⊥∗} ≅ W^{∗}/Kern ϕ^{∗} ⟶ E_{λ} ist denn auch injektiv nach Definition. Deshalb wird im folgenden angenommen, daß alle minimalen isometrischen Immersionen auch voll sind, solange nicht explizit das Gegenteil erlaubt bleibt. In diesem Sinne sind zwei minimale isometrische Immersionen ϕ und ϕ̃ genau dann äquivalent, wenn es eine Isometrie F der Zielvektorräume gibt mit ϕ̃ = F ∘ ϕ.

Definition 2.3 (Erzeugende minimale isometrische Immersionen) Eine minimale isometrische Immersion ϕ zum Eigenwert λ heißt erzeugende minimale isometrische Immersion für diesen Eigenwert, wenn das Bild von ϕ^{∗} im Eigenraum E_{λ} die Bilder aller kanonischen Abbildungen ϕ̃^{∗} zu minimalen isometrischen Immersionen ϕ̃ zu diesem Eigenwert enthält.

Trivialerweise erfüllt eine minimale isometrische Immersion diese Eigenschaft, wenn ϕ^{∗} surjektiv ist. Obwohl dies in konkreten Beispielen genau darauf hinausläuft, scheint diese vorsichtigere Definition für allgemeine Riemannsche Mannigfaltigkeiten dennoch angebracht, denn so und nur so charakterisiert der Begriff der erzeugenden minimalen isometrischen Immersionen die Immersionen mit einer in einem gewissen Sinne universellen Eigenschaft. Es stellt sich nämlich heraus, daß wenn mindestens eine so auch immer eine erzeugende minimale isometrische Immersion zu einem Eigenwert λ existiert und jede weitere aus ihr durch Verknüpfen mit einer linearen und surjektiven Abbildung der Zielvektorräume entsteht. Insbesondere sind alle erzeugenden minimalen isometrischen Immersionen zu einem Eigenwert über Isomorphismen ihrer Zielvektorräume verschränkt und somit als differenzierbare Abbildungen äquivalent.

Definition 2.4 (Der Modul einer minimalen isometrischen Immersion) Die kanonische Abbildung ϕ^{∗} : W^{∗} ⟶ E_{λ} einer minimalen isometrischen Immersion ϕ bildet nach Fortsetzung auf zweite symmetrische Potenzen die Metrik ⟨ , ⟩_{W} ∈ Sym^{2}W^{∗} des Zielraums auf eine wohldefinierte symmetrische Bilinearform ab

Sym^{2}ϕ^{∗} : Sym^{2}W^{∗} ⟶ Sym^{2}E_{λ}, ⟨ , ⟩_{W} ⟼ G

die als Modul von ϕ bezeichnet wird. Dieser Modul G hängt nur von der Einschränkung der Metrik ⟨ , ⟩_{W} auf den Unterraum Spann{ϕ} und somit nur von der vollen minimalen isometrischen Immersion zu ϕ ab.

Als Bild des positiv definiten Skalarprodukts ⟨ , ⟩_{W} von W unter der Fortsetzung der Abbildung ϕ^{∗} ist G auf jeden Fall positiv semidefinit. Positiv definit ist G hingegen nur, wenn ϕ^{∗} surjektiv und ϕ damit insbesondere erzeugend ist. Zwei äquivalente minimale isometrische Immersionen ϕ ∼ ϕ̃ bestimmen denselben Modul, denn wegen ϕ̃ = F ∘ ϕ gilt natürlich ϕ̃^{∗} = ϕ^{∗} ∘ F^{∗} und (Sym^{2}F^{∗})⟨ , ⟩W̃ = ⟨ , ⟩_{W} ist gerade die Bedingung der Isometrie an F. Entscheidend für die Konstruktion des Modulraums ist nun, daß man ϕ bis auf Äquivalenz aus seinem Modul G rekonstruieren kann. Um ϕ zurückzugewinnen, muß man ϕ^{∗} zunächst dualisieren, und bekommt so (ϕ^{∗})^{∗} : E_{λ}^{∗} ⟶ W. Offensichtlich gibt es nun eine Möglichkeit N kanonisch nach E_{λ}^{∗} abzubilden, nämlich als Diracsches Deltafunktional:

\begin{matrix}N & ⟶^{δ} & E_{λ}^{∗} & ⟶^{(ϕ^{∗})^{∗}} & W \\ p & ⟼ & δ_{p} & ⟼ & ? \end{matrix}

Das Ergebnis sollte natürlich ϕ(p) sein, und tatsächlich gilt für alle α ∈ W^{∗}:

⟨α, (ϕ^{∗})^{∗}δ_{p}⟩ = ⟨α ∘ ϕ, δ_{p}⟩ = ⟨α, ϕ(p)⟩

Die einzige Metrik, die (ϕ^{∗})^{∗} zu einer Isometrie machen kann, ist natürlich der Modul ϕ^{∗}⟨ , ⟩_{W} = G von ϕ. Dazu muß man aber zuvor seinen Kern G := {𝔉 ∈ E_{λ}^{∗} : G(𝔉, ·) = 0} herausdividieren, denn G ist positiv semidefinit und sein Kern deswegen gerade die Menge aller 𝔉 ∈ E_{λ}^{∗} mit G(𝔉, 𝔉) = 0 = ⟨(ϕ^{∗})^{∗}𝔉, (ϕ^{∗})^{∗}𝔉 ⟩_{W}:

N ⟶^{δ} E_{λ}^{∗} ⟶^{π} E_{λ}^{∗}/Kern G ⟶^{(ϕ^{∗})^{∗}} W

G induziert ein positiv definites Skalarprodukt auf E_{λ}^{∗}/Kern G, das (ϕ^{∗})^{∗} zu einer Isometrie macht, so daß π ∘ δ nach Definition äquivalent zu ϕ ist. Insbesondere wird die differenzierbare Abbildung zu einem Modul G nur von dem Unterraum Kern G festgelegt, G bestimmt lediglich die Metrik auf dem zugehörigen Zielraum E_{λ}^{∗}/Kern G. Diese Rekonstruktion legt jedenfalls eindeutig fest, wie zu einer beliebig vorgegebenen symmetrischen Bilinearform G ≥ 0 in Sym^{2}E_{λ} die Abbildung π ∘ δ zu definieren ist, und es stellt sich nun umgekehrt die Frage, welche zusätzlichen Bedingungen G erfüllen muß, damit diese Abbildung tatsächlich eine minimale isometrische Immersion und G damit ein Modul wird. Die Antwort auf diese Frage ist offensichtlich:

Satz 2.5 (Charakterisierung der Moduli) Eine positiv semidefinite symmetrische Bilinearform G ∈ Sym^{2}E_{λ} ist genau dann der Modul einer minimalen isometrischen Immersion, wenn

1 . G( δ_{p} , δ_{p} ) = \frac{dim N}{λ}  für alle p ∈ N
2 . G(Xδ_{p}, Y δ_{p}) = g(X, Y)  für alle p ∈ N und X, Y ∈ T_{p}N

Die erste Bedingung stellt sicher, daß das Bild von π ∘ δ in der Sphäre vom Radius \sqrt{\frac{dim N}{λ}} liegt, und die zweite bedeutet gerade, daß π∘δ isometrisch ist. Das Lemma 2.1 von Takahashi stellt dann bereits sicher, daß π ∘ δ auch minimal ist.

Von der Frage abgesehen, ob es für einen gewählten Eigenwert λ des skalaren Laplaceoperators auf N Lösungen G dieser Gleichungen gibt oder nicht, kann man ganz allgemein schon einige Aussagen über die Menge der Lösungen machen, das heißt über die Form des Modulraums:

Satz 2.6 (Die Modulräume M_{λ} von do Carmo–Wallach [dC&W]) Wenn der Modulraum M_{λ} der minimalen isometrischen Immersionen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit N zu einem gewählten Eigenwert λ des skalaren Laplaceoperators nicht leer ist, dann ist er der Schnitt des positiven Kegels P^{+}E_{λ} := {G ∈ Sym^{2}E_{λ} : G ≥ 0} mit einem affinen Unterraum M ⊂ Sym^{2}E_{λ} modelliert nach dem Vektorunterraum M_{0} ⊂ Sym^{2}E_{λ} der Lösungen G_{0} der Gleichungen:

1 . G_{0}( δ_{p} , δ_{p} ) = 0 für alle p ∈ N
2 . G_{0}(Xδ_{p}, Y δ_{p}) = 0 für alle p ∈ N und X, Y ∈ T_{p}N

Als Schnitt zweier abgeschlossener, konvexer Mengen, des positiven Kegels P^{+}E_{λ} und des affinen Unterraums M in Sym^{2}E_{λ}, sind die Modulräume M_{λ} von do Carmo–Wallach ebenfalls abgeschlossen und konvex. Außerdem sind alle diese Modulräume kompakt. Um dies zu beweisen benötigt man das Lemma: Lemma 6.11 (Kompakte Kegelschnitte) Wenn der Schnitt des positiven Kegels P^{+}E := {G ∈ Sym^{2}E : G ≥ 0} mit einem affinen Unterraum M modelliert nach einem Unterraum M_{0} nicht leer ist, dann ist er kompakt genau dann, wenn P^{+}E ∩ M_{0} = {0}. Der Beweis dieses Lemmas findet sich im Kapitel 6, das sich allgemein mit der Geometrie von Schnitten affiner Unterräume mit positiven Kegeln befaßt. An dieser Stelle sei nur bemerkt, daß die Voraussetzung P^{+}E ∩ M_{0} = {0} äquivalent dazu ist, daß für jeden eindimensionalen affinen Unterraum M̃ ⊂ M der Schnitt P^{+}E ∩ M̃ kompakt oder leer ist. Mit Hilfe der Konvexität von P^{+}E ∩ M kann man daraus bereits folgern, daß auch P^{+}E ∩ M kompakt ist. Als unmittelbare Folgerung erhält man:

Satz 2.7 (Kompaktheit der Modulräume M_{λ} [dC&W]) Wenn der Modulraum zu einem gewählten Eigenwert λ nicht leer ist, dann ist er kompakt.

Beweis: Nach dem Trägheitssatz von Sylvester hat ein positiv semidefinites G_{0} ≥ 0 in M_{0} eine Darstellung G_{0} = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{ν}^{2} mit m := Rang G_{0} linear unabhängigen ψ_{ν} ∈ E_{λ}, die letztlich reelle Funktionen auf N sind. Deshalb gilt

G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{m}⟨ψ_{ν}^{2}, (δ_{p})^{2}⟩ = ∑_{ν=1}^{m} ψ_{ν}(p)^{2}

für alle p ∈ N. Das kann aber nur sein, wenn m = 0 und somit G_{0} = 0 ist. Die erste Bedingung G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 für alle p ∈ N alleine stellt also bereits sicher, daß der Modulraum kompakt ist. □ Wenn eine Riemannsche Mannigfaltigkeit N zu einem Eigenwert λ > 0 überhaupt eine minimale isometrische Immersion besitzt, dann gibt es auch eine erzeugende minimale isometrische Immersion zu diesem Eigenwert. Der Beweis benutzt ebenfalls eine ganz allgemeine, geometrische Eigenschaft von Schnitten affiner Unterräume mit positiven Kegeln, die erst im Kapitel 6 bewiesen wird: Lemma 6.9 (Elemente maximalen Rangs in Kegelschnitten) Wenn der Schnitt P^{+}E ∩ M eines affinen Unterraums M ⊂ Sym^{2}E mit dem positiven Kegel P^{+}E ⊂ Sym^{2}E nicht leer ist, dann haben alle Elemente G von maximalem Rang in diesem Schnitt den gleichen Kern in E^{∗}, und dieser gemeinsame Kern ist auch im Kern jedes beliebigen Elements G̃ von P^{+}E ∩ M enthalten.

Satz 2.8 (Existenz erzeugender minimaler isometrischer Immersionen) Wenn der Modulraum M_{λ} der minimalen isometrischen Immersionen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit N zu einem bestimmten Eigenwert λ nicht leer ist, dann besitzt N auch eine erzeugende minimale isometrische Immersion ϕ zu diesem Eigenwert. Jede andere volle minimale isometrische Immersion ϕ̃ entsteht daraus durch Verknüpfung mit einer linearen und surjektiven Abbildung der Zielvektorräume.

Beweis: Jede minimale isometrische Immersion ϕ̃ : N ⟶ S_{W} ⊂ W mit Modul G̃ läßt sich schreiben als:

ϕ̃: N ⟶^{δ} E_{λ}^{∗} ⟶^{π} E_{λ}^{∗}/_{Kern G̃} ⟶^{(ϕ̃^{∗})^{∗}} W

Wenn G ein Modul maximalen Rangs in M_{λ} ≠ ∅ ist, dann faktorisiert ϕ̃ über die minimale isometrische Immersion ϕ : N ⟶ E_{λ}^{∗}/Kern G wegen Kern (ϕ̃^{∗})^{∗} = Kern G̃ ⊃ Kern G. Für eine volle Immersion ist ϕ̃^{∗} aber injektiv und folglich (ϕ̃^{∗})^{∗} surjektiv. □

Der abstrakten Konstruktion des Standardrepräsentanten π ∘ δ : N ⟶ E_{λ}^{∗}/Kern G einer Äquivalenzklasse minimaler isometrischer Immersionen zu einem vorgegebenen Modul G aus M_{λ} kann man alternativ ganz konkrete Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse zur Seite stellen. Diese neuen Repräsentanten sind zwar in keinerlei Weise eindeutig, dafür können sie explizit in Koordinaten hingeschrieben werden:

Bemerkung 2.9 (Alternative Realisierung eines Moduls) Jede positiv semidefinite Bilinearform G ∈ Sym^{2}E_{λ} hat nach dem Trägheitssatz von Sylvester eine Darstellung G = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{ν}^{2} als Summe von m := Rang G Quadraten linear unabhängiger ψ_{ν} ∈ E_{λ}, die man als Komponenten einer vollen, glatten Abbildung

ψ : N ⟶ ℝ^{m}, p ⟼ ( ψ_{1}(p), …, ψ_{m}(p) )

auffassen kann. Die kanonische Abbildung ψ^{∗} bildet dann die Standardlinearformen de_{ν} des ℝ^{m} auf die ψ_{ν} und das Standardskalarprodukt \frac{1}{2} ∑ de_{ν}^{2} des ℝ^{m} damit auf G ab. Deshalb ist ψ eine minimale isometrische Immersion mit dem gewünschten Modul G. Aufgrund der Ambivalenz der Darstellung von G als Summe von Quadraten ist ψ offenbar nicht eindeutig, jedoch wird diese Ambivalenz gerade durch die Operation der orthogonalen Gruppe O_{m}ℝ vermittelt, so daß die Äquivalenzklasse von ψ nur von dem Modul G abhängt.

Im Vergleich zur oben vorgestellten, neuen Interpretation der Modulräume M_{λ} benutzt die ursprüngliche Konstruktion von do Carmo–Wallach [dC&W] für die Sphären S^{n−1} explizit die sogenannte Standardimmersion ψ = ( ψ_{1}, …, ψ_{m}) : S^{n−1} ⟶ ℝ^{m} zum gewählten Eigenwert λ > 0, deren Komponenten ψ_{ν} eine Orthonormalbasis von E_{λ} bezüglich des geeignet reskalierten L^{2}–Skalarprodukts auf E_{λ} bilden. Jede andere minimale isometrische Immersion läßt sich dann aus dieser notgedrungen erzeugenden Standardimmersion durch Verknüpfung mit einer linearen, surjektiven Abbildung A : ℝ^{m} ⟶ ℝm̃ gewinnen, die durch eine m̃ × m–Matrix A_{νμ} beschrieben werden kann. Die kanonische Abbildung zu dieser minimalen isometrischen Immersion A ∘ ψ bildet die Standardlinearformen de_{ν} des ℝm̃ auf die Funktionen ∑_{μ} A_{νμ}ψ_{μ} und das Standardskalarprodukt des ℝm̃ somit auf den Modul ab:

G := \frac{1}{2} ∑_{νμρ}(A_{νμ}ψ_{μ}) · (A_{νρ}ψ_{ρ}) = \frac{1}{2} ∑_{μρ}(A^{T} A)_{μρ}ψ_{μ} · ψ_{ρ}

In der Konstruktion von do Carmo–Wallach wird die Äquivalenzklasse von A∘ψ nicht durch ihren Modul G, sondern durch die Matrix A^{T} A − I repräsentiert, wobei I die m × m– Einheitsmatrix bezeichnet. Aber A^{T} A ist im Gegensatz zum Modul G nicht kanonisch zu der Äquivalenzklasse der minimalen isometrischen Immersion A ∘ ψ assoziiert, denn es hängt offensichtlich auch von der Auswahl der Orthonormalbasis {ψ_{ν}} für die Standardimmersion ab. Insofern findet die Klasse von A ∘ ψ niemals ihren endgültigen Platz im Modulraum M_{λ}, und es wird schwieriger, zwei minimale isometrische Immersionen auseinanderzuhalten.

Wenn man weiß, daß eine gewisse Riemannsche Mannigfaltigkeit N minimale isometrische Immersionen in Sphären besitzt, so kann man sich fragen, ob diese Immersionen über Quotienten N/Γ von N durch eine diskrete, fixpunktfreie Gruppe Γ von Isometrien faktorisieren. Insbesondere ist das der Fall, wenn das Bild selbst wieder eine Mannigfaltigkeit und die Riemannsche Überlagerung ϕ : N ⟶ ϕ(N) normal ist. Letzteres ist zum Beispiel bei einfach zusammenhängendem N stets erfüllt. Weil die Eigenräume E_{λ} der skalaren Laplaceoperatoren auf N und N/Γ in enger Beziehung stehen, gibt es nun eine ebenso einfache Beziehung zwischen den Modulräumen M_{λ} der minimalen isometrischen Immersionen:

Bemerkung 2.10 (Minimale isometrische Immersionen von Quotienten) Der Eigenraum des skalaren Laplaceoperators Δ zum Eigenwert λ auf dem Quotienten N/Γ ist gerade der Raum der Γ–invarianten Eigenfunktionen (E_{λ})_{Γ} auf N. In diesem Sinne bildet die zu einer minimalen isometrischen Immersion ϕ : N/Γ ⟶ W gehörende kanonische Abbildung ϕ^{∗} : W^{∗} ⟶ (E_{λ})_{Γ} die Metrik von W auf einen Modul G in Sym^{2}(E_{λ})_{Γ} ⊂ Sym^{2}E_{λ} ab. Anders ausgedrückt ist der Modulraum der minimalen isometrischen Immersionen des Quotienten N/Γ der Schnitt des Modulraums M_{λ} ⊂ Sym^{2}E_{λ} von N mit dem Unterraum Sym^{2}(E_{λ})_{Γ} ⊂ Sym^{2}E_{λ}. Insbesondere geht jede volle minimale isometrische Immersion des Quotienten N/Γ in eine Sphäre der Dimension höchstens dim (E_{λ})_{Γ} − 1.

Zum Schluß dieses Kapitels sei noch ein allgemeines Argument vorgestellt, mit dem man Beispiele für minimale isometrische Immersionen konstruieren kann, deren Bilder keine glatten Untermannigfaltigkeiten sind. Es ist vielleicht nicht so sehr überraschend, daß es tatsächlich solche minimalen isometrischen Immersionen mit Selbstschnitten gibt, aber ein Nachteil der etwa in Kapitel 3 erläuterten Grundkonstruktionen ist, daß sie stets minimale isometrische Immersionen ergeben, deren Bilder eingebettete Untermannigfaltigkeiten sind. Für dieses Argument sei zunächst angemerkt, daß alle minimalen isometrischen Immersionen zu den Moduli tG_{1} + (1 − t)G_{2} mit 0 < t < 1 auf der Verbindungsstrecke zweier G_{1} und G_{2} aus M_{λ} wegen Kern (tG_{1} + (1 − t)G_{2}) = Kern G_{1} ∩ Kern G_{2} durch dieselbe differenzierbare Abbildung N ⟶ E_{λ}^{∗}/(Kern G_{1} ∩ Kern G_{2}) realisiert werden. Deren Zielraum kann man als Unterraum von E_{λ}^{∗}/Kern G_{1} ⊕ E_{λ}^{∗}/Kern G_{2} auffassen [T&Z] vermöge der exakten Sequenz

0 → E_{λ}^{∗}/Kern G_{1} ∩ Kern G_{2} ⟶ E_{λ}^{∗}/Kern G_{1}⊕E_{λ}^{∗}/Kern G_{2} ⟶ E_{λ}^{∗}/Kern G_{1} + Kern G_{2} → 0

die so gewählt werden kann, daß 𝔉 + Kern G_{1} ∩ Kern G_{2} auf (𝔉 + Kern G_{1}) ⊕ (𝔉 + Kern G_{2}) abgebildet wird. In diesem Sinne faktorisieren die minimalen isometrischen Immersionen zu den Moduli tG_{1} + (1 − t)G_{2} mit 0 < t < 1 über die diagonale Immersion von N in das Produkt der Bilder der Immersionen zu G_{1} und G_{2}:

Satz 2.11 (Das Tunnelargument) Seien G_{1} und G_{2} zwei Moduli minimaler isometrischer Immersionen von N zum gleichen Eigenwert λ, deren Bilder glatte Quotienten von N durch diskrete, fixpunktfreie Gruppen Γ_{1} bzw. Γ_{2} von Isometrien sind. Ist dann N zusammenhängend, so sind die Bilder der minimalen isometrischen Immersionen zu den Moduli tG_{1} + (1 − t)G_{2} mit 0 < t < 1 auf der Verbindungsstrecke zwischen G_{1} und G_{2} genau dann glatte Mannigfaltigkeiten, wenn keine Isometrie in der Menge Γ_{1}Γ^{−1}_{2} = {γ_{1}γ^{−1}_{2} : γ_{1} ∈ Γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ_{2}} außer der Identität Fixpunkte in N besitzt. In diesem Fall ist das Bild der Quotient N/(Γ_{1} ∩ Γ_{2}).

Beweis: Nach der oben vorgestellten Konstruktion des Zielraums der minimalen isometrischen Immersionen zu den Moduli tG_{1} + (1 − t)G_{2} auf der Verbindungsstrecke ist das Bild genau dann eine glatte Untermannigfaltigkeit, wenn das Bild der diagonalen Immersion Δ : N ⟶ N/Γ_{1} × N/Γ_{2}, p ⟼ (pΓ_{1}, pΓ_{2}) eine glatte Untermannigfaltigkeit von N/Γ_{1} × N/Γ_{2} ist. Natürlich ist das zum Beispiel erfüllt, wenn Γ_{1} = Γ_{2} =: Γ. In diesem Fall gibt es auch keine Isometrie in ΓΓ^{−1} = Γ mit Fixpunkten außer der Identität einfach aufgrund der Voraussetzungen an Γ. Die möglichen Singularitäten des Bildes der diagonalen Immersion kommen also daher, daß N × N durch zwei verschiedene Gruppen geteilt wird.

Vor dem eigentlichen Beweis sei bemerkt, daß die Fixpunkte der Isometrien in Γ_{1}Γ^{−1}_{2} in enger Beziehung zu Paaren von Urbildern eines Punktes von N/Γ_{1} ×N/Γ_{2} in N stehen. Sind nämlich p und p̃ aus N zwei Urbilder eines Doppelpunkts (pΓ_{1}, pΓ_{2}) = (p̃Γ_{1}, p̃Γ_{2}), dann gibt es γ_{1} ∈ Γ_{1} und γ_{2} ∈ Γ_{2} mit p̃ = pγ_{1} = pγ_{2}, und p ist ein Fixpunkt der Isometrie γ_{1}γ^{−1}_{2} . Umgekehrt sind p und pγ_{1} = pγ_{2} für einen Fixpunkt p einer Isometrie γ_{1}γ^{−1}_{2} ∈ Γ_{1}Γ^{−1}_{2} zwei verschiedene Urbilder des Doppelpunkts (pΓ_{1}, pΓ_{2}). Gibt es nun keine Isometrie in Γ_{1}Γ^{−1}_{2} mit Fixpunkten außer der Identität, dann sind alle Paare von Urbildern eines Doppelpunkts von der Form p und pγ_{1} = pγ_{2} für ein beliebiges p ∈ N und jede Darstellung γ_{1}γ^{−1}_{2} = 1 der Identität von N mit γ_{1} = γ_{2} ∈ Γ_{1} ∩ Γ_{2}. Somit ist das Bild der diagonalen Immersion Δ gerade der Quotient N/(Γ_{1} ∩ Γ_{2}) und infolgedessen glatt.

Andernfalls gibt es eine Isometrie γ_{1}γ^{−1}_{2} ≠ 1 mit Fixpunkt p, und somit in N mindestens zwei Urbilder p und p̃:= pγ_{1} = pγ_{2} des Punkts (pΓ_{1}, pΓ_{2}) unter der diagonalen Immersion Δ. Wenn nun das Bild von N unter Δ eine glatte Untermannigfaltigkeit von N/Γ_{1} × N/Γ_{2} wäre, dann müßten die Bilder der Tangentialräume T_{p}N und Tp̃N unter dem Differential von Δ als Unterräume von T_{(pΓ_{1}, pΓ_{2})}(N/Γ_{1} × N/Γ_{2}) mit dem Tangentialraum dieser Untermannigfaltigkeit und insbesondere untereinander übereinstimmen. Auf jeden Fall faktorisiert nun die diagonale Immersion Δ über die Diagonale N ⟶ N × N und die Quotientenabbildung N × N ⟶ N/Γ_{1} × N/Γ_{2}. Infolgedessen kann man die Bilder von T_{p}N und Tp̃N in T_{(pΓ_{1}, pΓ_{2})}(N/Γ_{1}×N/Γ_{2}) mittels der durch die Quotientenabbildung induzierten Identifikation

T_{p}N ⊕ T_{p}N ≅ T_{(pΓ_{1}, pΓ_{2})}(N/Γ_{1} × N/Γ_{2}) ≅ Tp̃N ⊕ Tp̃N

auch als Graphen {(X, X) : X ∈ T_{p}N} der Identität von T_{p}N bzw. Tp̃N auffassen. Allerdings ist der resultierende Isomorphismus Tp̃N ⊕ Tp̃N ⟶ T_{p}N ⊕ T_{p}N einfach durch γ^{−1}_{1∗} ⊕ γ^{−1}_{2∗} gegeben, und bildet deshalb den Graphen der Identität von Tp̃N auf den Graphen {(γ^{−1}_{1∗} X, γ^{−1}_{2∗} X) : X ∈ Tp̃N} = {(X, γ^{−1}_{2∗} γ_{1∗}X) : X ∈ T_{p}N} des Differentials der Isometrie γ^{−1}_{2} ∘ γ_{1} = γ_{1}γ^{−1}_{2} im Tangentialraum T_{p}N des Fixpunkts p ab. Aber auf der zusammenhängenden Mannigfaltigkeit N ist dieses Differential wegen γ_{1}γ^{−1}_{2} ≠ 1 nach Voraussetzung nicht die Identität und hat damit auch einen anderen Graphen. □

Es zeigt sich, daß man die Voraussetzungen an die beiden Gruppen Γ_{1} und Γ_{2}, daß keine Isometrie in Γ_{1}Γ^{−1}_{2} außer der Identität einen Fixpunkt besitzt, auf der dreidimensionalen Sphäre N = S^{3} leicht verletzten kann, indem man einfach zwei konjugierte Untergruppen in den beiden SU_{2}–Faktoren der Isometriegruppe SO_{4}ℝ = SU_{2}×SU_{2}/ℤ_{2} wählt. Ein Quotient der S^{3} durch eine diskrete, fixpunktfreie Untergruppe eines der beiden SU_{2}–Faktoren ist eine homogene Raumform und besitzt damit eine minimale isometrische Immersion nach den Ergebnissen von DeTurck–Ziller [DT&Z]. Also liegen auf der Verbindungsstrecke zweier geeigneter G_{1} und G_{2} aus M_{λ} die Moduli von minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S^{3} mit Selbstschnitten.

18

Beispiele und Konstruktionen

Die Konstruktion des Modulraums M_{λ} minimaler isometrischer Immersionen einer Riemannschen Mannigfaltigkeit N zum Eigenwert λ hat die Frage offengelassen, ob dieser Modulraum überhaupt eine Klasse von Immersionen enthält. Um Beispiele für Klassen im Modulraum M_{λ} aufzuzeigen, gibt es im wesentlichen zwei verschiedene Konstruktionen, die erste von Takahashi [Ta], die zweite von Mashimo [Ma].

Beide haben gemeinsam, daß auf die eine oder andere Art das Lemma von Schur benutzt wird. Insofern benötigen beide Konstruktionen eine irreduzible Darstellung einer Gruppe. Bei der ersten Konstruktion wird dementsprechend vorausgesetzt, daß der Tangentialraum eines homogenen Raums eine irreduzible Darstellung der Isotropiegruppe ist, während für die zweite Konstruktion der Zielraum W der Immersion selbst eine isotypische, das heißt eine direkte Summe äquivalenter, irreduzibler Darstellungen der kompakten Liegruppe N = G sein muß.

3.1 Die Konstruktion von Takahashi

Diese Konstruktion zeigt, daß eine bestimmte Klasse kompakter, homogener Räume zu jedem Eigenwert λ > 0 des skalaren Laplaceoperators eine minimale isometrische Immersion besitzt:

Definition 3.1 (Isotropie–irreduzible homogene Räume) Ein isotropie–irreduzibler homogener Raum ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit N mit einer transitiven Liegruppe G von Isometrien

N ≅ G/H_{p}  H_{p} := {γ ∈ G : γp = p}  mit p ∈ N

so daß die Isotropiegruppe H_{p} für ein und somit alle p ∈ N irreduzibel auf T_{p}N operiert.

Satz 3.2 (Die Standardimmersionen von Takahashi [Ta]) Sei N ≅ G/H_{p} ein kompakter, isotropie–irreduzibler homogener Raum und E_{λ} ⊂ C^{∞}N der Eigenraum des Laplaceoperators Δ zum Eigenwert λ > 0. Sei W ⊂ E_{λ} ein G–invarianter Unterraum von E_{λ}, dann gibt es eine minimale isometrische Immersion

ϕ : N ⟶ W^{∗}, p ⟼ δ_{p}|_{W}

die Standardimmersion zu W, wobei W^{∗} die folgende G–invariante Metrik G trägt:

G(·, ·) := \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} [(·, ·)_{L^{2}|_{W ×W}} ]^{−1}

Die Notation ^{−1} bezeichnet dabei die zu (·, ·)_{L^{2}|W ×W} duale Metrik auf W^{∗}.

Beweis: Zunächst sei daran erinnert, daß die duale Metrik über die ”Spur“ berechnet werden kann:

(·, ·)^{−1}(α, β) = ∑_{ONB} α(e_{ν})β(e_{ν})

Sei also {ψ_{ν}} eine L^{2}–ONB von W, dann gilt für alle p ∈ M:

G(δ_{p}|_{W} , δ_{p}|_{W}) = \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} ∑_{L^{2}−ONB} ψ_{ν}(p)^{2}

Nun operiert γ ∈ G orthogonal auf E_{λ} und somit W, so daß mit {ψ_{ν}} auch {γ^{−1}ψ_{ν}} eine L^{2}–ONB von W ist. Da die Spur nicht von der Wahl der ONB abhängt, ist die rechte Seite G–invariant und somit konstant auf N. Durch Integration über N folgt:

vol N G(δ_{p}|_{W} , δ_{p}|_{W}) = \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} ∑_{L^{2}−ONB} ∫_{N}ψ_{ν}(p)^{2} dvol = \frac{dim N}{λ} vol N

Das Bild von N ist somit in der Sphäre vom Radius r^{2} = \frac{dim N}{λ} enthalten. Für den zweiten Teil des Beweises benötigt man die Voraussetzung, daß N isotropie–irreduzibel ist. Dazu muß man die G–Äquivarianz der etwas komplizierteren Spur

∑_{L^{2}−ONB} d_{γp}ψ_{ν}(γ_{∗}X)d_{γp}ψ_{ν}(γ_{∗}Y) = ∑_{L^{2}−ONB} d_{p}ψ_{ν}(X)d_{p}ψ_{ν}(Y)

für alle X, Y ∈ T_{p}N ausnutzen. Beschränkt man sich zunächst auf γ ∈ H_{p}, so definiert die rechte Seite eine H_{p}–invariante, positiv semidefinite symmetrische Bilinearform auf T_{p}N. Auf diesem Vektorraum operiert H_{p} nach Voraussetzung irreduzibel, also ist diese Bilinearform nach dem Lemma von Schur ein Vielfaches κ der gegebenen Metrik g auf T_{p}N. Sowohl die rechte Seite als Bilinearform als auch die Metrik g sind aber bereits unter ganz G äquivariant und somit κ konstant auf N. Nimmt man die Spur über T_{p}N und integriert über N, so folgt

κ (dim N) (vol N) = ∫_{N} ∑_{TpN−ONB} ∑_{L^{2}−ONB} d_{p}ψ_{ν}(X_{μ})^{2} dvol

= ∑_{L^{2}−ONB} ∫_{N} g^{−1}(d_{p}ψ_{ν}, d_{p}ψ_{ν}) dvol

= ∑_{L^{2}−ONB} ∫_{N} Δψ_{ν}(p)ψ_{ν}(p) dvol = λ dim W

mit der Greenschen Formel. Deshalb ist κ = \frac{λ}{vol N} \frac{dim W}{dim N} und nach Definition von κ gilt:

G(Xδ_{p}|_{W} , Y δ_{p}|_{W}) = \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} ∑_{L^{2}−ONB} d_{p}ψ_{ν}(X)d_{p}ψ_{ν}(Y) = \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} κg(X, Y) □

Die so konstruierten minimalen isometrischen Immersionen sind voll, denn offenbar ist ϕ^{∗} : W ⟶ E_{λ} gerade die Inklusion W ⊂ E_{λ}. Hingegen ist ϕ^{∗} nur für W = E_{λ} erzeugend, weil alle Voraussetzungen an den Unterraum W offensichtlich auch für E_{λ} selbst zutreffen. Der Modul von ϕ ist das Element

G := \frac{vol N}{λ} \frac{dim N}{dim W} ∑_{L^{2}−ONB} \frac{1}{2}ψ_{ν}^{2} ∈ Sym^{2}E_{λ}

Das Bild von N ist eine Untermannigfaltigkeit und selbst ein isotropie–irreduzibler homogener Raum [Li], denn mit W trägt auch W^{∗} eine G–Darstellung, für die

⟨δ_{γp}|_{W} , ψ⟩ = ψ(γp) = ⟨δ_{p}|_{W} , γ^{−1}ψ⟩ = ⟨γδ_{p}|_{W} , ψ⟩

für alle ψ ∈ W gilt. Demnach ist ϕ(N) der Orbit von δ_{p}|_{W} , p ∈ N, unter G, das heißt:

ϕ(N) ≅ G/H̃_{p}  H̃_{p} := {γ ∈ G : γδ_{p}|_{W} = δ_{p}|_{W} }

H̃_{p} ist eine diskrete und somit endliche Erweiterung von H_{p} in G. Offensichtlich gilt neben H_{γp} = γH_{p}γ^{−1} auch H̃_{γp} = γH̃_{p}γ^{−1}. Ist H_{p} nun normal in H̃_{p} für ein und folglich alle p ∈ N, zum Beispiel wenn H_{p} zusammenhängend ist, dann können die abstrakten Gruppen Γ_{p} := H̃_{p}/H_{p} auf eineindeutige Art und Weise miteinander identifiziert werden. Diese Gruppe Γ ≅ Γ_{p} operiert dann auf N durch Decktransformationen der Riemannschen Überlagerung N ⟶ ϕ(N) und somit selbst durch Isometrien, die mit allen γ ∈ G kommutieren:

Γ × N ⟶ N, (γ̃H_{p} , γp) ⟼ γγ̃p = (γγ̃γ^{−1})γp

Insbesondere ist Γ eine zentrale Untergruppe von G, wenn G selbst die Gruppe aller Isometrien von N ist.

3.2 Die Konstruktion von Mashimo

In dieser Konstruktion werden minimale isometrische Immersionen einer kompakten Liegruppe G direkt durch geeignete Orbiten in einer Darstellung W von G definiert, von der man nur voraussetzen muß, daß sie isotypisch ist, das heißt direkte Summe äquivalenter, irreduzibler Darstellungen. Diese Konstruktion von Mashimo harmoniert mit der in Kapitel 2 angegebenen neuen Interpretation der Modulräume M_{λ} von do Carmo–Wallach in besonderer Weise und stellt dabei einen natürlichen Bezug zum Satz von Peter–Weyl her. Insbesondere gehört zu jeder irreduziblen Darstellung W von G, die zumindest eine treue Darstellung der Liealgebra 𝔤 von G ist, eine minimale isometrische Immersion π : G ⟶ End W von G bezüglich einer geeigneten biinvarianten Metrik, die nichts anderes als die Darstellung im eigentlichen Sinne des Wortes ist.

Satz 3.3 (Die minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo [Ma]) Sei G eine kompakte Liegruppe mit Algebra 𝔤 und W eine isotypische G–Darstellung mit invarianter Metrik G. Sei w ∈ W ein Vektor, für den ⟨X, Y ⟩ := G(Xw, Y w), X, Y ∈ 𝔤, eine positiv definite symmetrische Bilinearform auf 𝔤 induziert. Dann gibt es eine glatte Immersion von G als Orbit von w unter G

ϕ : G ⟶ W, γ ⟼ γw

in die Sphäre vom Radius r^{2} = G(w, w) = \frac{dim G}{λ} mit λ := \frac{dim G}{r^{2}} > 0, die isometrisch bezüglich der linksinvarianten Metrik ⟨ , ⟩ auf G ist. Ist diese Metrik biinvariant, das heißt es gilt ⟨Ad_{γ}X, Ad_{γ}Y ⟩ = ⟨X, Y ⟩ für alle γ ∈ G, dann ist ϕ minimal.

Beweis: Die einzige nichttriviale Aussage ist die über die Minimalität von ϕ, denn die linksinvarianten Vektorfelder X ∈ 𝔤 werden vom Differential ϕ_{∗} der Immersion im Punkt γ ∈ G auf ϕ_{∗}X_{γ} = \frac{d}{dt}|_{0}γe^{tX}w = γXw abgebildet. Infolgedessen gilt für alle X, Y ∈ 𝔤 G(ϕ_{∗}X_{γ}, ϕ_{∗}Y_{γ}) = G(γXw, γY w) = ⟨X, Y ⟩ und ϕ ist eine isometrische Immersion von G in eine Sphäre vom Radius r^{2} = G(w, w). Ist nun ⟨ , ⟩ eine biinvariante Metrik, so definiert die duale Metrik

⟨ , ⟩^{−1} = ∑_{ONB} X_{ν} ⊗ X_{ν} ∈ 𝔤 ⊗ 𝔤

ein zentrales Element Cas_{⟨ , ⟩} in der universell einhüllenden Algebra U𝔤, den Casimiroperator. Daher induziert es einen symmetrischen Endomorphismus Cas_{⟨ , ⟩} von W, der nach dem Lemma von Schur auf jedem irreduziblen Summanden von W und damit auch auf W selber ein Vielfaches der Identität sein muß, genauer

G(Cas_{⟨ , ⟩}w, w) = − ∑_{ONB} G(X_{ν}w, X_{ν}w) = − ∑_{ONB}⟨X_{ν}, X_{ν}⟩ = −dim G = −λG(w, w)

das heißt Cas_{⟨ , ⟩} = −λ id_{W}. Nun ist der Levi–Civita–Zusammenhang zu jeder biinvarianten Metrik ⟨ , ⟩ auf G nach der Koszulformel gegeben durch ∇_{X}Y = \frac{1}{2}[X, Y] für alle linksinvarianten Vektorfelder X, Y ∈ 𝔤. Weil ϕ als isometrische Immersion jedenfalls den Levi–Civita– Zusammenhang auf G induziert, hat die zweite Fundamentalform von ϕ

II_{W} (X, Y) = (XY − ∇_{X}Y)ϕ = \frac{1}{2}(XY + Y X)ϕ

als Immersion in W die rein radiale Spur tr II_{W} = Cas_{⟨ , ⟩}ϕ = −λϕ. Folglich verschwindet die Spur der zweiten Fundamentalform II als Immersion in die Sphäre S_{W}. Man kann auch anders argumentieren und −Cas_{⟨ , ⟩} direkt als Laplaceoperator zur Metrik ⟨ , ⟩ interpretieren. Dann konstruiert man zunächst

W ⟶^{♯} W^{∗} ⟶^{ϕ^{∗}} C^{∞}G, w̃ ⟼ G(w̃, · w)

und erreicht dadurch ΔG(w̃, · w) = G(w̃, · (−Cas_{⟨ , ⟩})w) = λ G(w̃, · w). Somit bildet ϕ^{∗} den Raum W^{∗} nach E_{λ} ab, und nach dem Lemma 2.1 von Takahashi ist ϕ minimal. □

Bemerkung 3.4 (Positivität und treue Darstellungen) Wenn W keine treue Darstellung der Liealgebra 𝔤 ist, dann kann natürlich kein Orbit von G in W das Bild einer Immersion von G sein. Umgekehrt kann man für eine treue Darstellung W der Liealgebra 𝔤 aus der Biinvarianz von ⟨X, Y ⟩ := G(Xw, Y w) schon folgern, daß ⟨ , ⟩ ein Skalarprodukt auf 𝔤 ist. Denn für ein X ∈ 𝔤 mit ⟨X, X⟩ = 0 gilt

⟨Ad_{γ^{−1}}X, Ad_{γ^{−1}}X⟩ = 0 = G(Xγw, Xγw)

aufgrund der Biinvarianz, und X verschwindet schon auf dem G–invarianten Unterraum Spann {γw : γ ∈ G}. Weil dieser mindestens einen irreduziblen Summanden der isotypischen Darstellung W enthält, operiert X ∈ 𝔤 trivial auf ganz W, was für eine treue Darstellung W der Liealgebra 𝔤 gleichbedeutend mit X = 0 ist.

Beispiel 3.5 (Darstellungen als minimale isometrische Immersionen) Ein interessantes Beispiel für eine isotypische Darstellung ist der Raum End W = W^{∗} ⊗ W aller Endomorphismen einer irreduziblen Darstellung W von G, wobei W^{∗} als triviale G– Darstellung aufgefaßt wird und G nur auf dem zweiten Faktor operiert, das heißt durch (γA) := γ ∘ A für alle γ ∈ G und A ∈ End W. Die von G induzierte, G–invariante Metrik End G := G^{−1} ⊗ G auf End W ist das Hilbert–Schmidt–Skalarprodukt:

(End G)(A, B) := ∑_{ONB} G(Aw_{ν}, Bw_{ν}) für A, B ∈ End W

Insbesondere induziert die Identität id_{W} ∈ End W von W auf 𝔤 die biinvariante Bilinearform

⟨X, Y ⟩ := (End G)(X id_{W} , Y id_{W}) = ∑_{ONB} G(Xw_{ν}, Y w_{ν}) = − tr_{W} XY X, Y ∈ 𝔤

so daß der Orbit von id_{W} in End W für jede irreduzible Darstellung W, die eine treue Darstellung der Liealgebra 𝔤 ist, eine minimale isometrische Immersion der kompakten Liegruppe G in eine Sphäre vom Radius r^{2} = (End G)( id_{W} , id_{W}) = dim W induziert, die nichts anderes als die Darstellung π : G ⟶ End W selbst ist. Man beachte, daß diese minimale isometrische Immersion im allgemeinen nicht voll ist.

Sobald ein Vektor w in einer isotypischen, auf dem Niveau der Liealgebra treuen Darstellung W von G also eine biinvariante, symmetrische Bilinearform ⟨X, Y ⟩ := G(Xw, Y w) auf 𝔤 induziert, ist der Orbit von w unter G das Bild einer minimalen isometrischen Immersion ϕ : G ⟶ W, γ ⟼ γw in eine Sphäre vom Radius r^{2} = G(w, w). Das Bild dieser Immersion spannt dann einen G–invarianten Unterraum Spann {γw : γ ∈ G} auf, und ist somit eine orthonormale Summe von Kopien der typischen irreduziblen Darstellung von W.

Im folgenden sei der Einfachheit halber vorausgesetzt, daß die Darstellung W selbst irreduzibel ist. Dann ist die minimale isometrische Immersion ϕ voll und die kanonische Abbildung ϕ^{∗} bildet die Linearform α ∈ W auf den Matrixkoeffizienten α(· w) ab:

ϕ^{∗} : W^{∗} ⟶ W^{∗} ⊗ W ⟶ E_{λ} ⊂ C^{∞}G, α ⟼ α(· w)

Nach Beispiel 3.5 gibt es nun eine minimale isometrische Immersion, deren kanonische Abbildung nach Definition das Bild aller Matrixkoeffizienten W^{∗} ⊗ W von W in E_{λ} trifft. Deshalb kann die Immersion ϕ nur dann eine erzeugende minimale isometrische Immersion sein, wenn auch ϕ^{∗} surjektiv und die Dimension von W deshalb 1, 2 oder 4 ist. Dazu benötigt man den Satz von Peter–Weyl in der Kategorie der Darstellungen auf reellen Vektorräumen und die Klassifizierung in reelle, komplexe und quaternionische Darstellungen:

Definition 3.6 (Reelle, komplexe und quaternionische Darstellungen) Sei W eine irreduzible Darstellung einer kompakten Liegruppe G auf einem reellen Vektorraum. Die Algebra End_{G}W := {A ∈ End W : Aγ = γA für alle γ ∈ G} aller G–invarianten Endomorphismen von W ist dann eine assoziative Divisionsalgebra über ℝ, also isomorph zu ℝ, ℂ oder ℍ. Dementsprechend heißt W reelle, komplexe oder quaternionische Darstellung.

Satz 3.7 (Satz von Peter–Weyl für Darstellungen über ℝ) Für eine kompakte Liegruppe G ist der reelle Hilbert–Raum L_{ℝ}^{2}G der Abschluß der direkten Summe

L_{ℝ}^{2}G ≅ \overline{⨁_{W} W^{∗} ⊗_{End_{G}W} W}

wobei über alle Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen in reellen Vektorräumen W summiert und W und W^{∗} in natürlicher Weise als End_{G}W Links– bzw. Rechtsvektorräume aufgefaßt werden. In diesem Sinne ist die Abbildung W^{∗} ⊗ W ⟶ C^{∞}G die Projektion auf W^{∗} ⊗_{End_{G}W} W, denn A^{∗}α ⊗ w und α ⊗ Aw werden beide auf α(·Aw) ∈ C^{∞}G abgebildet.

Die Bedeutung der Konstruktion von Mashimo liegt also darin, daß sie für irreduzible Darstellungen W minimale isometrische Immersionen in Zielräume kleiner Dimension ergibt, denn die erzeugenden Immersionen zum gleichen Eigenwert gehen in Räume der Dimension mindestens \frac{1}{d}(dim W)^{2} mit d = 1, 2 oder 4, je nachdem ob W reell, komplex oder quaternionisch ist. Mit Ausnahme der beiden Standardimmersionen S^{1} ⟶ ℂ und S^{3} ⟶ ℍ zum ersten Eigenwert sind also die Immersionen von Mashimo für keine irreduzible Darstellung W einer kompakten Liegruppe G erzeugende minimale isometrische Immersionen. Es bleibt das interessante Problem, für eine gegebene, irreduzible Darstellung W von G geeignete Vektoren w ∈ W zu finden. Ganz allgemein kann man dieses Problem so umformulieren:

Satz 3.8 (Varietät der Mashimo–Vektoren [Ma]) Sei W eine irreduzible Darstellung der kompakten Liegruppe G und treue Darstellung der Liealgebra 𝔤 mit bis auf skalaren Faktor eindeutiger, invarianter Metrik G. Diese definiert eine G–äquivariante, lineare Abbildung Q : Sym^{2}𝔤 ⟶ Sym^{2}W^{∗}, X^{2} ⟼ G(X·, X·), die eine G–invariante Zerlegung

Sym^{2}W^{∗} = ℝG ⊕ Im_{0}Q ⊕ Rest

induziert, wobei der eindeutig bestimmte, triviale Summand ℝG im Bild von Q liegt, und Im_{0}Q der Schnitt von Im Q mit Sym _{0}^{2}W^{∗} ist. Ein Vektor w ≠ 0 induziert genau dann ein biinvariantes Skalarprodukt auf 𝔤, wenn er im Schnitt aller Koniken aus Im_{0}Q liegt.

Beweis: Für eine kompakte Liegruppe G sind 𝔤 und 𝔤^{∗} äquivalent als Darstellungen. In diesem Sinne zerfällt Sym^{2}𝔤 in die direkte Summe ℝ^{r}⊕Sym _{0}^{2}𝔤 des Unterraums ℝ^{r} der biinvarianten Bilinearformen auf 𝔤^{∗} und seines eindeutig bestimmten, G–invarianten Komplements Sym _{0}^{2}𝔤. Unter der G–äquivarianten Abbildung Q werden diese beiden Summanden surjektiv auf ℝG bzw. Im_{0}Q abgebildet. Die duale Abbildung Q^{∗} : Sym^{2}W ⟶ Sym^{2}𝔤^{∗} bildet nun natürlich das Quadrat w^{2} auf die von w induzierte, symmetrische Bilinearform G(·w, ·w) ab. Somit ist diese genau dann biinvariant und nach Bemerkung 3.4 dann auch positiv definit, wenn Q^{∗}(w^{2}) im Annihilator des nicht biinvarianten Unterraums Sym _{0}^{2}𝔤 von Sym^{2}𝔤 liegt. Weil Q und Q^{∗} adjungiert sind, besagt das nichts anderes, als daß w^{2} im Annihilator von Im_{0}Q liegt. □

Induziert ein Vektor w ∈ W ein biinvariantes Skalarprodukt ⟨ , ⟩ := G(·w, ·w) auf 𝔤, so induziert rw offenbar r^{2}⟨ , ⟩. Ist die Gruppe G also einfach, so wird man das Skalarprodukt ⟨ , ⟩ auf 𝔤 mit Casimiroperator Cas_{⟨ , ⟩} und dadurch auch den Casimireigenwert −λ auf W festlegen, und ist dann nur noch an den Mashimo–Vektoren w der ”richtigen“ Norm G(w, w) = r^{2} = \frac{dim G}{λ} interessiert. Darauf operiert immer noch die Gruppe der G–invarianten Isometrien I ∈ End_{G}W von W, die für eine irreduzible, reelle, komplexe oder quaternionische Darstellung isomorph zu ℤ_{2}, S^{1} bzw. S^{3} ist, und per definitionem induzieren alle Vektoren eines Orbits äquivalente Immersionen. Ist für eine Darstellung W der Schnitt der Koniken aus Satz 3.8 also nicht leer, so erfaßt die Konstruktion von Mashimo bereits eine ganze Komponente des Randes des Modulraums als Bild des Quotienten des Schnitts der Koniken mit einer Sphäre unter dieser Gruppe.

Zum Schluß dieses Abschnitts sei noch einmal kurz auf den allgemeinen Fall einer minimalen isometrischen Immersion der Gruppe G als Orbit in einer isotypischen Darstellung eingegangen. Jede isotypische Darstellung läßt sich auf sehr viele verschiedene Weisen als orthogonale Summe von Kopien der zugehörigen typischen irreduziblen Darstellung W schreiben, und ist somit ohne Einschränkung isometrisch zur direkten Summe W^{⊕m} von m Kopien von W. Insbesondere definiert ein Vektor w_{⊕} := w_{1} ⊕ … ⊕ w_{m} aus W^{⊕m} mit Komponenten w_{ν} ∈ W die folgende symmetrische Bilinearform auf 𝔤:

⟨X, Y ⟩ := G_{⊕}(Xw_{⊕}, Y w_{⊕}) = ∑_{ν=1}^{m} G(Xw_{ν}, Y w_{ν})

Also definiert w_{⊕} genau dann ein biinvariantes Skalarprodukt auf 𝔤, wenn die Summe der Quadrate der Komponenten w_{1}^{2} + … + w_{m}^{2} ∈ Sym^{2}W im Annihilator von Im_{0}Q ⊂ Sym^{2}W^{∗} liegt. Je mehr Kopien man von der irreduziblen Darstellung W nimmt, desto leichter fällt es damit, einen Vektor w_{⊕} zu finden, der tatsächlich eine biinvariante und damit positiv definite Bilinearform auf 𝔤 induziert. Auf jeden Fall gibt es gemäß Beispiel 3.5 zu jeder irreduziblen Darstellung W, die zugleich treue Darstellung der Liealgebra 𝔤 ist, eine minimale isometrische Immersion in die isotypische Darstellung End W als Orbit der Identität id_{W} von W. Diese Immersion ist nicht voll, wenn W keine reelle Darstellung ist, ihr Bild spannt nämlich gerade den Zentralisator W^{∗} ⊗_{End_{G}W} W von End_{G}W in End W auf. Selbst im ungünstigsten Fall reichen deshalb stets \frac{1}{d}dim W Kopien von W mit d = 1, 2 oder 4 für eine reelle, komplexe bzw. quaternionische Darstellung W.

26

Die Modulräume M_{λ} im Fall der Sphären

Die Sphären sind isotropie–irreduzible homogene Räume, können also mit den Standardimmersionen von Takahashi aus Satz 3.2 zu jedem Eigenwert λ > 0 minimal und isometrisch in andere Sphären eingebettet werden. Andere minimale isometrische Immersionen bekommt man dadurch, daß man die Standardimmersion entlang einer Bilinearform aus M_{0} ⊂ Sym^{2}E_{λ} deformiert. Der Parameterraum M_{0} der möglichen Deformationen ist dabei durch die Geometrie der Diracschen Deltafunktionale in E_{λ}^{∗} festgelegt. In diesem Kapitel wird eine genaue Beschreibung dieser Geometrie gegeben. Im Anschluß daran werden die Parameterräume M_{0,k} für alle Eigenwerte λ_{k} > 0 algebraisch charakterisiert.

Zunächst werden die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Laplaceoperatoren auf Sphären bestimmt. Dazu wird eine 𝔰𝔩_{2}–Operatoralgebra auf der symmetrischen Algebra Sym V^{∗} eines euklidischen Vektorraums V eingeführt. Dadurch wird Sym V^{∗} zu einer Niedrigstgewichtsdarstellung im Sinne von Anhang B, und die Zerlegung B.2 in isotypische Komponenten entspricht im wesentlichen der Zerlegung in Eigenfunktionen.

Im zweiten Abschnitt wird eine weitere 𝔰𝔩_{2}–Operatoralgebra auf dem Tensorprodukt Sym V ⊗Sym V definiert, die Algebra der Plückerdifferentiale. Die Zerlegung B.2 unter dieser Algebra bestimmt im wesentlichen die Geometrie der Diracschen Deltafunktionale auf den Polynomen. Die Beschreibung der Geometrie der Deltafunktionale mit Hilfe der Plückerdifferentiale wird im letzten Abschnitt dazu benutzt, den Annihilator des Parameterraums M_{0,k} des Modulraums M_{λ_{k}} als Bild eines iterierten Plückerdifferentials zu identifizieren.

4.1 Eigenwerte und Eigenräume der Sphären

Sei V ein n–dimensionaler euklidischer Vektorraum mit Metrik ⟨ , ⟩ und S_{V} ⊂ V die Einheitssphäre. Die Wahl einer Metrik definiert zwei ausgezeichnete, SO V –invariante Elemente g ∈ Sym^{2}V^{∗} und g^{−1} ∈ Sym^{2}V, die zwei kanonische Operatoren M und K auf Sym V^{∗} definieren. Der Kern H^{k}V^{∗} von K in Sym^{k}V^{∗} heißt Vektorraum der harmonischen Polynome über V und ist unter Einschränkung auf S_{V} isomorph zum Eigenraum des Laplaceoperators der Sphäre zum Eigenwert λ_{k} = k(n + k − 2).

Definition 4.1 (Metrischer und kometrischer Tensor) Sei {e_{ν}} und {de_{ν}} ein duales Basenpaar für V und V^{∗}. Mit Hilfe der beiden inversen, musikalischen Isomorphismen ♯ : V ⟶ V^{∗} und ♭ : V^{∗} ⟶ V lassen sich metrischer und kometrischer Tensor in Sym^{2}V^{∗} bzw. Sym^{2}V wie folgt schreiben:

g = ∑_{ν} \frac{1}{2}de_{ν} · e_{ν}^{♯} g^{−1} = ∑_{ν} \frac{1}{2}de_{ν}^{♭} · e_{ν}

Definition 4.2 (Laplaceoperator und harmonische Polynome) Die beiden ausgezeichneten Tensoren g und g^{−1} eines euklidischen Vektorraums V definieren zwei kanonische Operatoren auf den Polynomen Sym^{k}V^{∗} über V:

M : Sym^{k}V^{∗} ⟶ Sym^{k+2}V^{∗}  ψ ⟼ g · ψ := \frac{1}{2} ∑_{ν} de_{ν} · e_{ν}^{♯} · ψ
K : Sym^{k}V^{∗} ⟶ Sym^{k−2}V^{∗}  ψ ⟼ g^{−1}⌟ψ := \frac{1}{2} ∑_{ν} de_{ν}^{♭}⌟e_{ν}⌟ψ

Diese beiden Operatoren sind adjungiert bezüglich der natürlichen Fortsetzung von g auf Sym V^{∗}. Nach Korollar A.3 in Anhang A kann man −2K mit dem skalaren Laplaceoperator Δ_{V} identifizieren. Deshalb heißt sein Kern H^{k}V^{∗} := Kern K ⊂ Sym^{k}V^{∗} der Vektorraum der harmonischen Polynome vom Grad k über V. Diese Definition macht auch für einen komplexen Vektorraum mit einer regulären, symmetrischen Bilinearform Sinn. So läßt sich die Gleichheit (H^{k}V^{∗}) ⊗_{ℝ} ℂ = H^{k}(V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ) verstehen, die im folgenden noch benutzt wird.

Bemerkung 4.3 Die Kommutatorrelation [v⌟, α·] = α(v) impliziert die beiden Kommutatorformeln:

[K, α·] = \frac{1}{2} ∑_{ν} ([de_{ν}^{♭}⌟, α·] e_{ν}⌟ + de_{ν}^{♭}⌟ [e_{ν}⌟, α·]) = α^{♭}⌟
[M, v⌟] = \frac{1}{2} ∑_{ν} ([de_{ν}·, v⌟] e_{ν}^{♯} · + de_{ν} · [e_{ν}^{♯}·, v⌟]) = −v^{♯}·

Man beachte nur, daß mit {e_{ν}} und {de_{ν}} auch {de_{ν}^{♭}} und {e_{ν}^{♯}} ein duales Basenpaar ist.

Lemma 4.4 Auf Sym^{k}V^{∗} ist der Kommutator von M und K im wesentlichen der Zahloperator:

[M, −K] = \frac{n}{2} + ∑_{ν} de_{ν} · e_{ν}⌟ = \frac{n}{2} + k

Beweis: Die Summe ∑_{ν} de_{ν} · e_{ν}⌟ ist der bosonische Zahloperator, der auf V^{∗} die Identität ist und als Derivation fortgesetzt in Sym^{k}V^{∗} mit k multipliziert. Es genügt somit zu zeigen:

[M, −K] = \frac{1}{2} ∑_{ν} ([de_{ν}·, −K] e_{ν}^{♯} · + de_{ν} · [e_{ν}^{♯}·, −K])
= \frac{1}{2} ∑_{ν} (de_{ν}^{♭}⌟ e_{ν}^{♯} · + de_{ν} · e_{ν}⌟) = \frac{n}{2} + ∑_{ν} de_{ν} · e_{ν}⌟ □

Definiert man also den Operator H := [M, −K], so ist H = \frac{n}{2} + k auf Sym^{k}V^{∗} im wesentlichen der Zahloperator. Insofern gilt sicherlich [H, M] = 2M und [H, K] = −2K und somit bilden H, M und −K eine 𝔰𝔩_{2}–Algebra. Als unmittelbare Konsequenz der Zerlegung in isotypische Komponenten unter 𝔰𝔩_{2} mittels der Projektionsformel B.2 in Anhang B und im Beweis völlig analog zur Clebsch–Gordon–Formel erhält man die folgende Zerlegung von Sym^{k}V^{∗} in SO V –Darstellungen:

Satz 4.5

Sym^{k}V^{∗} = ⨁_{ν=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} H^{k−2ν}V^{∗}

Lemma 4.6 (Laplaceoperator auf der Sphäre) Betrachte den Kegel ℝ^{n} \ {0} = ℝ_{+} × S^{n−1} über der Sphäre S^{n−1} mit der Standardmetrik g_{ℝ^{n}} = dr ⊗dr + r^{2}g_{S^{n−1}}. Die Fortsetzung des Laplaceoperator Δ_{S^{n−1}} der Sphäre als Operator auf Funktionen des ℝ^{n} \ {0} läßt sich als

Δ_{S^{n−1}} = r^{2}Δ_{ℝ^{n}} + (n − 2)(r\frac{∂}{∂r}) + (r\frac{∂}{∂r})^{2}

schreiben. Insbesondere gilt für ein homogenes, harmonisches Polynom ψ ∈ H^{k}ℝ^{n} nach Euler r\frac{∂}{∂r}ψ = kψ und somit für die Einschränkung von ψ auf die Sphäre S^{n−1}:

Δ_{S^{n−1}}ψ = k(n + k − 2)ψ

Beweis: Betrachte das Vektorfeld R = \frac{∂}{∂r} und zu jedem Vektorfeld X auf S^{n−1} die Fortsetzung als Vektorfeld X̃ := \frac{1}{r}X auf ℝ^{n} \ \{0\}. Es gilt:

\begin{aligned}⟨R, R⟩ & = & 1 & [R, X̃] & = & −\frac{1}{r} X̃ \\ ⟨X̃, Ỹ⟩ & = & ⟨X, Y ⟩ & [X̃, Ỹ] & = & \frac{1}{r} { \atop [X, Y]} \end{aligned}

Eine Routinerechnung mit der Koszulformel ergibt neben dem Verschwinden von ∇_{R}R = 0

auch ∇X̃ X̃ = \frac{1}{r} { \atop ∇_{X}X} − \frac{1}{r}⟨X, X⟩R und daher:

Δ_{ℝ^{n}} = − ∑_{ONB} (X̃^{2} − ∇X̃ X̃) − R^{2} = \frac{1}{r^{2}} Δ_{S^{n−1}} − \frac{n − 1}{r}R − R^{2}

Nun muß man nur noch mit r^{2} multiplizieren und (rR)^{2} = r^{2}R^{2} + rR einsetzen. □

Korollar 4.7 (Eigenwerte und Eigenräume der Sphäre) Die Eigenwerte des Laplaceoperators Δ_{S_{V}} auf der Einheitssphäre S_{V} ≅ S^{n−1} sind gerade λ_{k} := k(n + k − 2) für alle k ≥ 0. Der Eigenraum zum Eigenwert λ_{k} ist kanonisch isomorph zum Raum der harmonischen Polynome H^{k}V^{∗} über V und die Eigenfunktionen sind gerade die Einschränkungen dieser Polynome auf S_{V}.

Beweis: Nach der Polarisationsformel A.4 ist die Einschränkung Sym^{k}V^{∗} ⟶ C^{∞}S_{V} injektiv. Somit gilt nach Lemma 4.6 bereits H^{k}V^{∗} ⊂ E_{λ_{k}}. Nach Satz 4.5 kann deshalb die Einschränkung jedes Polynoms ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} auf die Sphäre als Linearkombination dieser Eigenfunktionen geschrieben werden, denn ψ_{ν} ∈ H^{k−2ν}V^{∗} und 2^{ν}M^{ν}ψ_{ν} ∈ Sym^{k}V^{∗} stimmen bei Einschränkung auf S_{V} überein. Somit folgt die Vollständigkeit des angebenen Systems von Eigenfunktionen und Eigenwerten aus dem Satz von Stone–Weierstraß. □ Neben der Zerlegung von Sym^{k}V^{∗} in die Unterräume H^{ν}V^{∗} werden auch noch feinere Zerlegungen der H^{ν}V^{∗} von Interesse sein. Der skalare Laplaceoperator Δ_{V} auf V ist bekanntlich ein elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung, und somit sind Lösungen der Gleichung Δ_{V} ψ = 0 bereits durch die Werte von ψ und aller seiner ersten Ableitungen auf irgendeiner Hyperebene von V eindeutig bestimmt. Der folgende Satz besagt, daß sich in diesem Fall beliebige Anfangswerte stets zu einer Lösung ”integrieren“ lassen:

Satz 4.8 (Fundamentalformen erzeugender Immersionen) Sei p ∈ V ein Einheitsvektor und ψ_{0} ∈ Sym^{k}{p}^{⊥} und ψ_{1} ∈ Sym^{k−1}{p}^{⊥} zwei beliebige Polynome auf dem orthogonalen Komplement von p in V. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes harmonisches Polynom ψ ∈ H^{k}V^{∗}, für das ψ und die partielle Ableitung p⌟ψ auf dem orthogonalen Komplement von p mit ψ_{0} bzw. ψ_{1} übereinstimmt. Insbesondere gibt es eine SO {p}^{⊥}–invariante Zerlegung von H^{k}V^{∗} in:

H^{k}V^{∗} = Sym^{k}{p}^{⊥} ⊕ Sym^{k−1}{p}^{⊥} = ⨁_{ν=0}^{k} H^{ν}{p}^{⊥}

Beweis: Die orthogonale Zerlegung V^{∗} = ℝp^{♯} ⊕ {p}^{⊥} induziert eine SO {p}^{⊥}–invariante Zerlegung des Vektorraums der homogenen Polynome vom Grad k:

Sym^{k}V^{∗} = ⨁_{ν=0}^{k} ℝ(p^{♯})^{ν} ⊗ Sym^{k−ν}\{p\}^{⊥} ψ = ∑_{ν=0}^{k} \frac{(p^{♯})^{ν}}{ν!} · ψ_{ν} mit ψ_{ν} ∈ Sym^{k−ν}\{p\}^{⊥}

Wendet man auf diesen Ansatz den Laplaceoperator K an, so zeigt sich, daß ein harmonisches Polynom ψ allein schon durch die ersten zwei Komponenten ψ_{0} und p^{♯}·ψ_{1} bestimmt ist, wobei ψ_{0} und ψ_{1} gerade die Einschränkungen von ψ bzw. der partiellen Ableitung p⌟ψ auf das orthogonale Komplement {p}^{⊥} ⊂ V sind. Das eindeutig bestimmte harmonische Polynom ψ zu diesen zwei Anfangswerten berechnet sich nach der expliziten Formel:

ψ = ∑_{ν=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} \frac{(p^{♯})^{2ν}}{(2ν)!} (−2K)^{ν}ψ_{0} + ∑_{ν=0}^{⌊ \frac{k−1}{2} ⌋} \frac{(p^{♯})^{2ν+1}}{(2ν + 1)!}(−2K)^{ν}ψ_{1} □

Betrachtet man die Form der Lösung ψ zu vorgegebenen Anfangswerten genauer, so erkennt man, daß diese Lösung linear in ψ_{0} und ψ_{1} ist, und man erhält aus der Polarisationsformel A.4 für allgemeine Polynome das Korollar:

Korollar 4.9 (Polarisationsformel für harmonische Polynome) Ist V ein Vektorraum der Dimension dim V ≥ 2, dann wird der Raum H^{k}V^{∗} für alle k ≥ 0 von den Bildern H^{k}ℝ^{2} ⊂ H^{k}V^{∗} isometrischer Einbettungen ℝ^{2} ⟶ V^{∗} erzeugt. Dabei reicht es sogar, wenn man nur diejenigen isometrischen Einbettungen betrachtet, deren Bild ein beliebig vorgegebenes α = p^{♯} ∈ V^{∗} enthält.

4.2 Die Plückergraduierung von Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V

Gemäß Definition ist der Vektorraum aller Polynome über einem Vektorraum V die direkte Summe Sym V^{∗} = ⨁_{k≥0} Sym^{k}V^{∗}. Deswegen ist sein Dualraum in natürlicher Weise das direkte Produkt Sym V = ∐_{k≥0} Sym^{k}V unter der Identifizierung Sym^{k}V = (Sym^{k}V^{∗})^{∗}. Nach den Konventionen aus Anhang A entsprechen dabei den Diracschen Deltafunktionalen die formalen Expotentialsummen δ_{p} = e^{p} := ∑_{k≥0} \frac{1}{k!}p^{k}. In diesem Abschnitt wird die Geometrie dieser Deltafunktionale genauer untersucht. Philosophisch ist es dazu erforderlich, vom Vektorraum V^{∗} zu V überzugehen.

Definition 4.10 (Plückerdifferentiale) Die beiden Plückerdifferentiale Pℓ und Pℓ^{∗} sind graduierte Operatoren auf dem Tensorprodukt Sym V ⊗ Sym V, die nur von der Algebrastruktur der beiden Faktoren abhängen. Auf zerlegbaren Elementen v_{1} · . . . · v_{k} ⊗ w_{1} · . . . · w_{l} sind sie definiert durch:

Pℓ(v_{1} · . . . · v_{k} ⊗ w_{1} · . . . · w_{l}) := ∑_{ν=1}^{k} v_{1} · . . . · v̂_{ν} · . . . · v_{k} ⊗ v_{ν} · w_{1} · . . . · w_{l}

Pℓ^{∗}(v_{1} · . . . · v_{k} ⊗ w_{1} · . . . · w_{l}) := ∑_{ν=1}^{l} w_{ν} · v_{1} · . . . · v_{k} ⊗ w_{1} · . . . · ŵ_{ν} · . . . · w_{l}

Alternativ kann man sie nach Wahl eines dualen Basenpaars {e_{ν}} und {de_{ν}} von V und V^{∗} schreiben als:

Pℓ = ∑_{ν=1}^{n} de_{ν}⌟ ⊗ e_{ν} · Pℓ^{∗} = ∑_{ν=1}^{n} e_{ν} · ⊗de_{ν}⌟

In dieser speziellen Darstellung sieht man sofort, daß Pℓ und Pℓ^{∗} adjungiert unter der kanonischen Paarung (Sym V ⊗ Sym V) × (Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗}) ⟶ ℝ sind, wenn man sie für V und V^{∗} gleichzeitig betrachtet.

Bemerkung 4.11 (Plückerrelationen) Völlig analog kann man die Plückerdifferentiale auch für die Tensorprodukte Λ^{k}V ⊗ Λ^{l}V definieren. In diesem Fall gilt der Satz von Plücker, daß eine k–Form ω genau dann zerlegbar ist, wenn Pℓ(ω ⊗ ω) = 0.

Satz 4.12 Auf Sym^{k}V ⊗ Sym^{l}V ist der Kommutator von Pℓ und Pℓ^{∗} im wesentlichen die Differenz der Zahloperatoren:

[Pℓ, Pℓ^{∗}] = ∑_{ν,μ} ([de_{ν}⌟, e_{μ}·] ⊗ e_{ν} · de_{μ}⌟ + e_{μ} · de_{ν}⌟ ⊗ [e_{ν}·, de_{μ}⌟])
= ∑_{ν} (1 ⊗ e_{ν} · de_{ν}⌟ − e_{ν} · de_{ν}⌟ ⊗ 1) = l − k

Definiert man also den Operator H̃ := [Pℓ, Pℓ^{∗}] = l − k auf Sym^{k}V ⊗ Sym^{l}V, so gilt offensichtlich [H̃, Pℓ] = 2Pℓ und [H̃, Pℓ^{∗}] = −2Pℓ^{∗}. Damit erzeugen H̃, Pℓ und Pℓ^{∗} eine 𝔰𝔩_{2}–Algebra. Als unmittelbare Konsequenz der Zerlegung in isotypische Komponenten mittels der Projektionsformel B.2 und der folgenden Bemerkung B.3 erhält man mit den dort eingeführten faktoriellen Polynomen [x]_{ν} = x(x − 1) ⋯ (x − ν + 1):

Satz 4.13 (Injektivität und Surjektivität der Plückerdifferentiale) Das iterierte Plückerdifferential Pℓ^{r} : Sym^{k+r}V ⊗Sym^{l}V ⟶ Sym^{k}V ⊗Sym^{l+r}V ist injektiv für k ≥ l und surjektiv für k ≤ l. Eine entsprechende Aussage gilt auch für das iterierte Plückerdifferential Pℓ^{∗r}.

Beweis: Es genügt, die Aussage für k = l zu beweisen und zu zeigen, daß das iterierte Plückerdifferential Pℓ^{r} : Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{k}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k+r}V für alle k, r ein Isomorphismus ist. Der allgemeine Fall folgt dann durch Faktorisieren dieser Isomorphismen:

k ≥ l : Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{l}V ⟶^{Pℓ^{r}} Sym^{k}V ⊗ Sym^{l+r}V ⟶^{Pℓ^{k−l}} Sym^{l}V ⊗ Sym^{k+r}V
k ≤ l : Sym^{l+r}V ⊗ Sym^{k}V ⟶^{Pℓ^{l−k}} Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{l}V ⟶^{Pℓ^{r}} Sym^{k}V ⊗ Sym^{l+r}V

Sei also k = l und ψ ∈ Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{k}V, das heißt H̃ψ = −rψ und Pℓ^{∗k+1}ψ = 0. Nach Satz B.2 besitzt ψ eine Darstellung

ψ = ψ_{0} + Pℓψ_{1} + Pℓ^{2}ψ_{2} + ⋯ + Pℓ^{k}ψ_{k}

mit Pℓ^{∗}ψ_{ν} = 0. Wie im Beweis von Satz B.4 zeigt nun die Bemerkung B.3, daß die Komponenten Pℓ^{ν}ψ_{ν} Eigenvektoren der Operatoren Pℓ^{∗μ}Pℓ^{μ} sind:

(Pℓ^{∗μ}Pℓ^{μ})Pℓ^{ν}ψ_{ν} = [μ + ν]_{μ}[ν + r]_{μ}Pℓ^{ν}ψ_{ν}

Somit ist Pℓ^{∗r}Pℓ^{r} diagonalisierbar auf Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{k}V mit Eigenwerten [r + ν]_{r}^{2} > 0 für ν = 0, …, k, also invertierbar. Dann ist Pℓ^{r} : Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{r}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k+r}V injektiv und entsprechend Pℓ^{∗r} : Sym^{k} ⊗ Sym^{k+r}V ⟶ Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{k}V surjektiv. Weil die Dimensionen der beiden Räume gleich sind, sind beides folglich Isomorphismen. □

Der Eigenraum Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V zum Eigenwert λ = 0 des Zahloperators H̃ spielt nun insofern eine Sonderrolle, als die Projektionsformel B.2 nicht nur auf das Tripel H̃, Pℓ, Pℓ^{∗} sondern auch auf das 𝔰𝔩_{2}–Tripel −H̃, Pℓ^{∗}, Pℓ anwendbar ist. Die isotypische Zerlegung eines ψ ∈ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V wird davon aber nicht berührt, denn die Zerlegung B.2 bezüglich des Tripels H̃, Pℓ, Pℓ^{∗} etwa ist nach Bemerkung B.3 auch die eindeutige Eigenraumzerlegung von ψ zum diagonalisierbaren Operator Pℓ^{∗}Pℓ. Aber auf dem Eigenraum zum Eigenwert λ = 0 von H̃ gilt nach Definition schon H̃ = 0 = Pℓ^{∗}Pℓ − PℓPℓ^{∗}.

Nach Satz 4.13 ist Pℓ^{2r} : Sym^{k+r}V ⊗ Sym^{k−r}V ⟶ Sym^{k−r}V ⊗ Sym^{k+r}V für 0 ≤ r ≤ k ein Isomorphismus, so daß Sym^{k}V ⊗Sym^{k}V in die direkte Summe Im Pℓ^{r} ⊕Kern Pℓ^{r} zerfällt. Außerdem ist Pℓ^{r} : Sym^{k}V ⊗Sym^{k}V ⟶ Sym^{k−r}V ⊗Sym^{k+r}V surjektiv und entsprechend Pℓ^{∗r} : Sym^{k−r}V ⊗ Sym^{k+r}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V injektiv, so daß Im Pℓ^{∗r} und Kern Pℓ^{r} genausogut auch als Bild und Kern des diagonalisierbaren Operators Pℓ^{∗r}Pℓ^{r} charakterisiert werden können. Weil dessen Eigenräume ebenfalls durch die isotypische Zerlegung B.2 bestimmt sind, impliziert die Ambivalenz der isotypischen Zerlegung auf dem Unterraum Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V von Kern H̃ folglich Im Pℓ^{r} = Im Pℓ^{∗r} und Kern Pℓ^{r} = Kern Pℓ^{∗r}:

Korollar 4.14 (Symmetrie der 𝔰𝔩_{2}–Zerlegung) Der Eigenraum Sym^{k}V ⊗Sym^{k}V von H̃ zum Eigenwert λ = 0 zerfällt in die direkte Summe:

Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V ≅ Im Pℓ^{r} ⊕ Kern Pℓ^{r}  Im Pℓ^{r} = Im Pℓ^{∗r}  Kern Pℓ^{r} = Kern Pℓ^{∗r}

für alle r ≤ k. Das sind natürlich die bekannten Relationen aus der Darstellungstheorie der Liealgebra 𝔰𝔩_{2}, die hier als Algebra der Plückerdifferentiale in einer im wesentlichen endlich– dimensionalen Darstellung auftritt.

Definition 4.15 (Plückerfiltrierung und –graduierung) Die Plückerfiltrierung F_{0} ⊂ F_{1} ⊂ … ⊂ F_{k} = Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V ist die aufsteigende Folge der Bilder F_{r} = Im Pℓ^{k−r} von Sym^{2k−r}V ⊗ Sym^{r}V in Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V. Diese Filtrierung stammt von der Graduierung her

Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V = ⨁_{r=0}^{k} PL_{r} := ⨁_{r=0}^{k} (Im Pℓ^{k−r} ∩ Kern Pℓ^{k−r+1})

die im wesentlichen der Schnitt der 𝔰𝔩_{2}–isotypischen Zerlegung von Sym V ⊗ Sym V mit dem Eigenraum von H̃ zum Eigenwert 0 ist.

Nun trägt Sym V ⊗Sym V eine kanonische Involution σ : ψ_{1}⊗ψ_{2} ⟼ ψ_{2}⊗ψ_{1}, unter der der Unteraum Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V stabil ist und in die Eigenräume Sym^{2}Sym^{k}V und Λ^{2}Sym^{k}V zerfällt. Wie ein Blick auf die Definition 4.10 zeigt, verschränkt σ wegen σ ∘ Pℓ = Pℓ^{∗} ∘ σ außerdem Pℓ mit Pℓ^{∗}. Aufgrund des vorangegangenen Korollars 4.14 sind deshalb auch die Unterräume PL_{r} ⊂ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V der Plückergraduierung stabil unter σ. Es zeigt sich, daß PL_{r} sogar im Eigenraum σ zum Eigenwert (−1)^{r} liegt:

Lemma 4.16 (Symmetrie der Plückergraduierung) Die kanonische Involution σ : Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V definiert durch σ(ψ_{1} ⊗ ψ_{2}) = ψ_{2} ⊗ ψ_{1} läßt die Plückerfiltrierung F_{•} invariant und es gilt bereits σ = (−1)^{r} auf dem Filtrierungsquotienten F_{r}/F_{r−1}. Folglich gilt schon σ = (−1)^{r} auf dem unter σ stabilen Komplement PL_{r} von F_{r} in F_{r−1}.

Beweis: Nach der Polarisationsformel A.4 wird der Filtrierungsraum F_{r} = Im Pℓ^{k−r} aufgespannt von Elementen der Form v^{k}⊗v^{k−r}w^{r} mit v, w ∈ V. Es genügt deshalb, das Lemma nur auf solchen Elementen zu beweisen. Dazu betrachte man im Tensorquadrat Sym V ⊗ Sym V des direkten Produkts Sym V die formale Gleichung:

∑_{ν=0}^{r}(−1)^{ν}\binom{r}{ν}\frac{d^{ν}}{dt^{ν}} |_{0}e^{v+tw} ⊗ e^{v+tw}w^{r−ν} = ∑_{ν=0}^{r}(−1)^{ν}\binom{r}{ν} ∑_{μ=0}^{ν} \binom{ν}{μ} w^{μ}e^{v} ⊗ w^{r−μ}e^{v}

= ∑_{μ=0}^{r} \binom{r}{μ} (∑_{ν=μ}^{r}(−1)^{ν}\binom{r − μ}{ν − μ}) w^{μ}e^{v} ⊗ w^{r−μ}e^{v}
= (−1)^{r}w^{r}e^{v} ⊗ e^{v}

Der homogene Teil dieser Gleichung in Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V ⊂ Sym V ⊗ Sym V liest sich dann:

\frac{(−1)^{r}}{k!(k − r)!}w^{r}v^{k−r} ⊗ v^{k}

= ∑_{ν=0}^{r}(−1)^{ν}\binom{r}{ν}\frac{d^{ν}}{dt^{ν}} |_{0} \frac{1}{k!(k − r + ν)!}(v + tw)^{k} ⊗ (v + tw)^{k−r+ν}w^{r−ν}
≡ \frac{1}{k!(k − r)!}v^{k} ⊗ v^{k−r}w^{r}  mod F_{r−1} □

Zusammenfassend impliziert die Zerlegung von Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V in die direkte Summe der PL_{r} den folgenden Satz:

Satz 4.17 (Formel von Pieri [F&H]) Als Unterräume von Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V zerfallen Sym^{2}Sym^{k}V und Λ^{2}Sym^{k}V in:

Sym^{2}Sym^{k}V ≅ ⨁_{r=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} PL_{2r} Λ^{2}Sym^{k}V ≅ ⨁_{r=0}^{⌊ \frac{k−1}{2} ⌋} PL_{2r+1}

Dies entspricht der Zerlegung dieser Räume in irreduzible GL V –Darstellungen.

Bemerkung 4.18 (Erste Bianchi–Identität) In genau der gleichen Weise kann man die Plückerfiltrierung auch auf dem Tensorprodukt Λ^{k}V ⊗Λ^{k}V der äußeren Potenzen definieren. Völlig analog zu Lemma 4.16 gilt σ = (−1)^{k−r} auf dem Graduierungsraum PL_{r}. Der Kern von Pℓ bzw. Pℓ^{∗} in Λ^{2}V ⊗ Λ^{2}V ist nahezu nach Definition der Raum der Lösungen der ersten Bianchi–Identität. In diesem Sinne verallgemeinert die Formel von Pieri die Tatsache, daß die erste Bianchi–Identität die Symmetrie des Krümmungstensors impliziert.

4.3 Geometrie der Diracschen Deltafunktionale

Im vorangegangenen Abschnitt wurde die 𝔰𝔩_{2}–Algebra der Plückerdifferentiale untersucht, und die Räume Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V entsprechend in GL V –invariante Unterräume zerlegt. Im folgenden Abschnitt wird eine Interpretation dieser Zerlegung als Geometrie der Diracschen Deltafunktionale δ_{p} gegeben. Insbesondere erhält man eine algebraische Charakterisierung der Menge aller Lösungen der Gleichungen aus Satz 2.6, die den Parameterraum M_{0,k} der Deformationen der minimalen isometrischen Immersionen zum k–ten Eigenwert beschreiben. Es stellt sich heraus, daß M_{0,k} der Kern des iterierten Plückerdifferentials Pℓ^{∗k−2} in Sym^{2}H^{k}V^{∗} ⊂ Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{k}V^{∗} ist. Umgekehrt kann man sich dann fragen, ob nicht auch die anderen Schritte der Plückerfiltrierung eine geometrische Interpretation zulassen. Eine solche Interpretation wurde von Toth [To2] angegeben und motiviert das Studium eines ganzen Turms M_{k}^{(0)} ⊃ M_{k}^{(1)} ⊃ … ⊃ M_{k}^{(⌊ \frac{k}{2} ⌋−1)} von Modulräumen, in dem die Modulräume M_{λ_{k}} = M_{k}^{(1)} von do Carmo–Wallach enthalten sind.

Ein wesentliches Ergebnis des Kapitels 2 war die Charakterisierung des Parameterraums M_{0} der minimalen isometrischen Immersionen einer Mannigfaltigkeit zum Eigenwert λ in Satz 2.6. Für die Sphäre S_{V} und den k–ten Eigenwert λ_{k} = k(n − k + 2) ist M_{0,k} der Raum der Lösungen G_{0} ∈ Sym^{2}H^{k}V^{∗} der Gleichungen:

1 . G_{0}( δ_{p} , δ_{p} ) = 0 für alle p ∈ S_{V}
2 . G_{0}(Xδ_{p}, Y δ_{p}) = 0 für alle p ∈ S_{V} und X, Y ∈ T_{p}S_{V}

Wenn man den Raum E_{λ} ≅ H^{k}V^{∗} als Unterraum des Raums Sym^{k}V^{∗} der homogenen Polynome auf V vom Grad k auffaßt, dann entspricht dem Diracschen Deltafunktional δ_{p} gemäß den Konventionen aus Anhang A der Summand \frac{1}{k!}p^{k} der formalen Expotentialsumme δ_{p} = e^{p} = ∑_{ν≥0} \frac{1}{ν!}p^{ν} unter der kanonischen Paarung von Sym^{k}V^{∗} mit Sym^{k}V. Deshalb steht im folgenden nur δ_{p} für jeden Ausdruck der Form \frac{1}{ν!}p^{ν}, wobei ν gerade so gewählt sei, daß das Endergebnis homogen vom richtigen Grad ist.

Im Kapitel 2 wurde ganz allgemein für Riemannsche Mannigfaltigkeiten N ein Repräsentant für die zu einem Modul G̃ ∈ M_{λ} gehörende Äquivalenzklasse minimaler isometrischer Immersionen konstruiert. Auf den Sphären kann man diese Konstruktion geringfügig variieren, und faßt dabei G̃ ∈ Sym^{2}H^{k}V^{∗} bereits als symmetrische Bilinearform auf Sym^{k}V auf. Statt im unhandlichen Faktorraum (H^{k}V^{∗})^{∗} ≅ Sym^{k}V/(H^{k}V^{∗})^{⊥} kann man dann nämlich im Raum Sym^{k}V arbeiten. In diesem Sinne ist

ϕG̃ : S_{V} ⟶ Sym^{k}V/_{Kern G̃} , p ⟼ δ_{p} + Kern G̃

wegen Sym^{k}V = H^{k}V ⊕ (H^{k}V^{∗})^{⊥} und (H^{k}V^{∗})^{⊥} ⊂ Kern G̃ ebenfalls ein Repräsentant der zu G̃ gehörenden Äquivalenzklasse minimaler isometrischer Immersionen. Für einen Tangentialvektor X ∈ T_{p}S_{V} = {p}^{⊥} gilt dann insbesondere (XϕG̃)(p) = X · δ_{p} + Kern G̃.

Nach dieser einleitenden Vorbemerkung betrachte man nun die Bedingungen erster Art G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0, p ∈ S_{V} , für allgemeine G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗}. Der Lösungsraum ist offensichtlich der Schnitt des Unterraums Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} ⊂ Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{k}V^{∗} mit dem Annihilator von:

Spann{δ_{p} ⊗ δ_{p} für p ∈ V } ⊂ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V

Für die Komultipikation Δ : Sym^{2k}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V gilt nun δ_{p} ⟼ δ_{p} ⊗ δ_{p} nach Definition, so daß das Erzeugnis der δ_{p} ⊗ δ_{p} in Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V gerade das Bild von Δ ist. Andererseits gilt in diesem speziellen Fall Δ = \frac{1}{k!}Pℓ^{k} unter Sym^{2k}V ≅ Sym^{2k}V ⊗ ℝ. Der Bemerkung in der Definition 4.10 nach sind Pℓ und Pℓ^{∗} aber adjungiert unter der kanonischen Paarung von Sym V ⊗ Sym V mit Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗}, so daß der Annihilator des Bildes von Δ = \frac{1}{k!}Pℓ^{k} gerade der Kern von Pℓ^{∗k} ist:

Satz 4.19 Der Vektorraum der Lösungen G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} der Gleichungen G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 für alle p ∈ S_{V} ist gerade der Kern des iterierten Plückerdifferentials Pℓ^{∗k} in Sym^{2}Sym^{k}V^{∗}.

Das entscheidende Argument zum Beweis dieses Satzes ist somit der Verweis auf die Adjungiertheit der Plückerdifferentiale Pℓ und Pℓ^{∗}, die auch der springende Punkt bei der Bestimmung des Raums der Lösungen G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} der Gleichungen erster und zweiter Art G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 und G_{0}(Xδ_{p}, Y δ_{p}) = 0 für alle p ∈ S_{V} und X, Y ∈ V mit ⟨p, X⟩ = 0 = ⟨p, Y ⟩ ist. Für diesen wegen Satz 2.6 besonders interessierenden Fall sei dem allgemeinen Satz 4.22 noch ein einfacheres ad hoc Argument vorangestellt. Zunächst darf man bei symmetrischem G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} den Ausdruck G_{0}(Xδ_{p}, Y δ_{p}) in X und Y polarisieren und erhält den Raum aller Lösungen deshalb als Annihilator des Unterraums:

Spann{δ_{p} ⊗ δ_{p}, Xδ_{p} ⊗ Xδ_{p} für alle p, X ∈ V mit ⟨p, X⟩ = 0} ⊂ Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V

Eine symmetrische Bilinearform G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗}, die bereits die Gleichungen erster Art G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 für alle p ∈ V erfüllt, liegt nach dem soeben bewiesen Satz 4.19 im Kern von Pℓ^{∗k}. Nach Pieris Formel 4.17 gilt Kern Pℓ^{∗k} = Kern Pℓ^{∗k−1} auf dem Unterraum Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} von Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{k}V^{∗}, so daß ein solches G_{0} auch bereits G_{0}(δ_{p}, Xδ_{p}) = 0 für alle p, X ∈ V erfüllt. Naiv würde man das ganz einfach durch Differenzieren beweisen, und diese Analogie zwischen der algebraisch definierten Plückerfiltrierung und der Analysis durchzieht auch alle folgenden Rechnungen wie ein roter Faden.

An dieser Stelle ist jedoch erst einmal die Folgerung wichtig, daß man in der Definition des Raums Spann{δ_{p} ⊗ δ_{p}, Xδ_{p} ⊗ Xδ_{p}} nicht auf der Orthogonalität von X und p bestehen muß, denn wenn G_{0} bereits G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 für alle p ∈ S_{V} erfüllt, dann gilt jedenfalls auch G_{0}(Xδ_{p}, Xδ_{p}) = G_{0}(X_{0}δ_{p}, X_{0}δ_{p}) für die orthogonale Projektion X_{0} eines X ∈ V auf {p}^{⊥}. Nun liegt

\frac{1}{k!}Pℓ^{k}(X^{2}δ_{p} ⊗ 1) = X^{2}δ_{p} ⊗ δ_{p} + 2Xδ_{p} ⊗ Xδ_{p} + δ_{p} ⊗ X^{2}δ_{p}

im Bild von Pℓ^{k}, so daß für eine Lösung G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} der Gleichungen erster Art G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 für alle p ∈ V bereits G_{0}(Xδ_{p}, Xδ_{p}) = −G_{0}(δ_{p}, X^{2}δ_{p}) für alle p, X ∈ V gilt. Infolgedessen sind

Spann{δ_{p} ⊗ δ_{p}, Xδ_{p} ⊗ Xδ_{p}} und Spann{δ_{p} ⊗ X^{2}δ_{p}}

als Unterräume von Sym^{k}V ⊗ Sym^{k}V zwar verschieden, bestimmen aber den gleichen Annihilator im Raum Sym^{2}Sym^{k}V^{∗}. Dieser ist damit einerseits der Raum der Lösungen der Gleichungen G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 und G_{0}(Xδ_{p}, Xδ_{p}) = 0 für alle p, X ∈ V mit oder ohne die zusätzliche Bedingung ⟨p, X⟩ = 0, andererseits aber auch der Annihilator des Bildes von Pℓ^{k−2}. Nutzt man nun wieder die Adjungiertheit der Plückerdifferentiale, so hat man damit den zentralen Satz bewiesen:

Satz 4.20 (Charakterisierung des Parameterraums M_{0,k}) Der Parameterraum M_{0,k} des Modulraums M_{λ_{k}} der minimalen isometrischen Immersionen der Sphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert ist der Kern des iterierten Plückerdifferentials Pℓ^{∗k−2} auf Sym^{2}H^{k}V^{∗} aufgefaßt als Unterraum von Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{k}V^{∗}.

Korollar 4.21 (Starrheit minimaler isometrischer Immersion für k < 4) Die Elemente δ_{p} ⊗ δ_{p} und Xδ_{p} ⊗ Xδ_{p} von Sym^{2}Sym^{k}V mit p ∈ S_{V} und X ∈ T_{p}S_{V} = {p}^{⊥} spannen den Raum PL_{0} ⊕PL_{2} ⊂ Sym^{2}Sym^{k}V auf. Nach Pieris Formel 4.17 ist dieser Raum für k < 4 bereits der gesamte Raum Sym^{2}Sym^{k}V, es gibt also keine nichttriviale Lösung G_{0} der Gleichungen G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 und G_{0}(Xδ_{p}, Y δ_{p}) = 0 erster und zweiter Art aus Satz 2.6. Alle minimalen isometrischen Immersionen der Sphäre S_{V} zu Eigenwerten λ_{k} mit k < 4 sind deshalb äquivalent zur jeweiligen Standardimmersion.

Für jeden Schritt der vollen Plückerfiltrierung gibt es nun Verallgemeinerungen der beiden Sätze 4.19 und 4.20, bei denen verschiedene Erzeugersysteme für den Raum Im Pℓ^{k−r} angegeben werden. Speziell benötigt werden für die weiteren Rechnungen die zwei unterschiedlich großen Erzeugersysteme des folgenden Satzes:

Satz 4.22 (Kleines und großes Erzeugersystem für Im Pℓ^{k−r}) Für alle 0 ≤ r ≤ k wird das Bild des iterierten Plückerdifferentials Pℓ^{k−r} aufgespannt durch:

Im Pℓ^{k−r}
= Spann\{X^{ν}δ_{p} ⊗ X^{μ}δ_{p} : ν + μ ≤ r, ν, μ ≤ \frac{r+1}{2} und p, X ∈ V \}
= Spann\{X^{ν}δ_{p} ⊗ X^{μ}δ_{p} : ν + μ ≤ r, ν, μ ≤ \frac{r+1}{2} und p, X ∈ V mit ⟨p, X⟩ = 0\}
= Spann{X^{ν}δ_{p} ⊗ Y^{μ}δ_{p} : ν + μ ≤ r und p, X, Y ∈ V }
= Spann{X^{ν}δ_{p} ⊗ Y^{μ}δ_{p} : ν + μ ≤ r und p, X, Y ∈ V mit ⟨p, X⟩ = 0 = ⟨p, Y ⟩}

Beweis: Die zusätzliche Orthogonalitätsforderung in den zwei Varianten des kleinen und großen Erzeugersystems wurde nur der Übersichtlichkeit halber mit aufgenommen. Die Art und Weise der Definition der beiden Erzeugersysteme selbst stellt sicher, daß diese zusätzliche Forderung keinerlei Auswirkung hat. Betrachtet man zunächst das große Erzeugersystem, dann wird das Bild des iterierten Plückerdifferentials Pℓ^{k−r} nach der Polarisationsformel schon von den \frac{1}{(k−r)!}Pℓ^{k−r}(δ_{p} ⊗ Y^{r}) = δ_{p} ⊗ Y^{r}δ_{p} mit p, Y ∈ V aufgespannt, das heißt:

Im Pℓ^{k−r} = Spann{δ_{p} ⊗ Y^{r}δ_{p}} ⊂ Spann{X^{ν}δ_{p} ⊗ Y^{μ}δ_{p} : ν + μ ≤ r}

Zum Beweis der umgekehrten Inklusion betrachtet man für ν+μ ≤ r und ρ ≤ ν die folgenden polynominalen Kurven in Im Pℓ^{k−ρ−μ} ⊂ Im Pℓ^{k−r}:

ℝ ⟶ Im Pℓ^{k−ρ−μ}, t ⟼ \frac{1}{(k − ρ − μ)!}Pℓ^{k−ρ−μ}(δ_{p+tX} ⊗ X^{ρ}Y^{μ}) = δ_{p+tX} ⊗ X^{ρ}Y^{μ}δ_{p+tX}

Alle Koeffizienten dieser Polynome liegen bereits in Im Pℓ^{k−r} und damit auch:

∑_{ρ=0}^{ν}(−1)^{ρ}\binom{ν}{ρ}\frac{d^{ν−ρ}}{dt^{ν−ρ}} |_{0}(δ_{p+tX} ⊗ X^{ρ}Y^{μ}δ_{p+tX})

= ∑_{ι=0}^{ν} (∑_{ρ=0}^{ν−ι}(−1)^{ρ}\binom{ν}{ρ}\binom{ν − ρ}{ι}) X^{ι}δ_{p} ⊗ X^{ν−ι}Y^{μ}δ_{p} = X^{ν}δ_{p} ⊗ Y^{μ}δ_{p}

Somit spannt das große Erzeugersystem tatsächlich nur das Bild von Pℓ^{k−r} auf. Der Beweis für das kleine Erzeugersystem verläuft über Induktion nach r, wobei die Menge {δ_{p} ⊗ δ_{p}} für r = 0 jedenfalls Im Pℓ^{k} aufspannt. Im Induktionsschritt von r nach r +1 benutzt man die Induktionsvoraussetzung in Form der schon bewiesenen Aussage für das große Erzeugersystem und betrachtet für ν + μ = r polynominale Kurven der Form:

ℝ ⟶ Im Pℓ^{k−r}, t ⟼ X^{ν}δ_{p+tX} ⊗ X^{μ}δ_{p+tX}

Durch Ableiten in t = 0 findet man X^{ν+1}δ_{p} ⊗X^{μ}δ_{p} + X^{ν}δ_{p} ⊗X^{μ+1}δ_{p} ∈ Im Pℓ^{k−r} und folgert:

X^{ν+1}δ_{p} ⊗ X^{μ}δ_{p} ≡ − X^{ν}δ_{p} ⊗ X^{μ+1}δ_{p} ≡ … ≡ (−1)^{ν+1}δ_{p} ⊗ X^{r+1}δ_{p} mod Im Pℓ^{k−r} □ Korollar 4.23 (Überhangrelationen) Eine symmetrische Bilinearform G_{0} ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} mit G_{0}(X^{ν}δ_{p}, X^{μ}δ_{p}) = 0 für alle p, X ∈ V und alle ν, μ ≤ d und liegt somit in Kern Pℓ^{∗k−2d}. Pieris Formel 4.17 zufolge gilt dann schon Pℓ^{∗k−2d−1}G_{0} = 0. Deswegen erfüllt G_{0} zusätzlich die Überhangrelationen G_{0}(X^{d+1}δ_{p}, Y^{d}δ_{p}) = 0 für alle p, X und Y aus V.

Definition 4.24 (Der Turm der Modulräume) Der Modulraum M_{λ_{k}} der minimalen isometrischen Immersionen der Sphären zum k–ten Eigenwert λ_{k} ist der Schnitt des Kegels P^{+}H^{k}V^{∗} der positiv semidefiniten Bilinearformen auf H^{k}V mit dem affinen Unterraum M der Lösungen der Gleichungen aus Satz 2.6 modelliert nach M_{0,k} = Kern Pℓ^{∗k−2} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗}. Dieser Modulraum enthält stets den Modul G der Standardimmersion von Takahashi nach Satz 3.2. Hält man diesen Aufpunkt fest und ersetzt lediglich den Raum M_{0,k} durch die M_{0,k}^{(d)} := Kern Pℓ^{∗k−2d} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗}, so erhält man den Turm

M_{k}^{(0)} ⊃ M_{k}^{(1)} = M_{λ_{k}} ⊃ … ⊃ M_{k}^{(⌊ \frac{k}{2} ⌋−1)} ⊃ M_{k}^{(⌊ \frac{k}{2} ⌋)} = \{G\}

der Modulräume M_{k}^{(d)} = P^{+}H^{k}V^{∗} ∩ (G + M_{0,k}^{(d)}). Alternativ kann man M_{k}^{(d)} ⊂ Sym^{2}H^{k}V^{∗} auch direkt als Menge aller positiv semidefiniten Urbilder des speziellen Elements Pℓ^{∗k−2d}G aus Sym^{2d}V^{∗} ⊗ Sym^{2k−2d}V^{∗} unter dem iterierten Plückerdifferential Pℓ^{∗k−2d} definieren.

Der Modulraum M_{k}^{(0)} etwa ist der Modulraum der ”Eigenabbildungen“ ϕ : S_{V} ⟶ S_{W} ⊂ W unter der zu Definition 2.2 analogen Äquivalenzrelation, deren Koeffizienten α∘ϕ für α ∈ W^{∗} nicht nur glatte Funktionen, sondern bereits Eigenfunktionen des skalaren Laplaceoperators auf S_{V} zum selben Eigenwert λ_{k} sind. Nach Satz 4.19 ist M_{k}^{(0)} modelliert nach dem Unterraum M_{0,k}^{(0)} der Lösungen der Gleichungen G_{0}(δ_{p}, δ_{p}) = 0 in Sym^{2}H^{k}V^{∗}, so daß das Argument aus dem Beweis von Satz 2.7 zeigt, daß auch schon M_{k}^{(0)} kompakt ist. Für die geometrische Interpretation dieses Turms von Modulräumen benötigt man den Begriff der höheren Fundamentalform:

Definition 4.25 (Höhere Fundamentalformen) Zu einer Immersion ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W einer Mannigfaltigkeit N in die Sphäre S_{W} vom Radius r eines euklidischen Vektorraums W und einem Punkt p auf N gehört die möglicherweise unvollständige Filtrierung ℝϕ = F_{p}^{(0)} ⊂ F_{p}^{(1)} ⊂ … ⊂ W mit:

F_{p}^{(d)} := ℝϕ(p) + Spann{(X_{1} … X_{d}ϕ)(p) : X_{ν} Vektorfeld auf N}

Die d–te höhere Fundamentalform im Punkte p ist die Abbildung:

II_{p}^{(d)} : Sym^{d}T_{p}N ⟶ F_{p}^{(d)}/F_{p}^{(d−1)}, X_{1} · . . . · X_{d} ⟼ (X_{1} … X_{d}ϕ)(p) mod F_{p}^{(d−1)}

Dabei kann man F_{p}^{(d)}/F_{p}^{(d−1)} vermöge der orthogonalen Projektion auch als Unterraum von W auffassen. Cum grano salis ist die nullte Fundamentalform II_{p}^{(0)} die ursprüngliche Abbildung ϕ(p) =: II_{p}^{(0)}(1). Solange die Dimensionen aller Filtrierungsräume F_{p}^{(•)} bis zum Grad d auf einer offenen Teilmenge von N konstant sind, gibt es dort lokal glatte, an die Filtrierung angepaßte Orthonormalbasen von W, so daß auf dieser offenen Menge auch alle höheren Fundamentalformen II^{(ν)}, ν ≤ d, glatt sind.

In dieser Allgemeinheit wird man nicht erwarten, daß W die Vereinigung aller F_{p}^{(•)} und die Filtrierung somit vollständig ist, obwohl dies für analytische Abbildungen gilt, deren Bild den Zielraum W aufspannt. Faßt man nun die höheren Fundamentalformen lediglich als lineare Abbildungen ϕ : Sym^{d} T_{p}N ⟶ W auf, dann kann man sie durch etwas einfachere Objekte ersetzen:

Definition 4.26 (Moduli höherer Fundamentalformen) Zwei lineare Abbildungen ϕ : Sym^{d} T_{p}N ⟶ W und ϕ̃ : Sym^{d} T_{p}N ⟶ W̃ in euklidische Vektorräume W und W̃ heißen äquivalent, geschrieben ϕ ∼ ϕ̃, wenn es eine Isometrie F : Spann{ϕ} ⟶ Spann{ϕ̃} gibt mit ϕ̃ = F ∘ ϕ. Das Argument aus Kapitel 2 zeigt, daß die Menge der Äquivalenzklassen kanonisch isomorph zum Kegel P^{+}Sym^{d} T_{p}^{∗}N der positiv semidefiniten Bilinearformen auf Sym^{d} T_{p}N ist. Der Modul der Abbildung ϕ ist dabei die symmetrische Bilinearform ⟨ϕ(·), ϕ(·)⟩_{W}.

In diesem Sinne bestimmen die Moduli ⟨II^{(d)}(·, …, ·), II^{(d)}(·, …, ·)⟩_{W} der höheren Fundamentalformen die II^{(d)} bis auf Äquivalenz. Allerdings verliert man dabei die Information, wie die Fundamentalformen analytisch zusammenhängen. Sofern die Filtrierung im Punkt p ∈ N vollständig ist, reichen die Moduli dennoch aus, um noch die Dimension von W zu bestimmen:

dim W = ∑_{ν=0}^{∞} Rang ⟨II_{p}^{(ν)}, II_{p}^{(ν)}⟩

Bei einer isometrischen Immersion ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W in eine Sphäre S_{W} eines euklidischen Vektorraums W kann man die zweite Fundamentalform II_{W} als Immersion von N in den Vektorraum W durch die zweite Fundamentalform II^{(2)} ausdrücken und so die Gaußgleichungen für die Krümmung in einem Punkt p ∈ N

g(R_{X,Y} Z, U) = ⟨II_{W} (X, U), II_{W} (Y, Z)⟩ − ⟨II_{W} (X, Z), II_{W} (Y, U)⟩

als lineare Zwangsbedingung an den Modul ⟨II^{(2)}, II^{(2)}⟩ der zweiten Fundamentalform auffassen. Eine genauere Untersuchung dieser Zwangsbedingung für Sphären wird im Kapitel 8 unternommen und ergibt im Endergebnis den Satz 8.7 von Moore.

Neben der analytisch definierten Filtrierung F_{p}^{(d)} kann man im Fall der Sphären auch eine algebraische Filtrierung F_{p,alg}^{(d)} := Spann{X^{d}δ_{p} : X ∈ V } + Kern G̃ für den Zielraum Sym^{k}V/Kern G̃ der minimalen isometrischen Immersion ϕG̃ einführen. Allerdings stimmen diese beide Filtrierungen überein, denn alle Vektoren X_{1}, …, X_{d} ∈ T_{p}S_{V} = {p}^{⊥} lassen sich zu Vektorfeldern X̃_{ν} := X − ⟨q, X⟩q ∈ T_{q}S_{V} auf der Sphäre fortsetzen. Für diese gilt etwa

(X̃ϕG̃)(q)  = X̃δ_{q} + Kern G̃
(X̃_{1}X̃_{2}ϕG̃)(q) = X̃_{1}X̃_{2}δ_{q} − k⟨X̃_{1}, X_{2}⟩δ_{q} + Kern G̃

und weiter durch Induktion:

(X̃_{1} … X̃_{d}ϕG̃)(p) = X̃_{1}(X̃_{2} · . . . · X̃_{d}δ_{q} + O(q^{k−d+2})) + Kern G̃
= X_{1} · X_{2} · . . . · X_{d}δ_{p} + O(p^{k−d+1}) + Kern G̃

Insbesondere ist die analytische Filtrierung F_{p}^{(d)} = F_{p,alg}^{(d)} wegen F_{p}^{(k)} = Sym^{k}V/Kern G̃ vollständig und die höheren Fundamentalformen lassen sich mit Hilfe der algebraischen Filtrierung berechnen. Zunächst ist das Bild der Multiplikation g^{−1}· : Sym^{k−2}V ⟶ Sym^{k}V mit dem kometrischen Tensor gerade der Annihilator (H^{k}V^{∗})^{⊥} von H^{k}V^{∗} in Sym^{k}V. Die orthogonale Zerlegung V = ℝp ⊕ {p}^{⊥} bewirkt für jeden Punkt p ∈ S_{V} eine Aufspaltung g^{−1} = \frac{1}{2}p^{2} + g_{\{p\}^{⊥}}^{−1}, so daß p^{2}𝔙 und (−2g_{\{p\}^{⊥}}^{−1})𝔙 für alle 𝔙 ∈ Sym^{k−2}V äquivalent modulo (H^{k}V^{∗})^{⊥} sind. Infolgedessen faktorisiert die surjektive Abbildung

Sym^{d}{p}^{⊥} ⟶ F_{p}^{(d)}/F_{p}^{(d−1)} ⊂ Sym^{k}V/Kern G̃, 𝔙 ⟼ 𝔙δ_{p} + Kern G̃

für alle G̃ ∈ Sym^{2}H^{k}V^{∗} über die orthogonale Projektion Sym^{d}{p}^{⊥} ⟶ H^{d}{p}^{⊥}. Ein ähnliches Argument kann man dazu benutzen, die Filtrierung F_{p}^{(•)} im Falle Kern G̃ = (H^{k}V^{∗})^{⊥} mittels des Isomorphismus von Sym^{k}V/(H^{k}V^{∗})^{⊥} mit H^{k}V mit der in Satz 4.8 aufscheinenden Filtrierung

F_{p}^{(d)} = ⨁_{ν=0}^{d} H^{ν}{p}^{⊥} ⊂ H^{k}V

zu identifizieren. Für den Modul G der Standardimmersion ist diese Zerlegung von F_{p}^{(d)} orthogonal und die d–te Fundamentalform II_{p}^{(d)} ist demnach die Projektion auf H^{d}{p}^{⊥}. Für allgemeinere G̃ stimmt dies natürlich nicht mehr, aber solange G̃ positiv definit auf H^{k}V ist, bleiben die Dimensionen der Filtrierungsräume unverändert und alle höheren Fundamentalformen sind glatt.

Satz 4.27 (Interpretation der Modulräume M_{k}^{(d)}) Für 0 ≤ d ≤ \frac{k}{2} − 1 ist der Modulraum M_{k}^{(d)} die Menge aller Äquivalenzklassen der Eigenabbildungen der Sphäre S_{V} in Sphären, deren höhere Fundamentalformen II^{(•)} bis zum Grad d in jedem Punkt äquivalent zu den Fundamentalformen der Standardimmersion G sind.

Beweis: Nach Satz 4.22 ist klar, daß alle G̃ ∈ M_{k}^{(d)} in jedem Punkt p ∈ S_{V} das gleiche Skalarprodukt auf dem Filtrierungsraum F_{p}^{(d)} induzieren. Folglich sind auch alle ihre Fundamentalformen bis zum Grad d äquivalent. Die Umkehrung beweist man durch Induktion nach d, wobei der Induktionsanfang einfach der Satz 4.19 ist. Sei also G̃ ∈ M_{k}^{(d)} der Modul einer Eigenabbildung der Sphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert mit Standardfundamentalformen bis zum Grad d, deren d + 1–te Fundamentalform II_{p}^{(d+1)} in jedem Punkt p ∈ S_{V} äquivalent zur d + 1–ten Fundamentalform der Standardimmersion G ist. Nach Induktionsvoraussetzung induziert G̃ ∈ M_{k}^{(d)} in allen Punkten p ∈ S_{V} dasselbe Skalarprodukt auf F_{p}^{(d)} ⊂ Sym^{k}V/Kern G wie G. Zusätzlich legen die Überhangrelationen 4.23 bereits alle Skalarprodukte G̃(F_{p}^{(d+1)}, F_{p}^{(d)}) = G(F_{p}^{(d+1)}, F_{p}^{(d)}) eindeutig fest. Somit ist das G–orthogonale Komplement von F_{p}^{(d)} in F_{p}^{(d+1)} auch orthogonal bezüglich G̃. Wenn nun auch schon die Einschränkungen von G̃ und G auf dieses orthogonale Komplement in jedem Punkt übereinstimmen, dann induzieren G̃ und G auf allen F_{p}^{(d+1)}, p ∈ S_{V} , dasselbe Skalarprodukt und G̃ liegt in M_{k}^{(d+1)} nach Satz 4.22. Aber diese Forderung ist genau dann erfüllt, wenn G̃ und G überall äquivalente Fundamentalformen vom Grad d + 1 haben. □

Zum Schluß dieses Kapitels wird die algebraische Charakterisierung der Modulräume M_{k}^{(d)} und ihrer Parameterräume dazu benutzt, für alle 0 ≤ d ≤ \frac{k}{2} − 1 eine ”Multiplikation“ auf der Vereinigung der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n} der S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} über n ≥ 4 zu definieren, die es ermöglicht, Beispiele für Randpunkte der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n} aus Randpunkten der Modulräume kleinerer Dimension zu konstruieren:

Satz 4.28 (Multiplikation minimaler isometrischer Immersionen) Zu jeder isometrischen Einbettung V_{1}^{∗}⊕…⊕V_{r}^{∗} ⟶ Ṽ^{∗} der Summe euklidischer Vektorräume V_{ν}^{∗} der Dimension n_{ν} in einen euklidischen Vektorraum Ṽ^{∗} der Dimension ñ und alle k, d mit d ≤ \frac{k}{2} − 1 induzieren die entsprechenden Einbettungen der Sym^{k}V_{ν}^{∗} ⊗ Sym^{k}V_{ν}^{∗} in den Raum Sym^{k}Ṽ^{∗} ⊗ Sym^{k}Ṽ^{∗} eine affin multilineare Multiplikation

Ψ : M_{k}^{(d)}V_{1} × … × M_{k}^{(d)}V_{r} ⟶ M_{k}^{(d)}Ṽ

der zugehörigen Modulräume mit:

Ψ(G_{1}, …, G_{r}) := GṼ + C_{n_{1},ñ}(G_{1} − G_{V_{1}}) + … + C_{n_{r},ñ}(G_{r} − G_{V_{r}})
= G_{Rest} + C_{n_{1},ñ}G_{1} + … + C_{n_{r},ñ}G_{r}

Dabei bezeichnet etwa GṼ den Modul der Standardimmersion der Sphäre SṼ, G_{Rest} die Projektion dieser Metrik auf das orthogonale Komplement von H^{k}V_{1}^{∗} ⊕…⊕H^{k}V_{r}^{∗} in H^{k}Ṽ^{∗} und C_{n,ñ} die positiven Konstanten:

C_{n,ñ} := \frac{[\frac{ñ−4}{2} + k]κ̃}{[\frac{n−4}{2} + k]κ̃} \frac{[\frac{n−1}{2} + κ̃]κ̃}{[\frac{ñ−1}{2} + κ̃]κ̃}  κ̃ := ⌊\frac{k − 1}{2}⌋

Die Multiplikation Ψ bildet den Rand des Produkts M_{k}^{(d)}V_{1} × … × M_{k}^{(d)}V_{r} in den Rand von M_{k}^{(d)}Ṽ ab und ist additiv für den Korang, das heißt die Dimension des Kerns symmetrischer Bilinearformen.

Beweis: Die isometrische Einbettung von V_{1}^{∗} in den Raum Ṽ^{∗} kann wie die entsprechenden Einbettungen der anderen V_{ν}^{∗} auf die k–te symmetrische Potenz fortgesetzt werden. Nach Konstruktion kommutiert diese Einbettung mit den Operatoren K, K^{∗}, Pℓ und Pℓ^{∗}, und bildet deshalb den Parameterraum

M_{0,k}^{(d)}V_{1} := Kern Pℓ^{∗k−2d} ∩ Kern K ∩ Kern K^{∗} ⊂ Sym^{2}Sym^{k}V_{1}^{∗}

in den Parameterraum M_{0,k}^{(d)}Ṽ ab. Die erste angegebene Formel für Ψ(G_{1}, …, G_{r}) garantiert damit, daß das Bild jedenfalls in dem affinen Raum M_{k}^{(d)}Ṽ liegt. Die zweite hingegen zeigt sofort, daß Ψ(G_{1}, …, G_{r}) positiv semidefinit und sein Kern die direkte Summe der Kerne der G_{ν} in H^{k}V_{1} ⊕ … H^{k}V_{r} ⊂ H^{k}Ṽ ist. Offensichtlich stimmen beide Formeln überein, wenn man gemäß Satz C.2 die Moduli der Standardimmersionen durch die Standardskalarpodukte ausdrückt und dann die Konstanten wie angegeben wählt. □

Bemerkung 4.29 (Geometrische Interpretation der Multiplikation) Bei dieser rein algebraischen Konstruktion der Multiplikation bleibt naturgemäß völlig im Dunkeln, was dieser Operation geometrisch zugrunde liegt. Aber diese Konstruktion ist eng verwandt, wenn auch nicht identisch, zu einer sehr viel geometrischeren Konstruktion von Toth [To3]. Interessanterweise werden die dort angegebenen Beispiele durch beide Konstruktionen abgedeckt. Insofern sollte ein genauer Vergleich beider Konstruktionen auch eine geometrische Anschauung der Multiplikation Ψ ergeben.

Die Dimension des Modulraums M_{k}^{(d)}

In diesem Kapitel wird das Hauptthema des vorangegangenen Kapitels wieder aufgenommen, und die beiden zuvor eingeführten 𝔰𝔩_{2}–Operatorenalgebren zu einer abgeschlossenen Liealgebra von Operatoren auf dem Tensorprodukt Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} vervollständigt, die ein einfaches Beispiel der Operatorenalgebren ist, die implizit der Weylschen Konstruktion der Darstellungen der klassischen Liealgebren zugrundeliegen [F&H].

In diesem Fall erweist sich diese Weylalgebra als isomorph zu 𝔰𝔭_{4} ≅ 𝔰𝔬_{5}. Sie dient im wesentlichen dazu, die im vorigen Kapitel gegebene Charakterisierung der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(1)} von do Carmo–Wallach und der höheren Modulräume M_{k}^{(d)} leichter handzuhaben. Das Tensorprodukt Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} wird dabei zu einer Niedrigstgewichtsdarstellung der Weylalgebra im Sinne des Anhangs B, aber zur Bestimmung des Raums der Niedrigstgewichtsvektoren benötigt man noch ein entscheidendes Lemma von do Carmo–Wallach [dC&W]. Als Konsequenz der Lösung dieses rein darstellungstheoretischen Problems erhält man eine Dimensionsformel für die Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(1)} der minimalen isometrischen Immersionen und der höheren Modulräume M_{k}^{(d)}.

5.1 Das Lemma von do Carmo–Wallach

Im vorangegangenen Kapitel wurde die 𝔰𝔩_{2}–Algebra der Plückerdifferentiale Pℓ und Pℓ^{∗} auf dem Tensorprodukt Sym V ⊗ Sym V und letztendlich auch auf dem zugehörigen Dualraum Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} betrachtet. Auf den beiden Faktoren des letzteren operieren zwei Kopien der ”harmonischen“ 𝔰𝔩_{2}–Liealgebra, H, M und −K auf dem linken sowie H^{∗}, M^{∗} und −K^{∗} auf dem rechten Faktor, die zusammen den Unterraum HV^{∗}⊗HV^{∗} charakterisieren. Es stellt sich heraus, daß nur noch zwei weitere Operatoren fehlen, um die von allen diesen drei 𝔰𝔩_{2}– Algebren gemeinsam erzeugte Algebra von Operatoren auf Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} abzuschließen:

Definition 5.1 (Diagonale Multiplikation und Kontraktion) Die beiden diagonalen Multiplikations– und Kontraktionsoperatoren g· und g⌟ werden mittels der metrischen und kometrischen Tensoren g und g^{−1} definiert durch:

g· : Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗} ⟶ Sym^{k+1}V^{∗} ⊗ Sym^{l+1}V^{∗} ψ_{1} ⊗ ψ_{2} ⟼ ∑_{ν} de_{ν} · ψ_{1} ⊗ e_{ν}^{♯} · ψ_{2}
g⌟ : Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗} ⟶ Sym^{k−1}V^{∗} ⊗ Sym^{l−1}V^{∗} ψ_{1} ⊗ ψ_{2} ⟼ ∑_{ν} de_{ν}^{♭}⌟ψ_{1} ⊗ e_{ν}⌟ψ_{2}

Satz 5.2 (Die Weylalgebra) Die zehn Operatoren H, M, K, H^{∗}, M^{∗}, K^{∗}, Pℓ, Pℓ^{∗}, g· und g⌟ spannen eine abgeschlossene Liealgebra über ℤ auf, die isomorph zu 𝔰𝔭_{4} ≅ 𝔰𝔬_{5} ist. Diese Weylalgebra hat einen kanonischen, involutiven Automorphismus σ, der durch die Transposition der beiden Tensorfaktoren Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} ⟶ Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗}, ψ_{1} ⊗ ψ_{2} ⟼ ψ_{2} ⊗ ψ_{1} der definierenden Darstellung induziert wird und H ↔ H^{∗}, M ↔ M^{∗}, K ↔ K^{∗} und Pℓ ↔ Pℓ^{∗} vertauscht.

Beweis: Die beiden Operatoren H = \frac{n}{2} + k und H^{∗} = \frac{n}{2} + l sind im wesentlichen die Zahloperatoren der beiden Sym V^{∗}– Faktoren in Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗}. Weil alle anderen Operatoren graduiert bezüglich dieser natürlichen Graduierung sind, erhält man das nebenstehende Wurzeldiagramm bezüglich H, H^{∗}. Deshalb reicht es, die folgenden Kommutatorregeln zu verifizieren:

\begin{aligned}[K, Pℓ^{∗}] & = & g⌟ & [M, Pℓ] & = & −g· & [Pℓ, g⌟] & = & −2K \\ [K, g·] & = & Pℓ & [M, g⌟] & = & −Pℓ^{∗} & [Pℓ, g·] & = & 2M^{∗} \\ [K, M] & = & H & [g⌟, g·] & = & H^{∗} + H & [Pℓ, Pℓ^{∗}] & = & H^{∗} − H \end{aligned} [figure: dH; dH^{∗}; K; M; K^{∗}; M^{∗}; g⌟; g·; Pℓ; Pℓ^{∗}; H; H^{∗}; −1; 1; −1; 1]

Dazu kommen die Relationen, die sich aus den angegebenen mittels des Automorphismus σ ergeben. Die restlichen Kommutatoren verschwinden mehr oder weniger offensichtlich. Zunächst gelten nach Bemerkung 4.3 die zwei grundlegenden Relationen [K, α·] = α^{♭}⌟ und [M, v⌟] = −v^{♯}· für alle α ∈ V^{∗} und v ∈ V. Das ergibt alle Kommutatoren [K, ·] und [M, ·] außer [K, M] = H aus Lemma 4.4. Außerdem gilt [Pℓ, Pℓ^{∗}] = H̃ = H^{∗}−H nach Lemma 4.12. Auch bei den restlichen Relationen werden keine neuen Argumente benötigt, zum Beispiel:

[g⌟, g·] = ∑_{ν,μ} ([e_{ν}⌟, de_{μ}·] ⊗ de_{ν}^{♭}⌟ e_{μ}^{♯} · + de_{μ} · e_{ν}⌟ ⊗ [de_{ν}^{♭}⌟, e_{μ}^{♯}·])
= ∑_{ν} (1 ⊗ de_{ν}^{♭}⌟ e_{ν}^{♯} · + de_{ν} · e_{ν}⌟ ⊗ 1) = H^{∗} + H

Somit sind die zehn Operatoren die Basis einer abgeschlossenen Liealgebra von Operatoren auf dem Tensorprodukt Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗}, die nach dem Wurzeldiagramm isomorph zu 𝔰𝔭_{4} ≅ 𝔰𝔬_{5} ist. Es sei darauf verzichtet, einen expliziten Isomorphismus anzugeben. □

Korollar 5.3 (Funktoreigenschaft der eingeschränkten Weylalgebra) Für jede isometrische Einbettung V^{∗} ⟶ Ṽ^{∗} euklidischer Vektorräume induziert die kanonische Fortsetzung Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} ⟶ Sym Ṽ^{∗} ⊗ Sym Ṽ^{∗} einen Homomorphismus von Darstellungen der eingeschränkten Weylalgebra, das heißt der Unteralgebra der Weylalgebra, die von den sechs Operatoren H̃ = H^{∗} − H, K, K^{∗}, Pℓ, Pℓ^{∗} und g⌟ aufgespannt wird.

Weylalgebren wie diese spielen eine implizite Rolle in der Weylschen Konstruktion der irreduziblen Darstellungen der klassischen Liealgebren nach dem Vorbild der 𝔰𝔩_{n}, deren irreduzible Darstellungen sich stets als Bilder gewisser Schurprojektoren auf einer Tensorpotenz der Standarddarstellung V realisieren lassen. In der Weylschen Konstruktion sind die irreduziblen Darstellungen der klassischen Liealgebren die Schnitte dieser Bilder mit den Kernen aller Kontraktionen zweier V –Faktoren mit der invarianten Bilinearform [F&H].

Lemma 5.4 (Lemma von do Carmo–Wallach [dC&W]) Der Unterraum H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} von Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗} ist gerade der gemeinsame Kern der Operatoren K und K^{∗} in Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗}. Weil der Operator g⌟ mit K und K^{∗} kommutiert, induziert er eine lineare Abbildung

g⌟ : H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} ⟶ H^{k−1}V^{∗} ⊗ H^{l−1}V^{∗}

die für alle euklidische Vektorräume V mit dim V ≥ 3 und alle k, l ≥ 1 surjektiv ist.

Beweis: Nach Korollar 4.9 wird H^{k}V^{∗} von den Bildern der Inklusionen H^{k}ℝ^{2} ⊂ H^{k}V^{∗} aufgespannt, die zu isometrischen Einbettungen ℝ^{2} ⟶ V^{∗} gehören. Dabei reicht es sogar, nur Einbettungen zu betrachten, deren Bild ein beliebig gewähltes α ∈ V^{∗} enthält. Somit wird das Tensorprodukt H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} für dim V ≥ 3 von den Unterräumen H^{k}ℝ^{3} ⊗ H^{l}ℝ^{3} von H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} erzeugt, die zu isometrischen Einbettungen ℝ^{3} ⟶ V^{∗} gehören. Deshalb genügt es, dieses Lemma für dim V = 3 zu beweisen.

Der Fall dim V = 3 zeichnet sich durch eine besonders einfache Darstellungstheorie aus, denn die Gruppe SO_{3}ℝ wird bekanntlich von der Gruppe SU_{2} = SL_{2}ℂ ∩ GL_{1}ℍ zweifach überlagert. Die definierende Darstellung S der Gruppe SU_{2}S ist dabei ein zweidimensionaler, komplexer bzw. eindimensionaler, quaternionischer Vektorraum S = ℂ^{2} = ℍ, auf dem die SU_{2}S als Untergruppe der SL_{2}ℂ die symplektische Form ω = det und als Untergruppe der GL_{1}ℍ die konjugiert–lineare, quaternionische Struktur J der Multiplikation mit j erhält.

Infolgedessen trägt die Darstellung Sym^{2}S eine invariante, reelle Struktur und eine invariante, symmetrische Bilinearform, die auf dem reellen Unterraum positiv definit ist. Deshalb läßt sich V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ isometrisch mit Sym^{2}S identifizieren. Benutzt man die Hermite– Reziprozität A.6 und die Clebsch–Gordon–Formel B.4, so folgt:

Sym^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ Sym^{k}(Sym^{2}S) ≅ Sym^{2}(Sym^{k}S) ≅ ⨁_{ν=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} Sym^{2k−4ν}S

Diese Zerlegung kann man mit der Zerlegung in Satz 4.5 vergleichen. Beide sind SO V – invariant, und ein Vergleich der Dimensionen impliziert H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ Sym^{2k}S. Wendet man nochmals die Clebsch–Gordon–Formel an, so erhält man die folgende Zerlegung:

(H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} H^{l}V^{∗}) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ Sym^{2k}S ⊗ Sym^{2l}S ≅ ⨁_{ν=0}^{2k∧2l} Sym^{2k+2l−2ν}S

Das deutet zumindest die Möglichkeit an, daß g⌟ : H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} ⟶ H^{k−1}V^{∗} ⊗ H^{l−1}V^{∗} surjektiv sein könnte. Jedenfalls ist g⌟ genau dann surjektiv, wenn auch seine Komplexifizierung g⌟ : H^{k}Sym^{2}S ⊗ H^{l}Sym^{2}S ⟶ H^{k−1}Sym^{2}S ⊗ H^{l−1}Sym^{2}S surjektiv ist. Um diese Frage genauer zu untersuchen, muß man sich durch die ganzen obigen Isomorphismen hangeln. Zunächst bildet die Komultiplikation das Element \frac{1}{(2k)!}s^{2k} mit s ∈ S auf \frac{1}{k!}s^{k} ⊗ \frac{1}{k!}s^{k} in Sym^{2}Sym^{k}S ab, und die Hermite–Reziprozität macht daraus (s^{2})^{k} ∈ Sym^{k}Sym^{2}S. Insbesondere kann man den entscheidenden Isomorphismus Sym^{2k}S ≅ H^{k}Sym^{2}S so wählen, daß er \frac{1}{(2k)!}s^{2k} nach \frac{1}{k!}(\frac{1}{2}s^{2})^{k} schickt.

Die Quadrate \frac{1}{2}s^{2} in Sym^{2}S entsprechen nun genau den isotropen Elementen bezüglich der invarianten, symmetrischen Bilinearform auf Sym^{2}S. Somit wird H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ und nach Korollar 4.9 auch schon H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ für jeden euklidischen Vektorraum V mit dim V ≥ 3 durch die komplexen, harmonischen Polynome \frac{1}{k!}α^{k} zu isotropen α ∈ V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ aufgespannt. Für das Tensorprodukt zweier solcher Elemente gilt offenbar:

g⌟( \frac{1}{k!}α^{k} ⊗ \frac{1}{l!}β^{l}) = ⟨α, β⟩(\frac{1}{(k − 1)!}α^{k−1} ⊗ \frac{1}{(l − 1)!}β^{l−1})

Insbesondere liegen alle Elemente der Form \frac{1}{(k−1)!}α^{k−1}⊗\frac{1}{(l−1)!}β^{l−1} zu isotropen α, β ∈ V^{∗}⊗_{ℝ}ℂ mit ⟨α, β⟩ ≠ 0 im Bild der Komplexifizierung von g⌟. Somit kann man den Beweis des Lemmas beenden, indem man argumentiert, daß diese Elemente für dim V ≥ 3 bereits das ganze Tensorprodukt (H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} H^{l}V^{∗}) ⊗_{ℝ} ℂ aufspannen. Diese Argumentation zeigt ganz deutlich das Problem, dem man bei dim V = 2 begegnet. In ℂ^{2} gibt es im wesentlichen nur zwei linear unabhängige, isotrope Vektoren und folglich auch nur ein Paar α, β ∈ ℂ^{2} isotroper Vektoren mit ⟨α, β⟩ ≠ 0.

Einfacher ist an dieser Stelle aber, sich davon zu überzeugen, daß das folgende Diagramm kommutiert, indem man dies auf den erzeugenden Elementen \frac{1}{(2k)!}s_{1}^{2k} ⊗ \frac{1}{(2l)!}s_{2}^{2l}, s_{1}, s_{2} ∈ S von Sym^{2k}S ⊗ Sym^{2l}S überprüft:

[figure: Sym^{2k−2}S ⊗ Sym^{2l−2}S; Sym^{2k}S ⊗ Sym^{2l}S; H^{k−1}Sym^{2}S ⊗ H^{l−1}Sym^{2}S; H^{k}Sym^{2}S ⊗ H^{l}Sym^{2}S; (ω⌟)^{2}; 2g⌟; ≅; ≅]

Im Beweis der Clebsch–Gordon–Formel B.4 spielt die Surjektivität von (ω⌟)^{2} eine entscheidende Rolle, hier ermöglicht sie die Folgerung, daß auch g⌟ surjektiv ist. □

Bemerkung 5.5 Die einfache Darstellungstheorie der Gruppe SO_{3}ℝ, die den Beweis dieses Satzes für alle n ≥ 3 ermöglicht, ist letztendlich der Grund für den eingangs des Kapitels 2 angesprochenen Satz von Calabi. Das Tensorprodukt Sym ℝ^{3} ⊗ Sym ℝ^{3} enthält einfach keine genügend komplizierten Darstellungen. Diese Aussage findet sich in Beispiel 5.7 genauer formuliert.

5.2 Die allgemeine Dimensionsformel

In den vorangegangenen Abschnitten wurde schrittweise offenbar, daß die definierende Darstellung Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} der Weylalgebra die Modulräume der minimalen isometrischen Immersionen der Sphären beschreibt. Allerdings ist diese Darstellung unendlich–dimensional und deswegen ist die Darstellungstheorie der Liealgebra 𝔰𝔭_{4} nicht so ohne weiteres anwendbar. Tatsächlich ist diese Darstellung aber eine Niedrigstgewichtsdarstellung im Sinne der Definition B.1 aus Anhang B:

Definition 5.6 (Niedrigstgewichtssequenzen) Der Raum L^{k,l}V^{∗} der Niedrigstgewichtsvektoren vom Gewicht (k, l), k ≥ l, ist der gemeinsame Kern der Operatoren K, K^{∗}, g⌟ und Pℓ^{∗} in Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{l}V^{∗}. Äquivalent dazu ist L^{k,l}V^{∗} der gemeinsame Kern der Operatoren g⌟ und Pℓ^{∗} in H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗}. Entsprechend sei H^{k,l}V^{∗} der Kern des Operators g⌟ in H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} mit H^{k,l}V^{∗} ⊃ L^{k,l}V^{∗} für k ≥ l nach Definition. Dann induzieren die Plückerdifferentiale Pℓ und Pℓ^{∗} die Niedrigstgewichtssequenz

0 ⇋ H^{k,0}V^{∗} ⇋_{Pℓ}^{Pℓ^{∗}} H^{k−1,1}V^{∗} ⇋_{Pℓ}^{Pℓ^{∗}} H^{k−2,2}V^{∗} ⇋ ⋯ ⇋ H^{2,k−2}V^{∗} ⇋_{Pℓ}^{Pℓ^{∗}} H^{1,k−1}V^{∗} ⇋_{Pℓ}^{Pℓ^{∗}} H^{0,k}V^{∗} ⇋ 0

denn wegen [Pℓ, g⌟] = −2K und [Pℓ, K^{∗}] = −g⌟ bildet etwa Pℓ den Raum H^{k,l}V^{∗} nach H^{k−1,l+1}V^{∗} ab. Diese Niedrigstgewichtssequenz ist eine Unterdarstellung der 𝔰𝔩_{2}–Algebra der Plückerdifferentiale, so daß die isotypischen Komponenten ψ_{ν} ∈ H^{k+ν,l−ν}V^{∗} eines jeden ψ ∈ H^{k,l}V^{∗} Niedrigstgewichtsvektoren sind. Insbesondere sind die Plückerdifferentiale wie in Satz 4.13 immer noch injektiv bzw. surjektiv.

Diese Definition erlaubt es, für Vektorräume V mit dim V ≥ 3 die Dimension des Raums L^{k,l}V^{∗} der Niedrigstgewichtsvektoren zu bestimmen. Man benutzt zunächst das Lemma 5.4 von do Carmo–Wallach, um die Dimensionen der Räume H^{k,l}V^{∗} anzugeben, und bestimmt danach die Dimension der Kerne L^{k,l}V^{∗} ⊂ H^{k,l}V^{∗} des surjektiven Plückerdifferentials Pℓ^{∗}:

dim H^{k}V^{∗} = dim Sym^{k}V^{∗} − dim Sym^{k−2}V^{∗}
dim H^{k,l}V^{∗} = dim H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗}− dim H^{k−1}V^{∗} ⊗ H^{l−1}V^{∗}
dim L^{k,l}V^{∗} = dim H^{k,l}V^{∗} − dim H^{k+1,l−1}V^{∗}

Beispiel 5.7 (Niedrigstgewichtsvektoren für ℝ^{3}) Im Beweis des Lemmas 5.4 von do Carmo–Wallach wurde im wesentlichen bereits der Raum L^{k,l}ℝ^{3} der Niedrigstgewichtsvektoren bestimmt. Diesem Beweis zufolge zerfällt nämlich das Tensorprodukt des Raums der harmonischen Polynome mit sich selbst in:

(H^{k}ℝ^{3} ⊗_{ℝ} H^{l}ℝ^{3}) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ Sym^{2k}S ⊗ Sym^{2l}S ≅ ⨁_{ν=0}^{2k∧2l} Sym^{2k+2l−2ν}S

Somit ist H^{k,0}ℝ^{3}⊗_{ℝ}ℂ ≅ Sym^{2k}S und H^{k,l}ℝ^{3}⊗_{ℝ}ℂ ≅ Sym^{2k+2l}S⊕Sym^{2k+2l−2}S für k ≥ l > 0. Nach Komplexifizierung gilt also für die Räume L^{k,l}ℝ^{3} der Niedrigstgewichtsvektoren

L^{k,0}ℝ^{3} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ L^{k,1}ℝ^{3} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ Sym^{2k}S

und L^{k,l}ℝ^{3} = {0} für alle k ≥ l > 1. Für V^{∗} = ℝ^{3} hat die 𝔰𝔭_{4}–Darstellung Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} also nur sehr spezielle Niedrigstgewichtsvektoren. Dies führt zur Starrheitsaussage des Satzes 5.10 von Calabi für die minimalen isometrischen Immersionen der S^{2}. Schon für V^{∗} = ℝ^{4} existieren nichttriviale Niedrigstgewichtsvektoren für alle möglichen Gewichte (k, l) mit k ≥ l.

Man kann nun versuchen, die Dimensionen der L^{k,l}V^{∗} in Abhängigkeit von dim V zu bestimmen, um die Darstellung der Weylalgebra zu verstehen. Ist man allerdings nur an den Dimensionen der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(d)} interessiert, so kommt man auf einem direkteren Weg zum Ziel. Nach der Charakterisierung der M_{0,k} = M_{0,k}^{(1)} in Satz 4.20 und allgemeiner nach Definition 4.24 sind die M_{0,k}^{(d)} nämlich die Kerne der iterierten Plückerdifferentiale Pℓ^{∗k−2d} in Sym^{2}H^{k}V^{∗}. Nun betrachte man die kurze exakte Sequenz:

Satz 5.8 (Rekursive Berechnung der Dimension) Für dim V ≥ 3 und alle r ≥ 1, k ≥ l induziert der Operator g⌟ eine kurze exakte Sequenz:

0 → Kern Pℓ^{∗r}∩H^{k,l}V^{∗} ⟶^{⊂} Kern Pℓ^{∗r}∩H^{k}V^{∗}⊗H^{l}V^{∗} ⟶^{g⌟} Kern Pℓ^{∗r−1}∩H^{k−1}V^{∗}⊗H^{l−1}V^{∗} → 0

Beweis: Weil g⌟ mit K und K^{∗} kommutiert, bildet es H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} sicherlich nach H^{k−1}V^{∗} ⊗ H^{l−1}V^{∗} ab. Die Kommutatorrelation [K, Pℓ^{∗r}] = rPℓ^{∗r−1}g⌟ + r(r − 1)Pℓ^{∗r−2}K^{∗} zeigt weiter, daß g⌟ den Raum Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} bereits in den Kern von Pℓ^{∗r−1} abbildet. Somit ist die obige Sequenz wohldefiniert und es bleibt nur die Surjektivität von g⌟ zu zeigen.

Sei also ψ ∈ H^{k−1}V^{∗} ⊗ H^{l−1}V^{∗} mit Pℓ^{∗r−1}ψ = 0. Nach dem Lemma 5.4 von do Carmo– Wallach gibt es wegen dim V ≥ 3 ein ψ̃ ∈ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗} mit g⌟ψ̃ = ψ, aber im allgemeinen gilt nicht Pℓ^{∗r}ψ̃ = 0. Allerdings genügt für den weiteren Beweis die Feststellung, daß Pℓ^{∗r}ψ̃ in H^{k+r,l−r}V^{∗} liegt. Tatsächlich folgt K^{∗}Pℓ^{∗r}ψ̃ = 0 einfach aus [K^{∗}, Pℓ^{∗}] = 0 und die Kommutatorrelation [g⌟, Pℓ^{∗r}] = 2rPℓ^{∗r−1}K^{∗} impliziert mit Hilfe der Voraussetzung zusätzlich g⌟Pℓ^{∗r}ψ̃ = Pℓ^{∗r}g⌟ψ̃ = 0. Schließlich impliziert die bereits erwähnte Kommutatorrelation

[K, Pℓ^{∗r}] = rPℓ^{∗r−1}g⌟ + r(r − 1)Pℓ^{∗r−2}K^{∗}

auch KPℓ^{∗r}ψ̃ = 0 wegen Pℓ^{∗r−1}g⌟ψ̃ = Pℓ^{∗r−1}ψ = 0. In der Niedrigstgewichtssequenz ist nun das Plückerdifferential Pℓ^{∗r} surjektiv für k ≥ l, folglich gibt es ein ψ̃_{0} ∈ H^{k,l}V^{∗} mit Pℓ^{∗r}ψ̃ = Pℓ^{∗r}ψ̃_{0}. Dann ist ψ̃ − ψ̃_{0} das gesuchte Urbild von ψ im Schnitt von Kern Pℓ^{∗r} mit H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗}. □

Definiert man nun n := dim V sowie m_{k} := dim Sym^{k}V^{∗} = \binom{n−1+k}{k} und schließlich noch h_{k} := dim H^{k}V^{∗} = m_{k}−m_{k−2}, dann folgt aus diesem Satz und der Surjektivität der iterierten Plückerdifferentiale Pℓ^{∗r} für k ≥ l in der Niedrigstgewichtssequenz durch Induktion:

dim (Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗})

= ∑_{ν=0}^{r−1} (dim H^{k−ν,l−ν}V^{∗} − dim H^{k+r−2ν,l−r}V^{∗})

= ∑_{ν=0}^{r−1} (h_{k−ν} h_{l−ν} − h_{k−ν−1} h_{l−ν−1}) − (∑_{ν=0}^{r−1} h_{k+r−2ν}) h_{l−r} + (∑_{ν=0}^{r−1} h_{k+r−2ν−1}) h_{l−r−1}

Löst man die Teleskopsummen auf und faßt etwas zusammen, so erhält man letztendlich:

Korollar 5.9

dim (Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{l}V^{∗}) = (m_{k} − m_{k−2}) (m_{l} − m_{l−2})

− (m_{k+r} − m_{k−r−2}) (m_{l−r} − m_{l−r−2}) + (m_{k+r−1} − m_{k−r−1}) (m_{l−r−1} − m_{l−r−3})

Mit dieser Formel steht man kurz vor dem Ziel, die Dimensionen der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} zu bestimmen, man muß nur noch die Beiträge von Sym^{2}(H^{k}V^{∗}) und Λ^{2}(H^{k}V^{∗}) zur Dimension von Kern Pℓ^{∗r} ∩H^{k}V^{∗}⊗H^{k}V^{∗} auseinanderdividieren. Die entscheidende Eigenschaft dabei ist, daß Sym^{2}H^{k}V^{∗}, Λ^{2}H^{k}V^{∗} und Kern Pℓ^{∗r} als Unterräume von Sym^{k}V^{∗} ⊗ Sym^{k}V^{∗} invariant unter der kanonischen Involution σ(ψ_{1} ⊗ ψ_{2}) := ψ_{2} ⊗ ψ_{1} sind. Insbesondere ist auch Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{k}V^{∗} die direkte Summe seines Schnitts mit Sym^{2}H^{k}V^{∗} und Λ^{2}H^{k}V^{∗}:

Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{k}V^{∗} = Kern Pℓ^{∗r} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗} ⊕ Kern Pℓ^{∗r} ∩ Λ^{2}H^{k}V^{∗}

Nach Pieris Formel 4.17 zerfallen nun Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} und Λ^{2}Sym^{k}V^{∗} noch weiter in die Unterräume PL_{•}, aber es ist nicht klar, wie sich diese Zerlegung mit der Inklusion von H^{k}V^{∗}⊗H^{k}V^{∗} in Sym^{k}V^{∗}⊗Sym^{k}V^{∗} verhält. Allerdings kann man daraus wenigstens folgern, daß die isotypische Zerlegung B.2 eines ψ ∈ Sym^{2}H^{k}V^{∗} von der Form ist:

ψ = Pℓ^{k}ψ_{k} + Pℓ^{k−2}ψ_{k−2} + Pℓ^{k−4}ψ_{k−4} + … + ψ_{0} bzw. Pℓ ψ_{1}

Ein solches ψ liegt nach Satz 4.13 in Kern Pℓ^{∗r} genau dann, wenn ψ_{k−2ν} = 0 für alle k−2ν ≥ r. Folglich gilt

Kern Pℓ^{∗r} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗} = Kern Pℓ^{∗r−1} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗}

für gerades k−r. Ein analoges Argument zeigt Kern Pℓ^{∗r}∩Λ^{2}H^{k}V^{∗} = Kern Pℓ^{∗r−1}∩Λ^{2}H^{k}V^{∗}, wenn k − r hingegen ungerade ist. Schreibt man der Einfachheit halber (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{r} für Kern Pℓ^{∗r} ∩ H^{k}V^{∗} ⊗ H^{k}V^{∗} und entsprechend für Sym^{2}H^{k}V^{∗} und Λ^{2}H^{k}V^{∗}, so wird die Situation durch das folgende Schema beschrieben:

⨂^{2}H^{k}V^{∗} ⊃ (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k} ⊃ (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−1} ⊃ (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2} ⊃ …
Sym^{2}H^{k}V^{∗} ⊃ (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k} = (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k−1} ⊃ (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2} = …
Λ^{2}H^{k}V^{∗} = (Λ^{2}H^{k}V^{∗})_{k} ⊃ (Λ^{2}H^{k}V^{∗})_{k−1} = (Λ^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2} ⊃ …

Diesem Schema entnimmt man die beiden Formeln:

dim (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2d}

= dim Sym^{2}H^{k}V^{∗} − ∑_{ν=0}^{d} (dim (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2ν+1} − dim (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2ν})

= ∑_{ν=d+1}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} (dim (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2ν+1} − dim (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2ν})

Die erste ist letztendlich einfacher und führt zur Dimensionsformel 5.11. Allerdings kann man die zweite Formel dazu benutzen, die Dimensionen der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(d)} mit den Dimensionen der Räume L^{k,l}V^{∗} von Niedrigstgewichtsvektoren in Beziehung zu bringen. Zunächst folgert man mittels der exakten Sequenz aus Satz 5.8

dim (⨂^{2}H^{k}V^{∗})_{k−r} = ∑_{ρ=r+1}^{k} ∑_{μ=0}^{k−ρ} dim L^{ρ+2μ,ρ}V^{∗}

benutzt die zweite angegebene Formel für die Dimensionen der (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2d} und erhält:

Satz 5.10 (Satz von Calabi [Cal]) Die Dimensionen der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(d)} lassen sich vermöge

dim (Sym^{2}H^{k}V^{∗})_{k−2d} = ∑_{ν=d+1}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} ∑_{μ=0}^{k−2ν} dim L^{2ν+2μ,2ν}V^{∗}

aus den Dimensionen der Räume L^{k,l}V^{∗} von Niedrigstgewichtsvektoren berechnen. Ohne Niedrigstgewichtsvektoren L^{k,l}V^{∗} mit k ≥ l ≥ 2d + 2 kann also die Standardimmersion im Modulraum M_{k}^{(d)} nicht deformiert werden. Nach Beispiel 5.7 betrifft dies ausschließlich die minimalen isometrischen Immersionen der S^{2}.

Satz 5.11 (Die Dimensionsformel) Für alle euklidischen Vektorräume V der Dimension n := dim V ≥ 3 sind die Dimensionen der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} = Kern Pℓ^{∗r−2d} ∩ Sym^{2}H^{k}V^{∗} der Modulräume M_{k}^{(d)} der Eigenabbildungen der Sphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert mit Standardfundamentalformen bis zum Grad d ≤ \frac{k}{2} − 1 gegeben durch:

dim M_{0,k}^{(d)} = dim Sym^{2}H^{k}V^{∗} − ∑_{ν=0}^{d} ((m_{2ν} −m_{2ν−4})(m_{2k−2ν} −m_{2ν−2})
− (m_{2ν−1}−m_{2ν−3})(m_{2k−2ν+1}+m_{2k−2ν−1}−m_{2ν−1}−m_{2ν−3}))

Insbesondere gilt für den Parameterraum des Modulraums M_{k}^{(0)} der Eigenabbildungen

dim M_{0,k}^{(0)} = dim Sym^{2}H^{k}V^{∗} − m_{2k}

und für den Parameterraum des Modulraums M_{λ_{k}} = M_{k}^{(1)} der minimalen isometrischen Immersionen:

dim M_{0,k}^{(1)} = dim Sym^{2}H^{k}V^{∗} − m_{2k} − n(\frac{n − 1}{2} + \frac{n + 1}{2}m_{2k−2} − m_{2k−1} − m_{2k−3})

In allen Formeln ist m_{r} := \binom{n−1+r}{r} die Dimension von Sym^{r}V^{∗} für r ≥ 0 und m_{r} := 0 sonst.

Die Formel fordert zu einem Vergleich mit der von do Carmo–Wallach angegebenen, unteren Abschätzung für die Dimensionen der M_{0,k}^{(1)} heraus. Ein rechenaufwendiger, ansonsten aber einfacher Induktionsbeweis zeigt, daß beide Formeln äquivalent sind, das heißt die Abschätzung von do Carmo–Wallach ist scharf. In dieser Formulierung wurde Satz 5.11 zuvor von Muto [Mu] im Fall der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert bewiesen, man vergleiche etwa [O]. Der erste Beweis der Dimensionsformel für die Modulräume M_{λ_{k}} = M_{k}^{(1)} in voller Allgemeinheit stammt von Toth [To4], die Verallgemeinerung für alle Modulräume M_{k}^{(d)}, d > 1, findet sich in Gauchman–Toth [G&T], wobei der Beweis aufgrund der abweichenden Darstellungstheorie der Ausnahmegruppe SO_{4}ℝ im Fall dim V = 4 unvollständig bleibt. In diesem Fall zerfallen die Räume L^{k,l}ℝ^{4} als SO_{4}ℝ– Darstellungen noch weiter in zwei irreduzible Darstellungen, und das Analogon des Satzes 4.27 im darstellungstheoretischen Zugang ist schwieriger zu beweisen.

Geometrie der Kegelschnitte

In diesem Kapitel wird die allgemeine Geometrie der Kegelschnitte, das heißt der Schnitte des Kegels P^{+}E := {G ∈ Sym^{2}E : G ≥ 0} der positiv semidefiniten Bilinearformen auf einem Vektorraum E^{∗} mit affinen Unterräumen M ⊂ Sym^{2}E untersucht. Einige Beispiele für diese geometrischen Objekte finden sich bereits in früheren Kapiteln, so zum Beispiel die Modulräume M_{λ} minimaler isometrischer Immersionen von do Carmo–Wallach. Weitere Beispielklassen sind die Modulräume der Punktkonfigurationen und die der orthogonalen Multiplikationen, die in diesem Kapitel beschrieben werden.

Das wichtigste Ziel dieses Kapitels besteht eigentlich darin, die Kegelschnitte als neue geometrische Studienobjekte zu propagieren. Dabei wird zum Beispiel deutlich, daß der schon lange bekannte Zusammenhang zwischen den Modulräumen M_{2}^{(0)} der Eigenabbildungen der Sphären zum zweiten Eigenwert und den Modulräumen der orthogonalen Multiplikationen, die Hopf–Whitehead–Konstruktion, nur eine affin lineare Abbildung zwischen diesen Kegelschnitten ist. In diesem Sinne stellt diese Konstruktion das erste Beispiel eines vergleichenden Studiums zweier Kegelschnitte dar.

Das interessanteste Ergebnis dieses Kapitels ist eine Beschreibung der lokalen Randstruktur eines Kegelschnitts in einem Randpunkt. Unter günstigen Umständen kann man von der lokalen Randstruktur in einem Punkt bereits auf interessante Aspekte der globalen Randstruktur schliessen. Allerdings scheinen die dazu nötigen Rechnungen für die Modulräume der minimalen isometrischen Immersionen derzeit noch nicht durchführbar. Es bleibt abzuwarten, ob es in Zukunft eine Idee gibt, die diese Argumentation vereinfacht.

6.1 Positiv semidefinite Bilinearformen

Vor der allgemeinen Definition der Kegelschnitte seien noch einige Eigenschaften symmetrischer Bilinearformen zusammengestellt. Jede symmetrische Bilinearform A ∈ Sym^{2}E auf E^{∗} kann man auch als lineare Abbildung A : E^{∗} ⟶ (E^{∗})^{∗} ≅ E, η ⟼ A(η, ·) auffassen. Demgemäß hat A ein Bild und einen Kern

\begin{aligned}Im A & = & \{A(η, ·) ∈ E : η ∈ E^{∗}\} \\ Kern A & = & \{η ∈ E^{∗} : A(η, ·) = 0\} \end{aligned}

deren Dimensionen als Rang bzw. Korang von A bezeichnet werden. Als Folge der Symmetrie ist der Annihilator (Im A)^{⊥} := {η ∈ E^{∗} : ⟨η, e⟩ = 0 für alle e ∈ Im A} von Im A gerade Kern A. Insbesondere summieren sich Rang A und Korang A zu dim E. Ein wichtiges Prinzip ist nun, daß Im A der kleinste Unterraum von E ist, für den A im Bild der Inklusion Sym^{2}Im A ↪ Sym^{2}E liegt. Dies folgt sofort aus dem Trägheitssatz von Sylvester:

Satz 6.1 (Trägheitssatz von Sylvester) Jede symmetrische Bilinearform A hat eine Darstellung A = ∑_{ν} ±\frac{1}{2}e_{ν}^{2} für eine Basis \{e_{ν}\} von Im A. Die Anzahl der Plus– bzw. Minuszeichen in dieser Darstellung heißt Signatur (+, −) von A. Insbesondere ist der positive Kegel P^{+}E die von den Quadraten erzeugte Halbgruppe. Die Fortsetzung Sym^{2}F einer linearen Abbildung F : E ⟶ Ẽ erhält deshalb die Positivität.

Satz 6.2 (Hurwitz–Kriterium) Sei A eine symmetrische r × r–Matrix über ℝ. Die Hauptminoren von A sind die Determinanten der ν × ν–Untermatrizen von A, die nur aus den ersten ν ≤ r Zeilen und Spalten von A bestehen. Verschwindet kein Hauptminor von A, dann ist die Signatur (r − θ, θ) von A allein durch die Anzahl θ der Vorzeichenwechsel in der Folge der Hauptminoren bestimmt. Insbesondere ist A genau dann positiv definit, wenn alle seine Hauptminoren positiv sind. Vorsichtiger muß man die analoge Aussage für positiv semidefinite Matrizen formulieren: Eine symmetrische r × r–Matrix A über ℝ ist genau dann positiv semidefinit, wenn keiner ihrer diagonalen Minoren negativ ist, das heißt wenn keine Untermatrix von A, die durch Streichen derselben Zeilen und Spalten aus A entsteht, eine negative Determinante besitzt.

Spezielle Eigenschaften positiv semidefiniter symmetrischer Bilinearformen sind zumeist Folgerungen aus der Cauchy–Schwarz–Ungleichung. Diese ist wiederum eine direkte Konsequenz einer kategorischen Ungleichung, die keinerlei Beweises bedarf:

Lemma 6.3 (Kategorische Ungleichung) Sei ax^{2} + 2bx + c ≥ 0 für alle x ∈ ℝ, dann gilt entweder a = b = 0 und c ≥ 0 oder a > 0 und b^{2} ≤ ac.

Korollar 6.4 (Kerne positiv semidefiniter Formen) Wenn A ∈ Sym^{2}E positiv semidefinit ist, dann gilt Kern A = {α ∈ E^{∗} : A(α, α) = 0}.

Beweis: Nach Definition des Kerns gilt jedenfalls Kern A ⊂ {α ∈ E^{∗} : A(α, α) = 0}. Sei nun α ∈ E^{∗} mit A(α, α) = 0, dann gilt A(α + β, α + β) = 2 A(α, β) + A(β, β) ≥ 0 für alle β ∈ E^{∗}. Ersetzt man hierin β durch xβ mit der Unbekannten x ∈ ℝ, dann impliziert die kategorische Ungleichung A(α, β) = 0. □

Korollar 6.5 (Existenz des orthogonalen Komplements) Sei A positiv semidefinit und I ⊂ Im A ein beliebiger Unterraum. Dann gibt es genau ein Komplement K von I in Im A = I ⊕ K, so daß A ∈ Sym^{2}I ⊕ Sym^{2}K keine ”gemischten Terme“ in I ⊗ K besitzt.

Beweis: Für ein Komplement K von I mit A ∈ Sym^{2}I ⊕ Sym^{2}K bildet der von A induzierte Isomorphismus A : (Im A)^{∗} ⟶ Im A die Zerlegung (Im A)^{∗} = K^{⊥} ⊕ I^{⊥} offenbar auf die Zerlegung Im A = I ⊕ K ab. Somit ist K eindeutig als Bild von I^{⊥} unter A charakterisiert. Wenn A positiv semidefinit ist, dann ist dieses Bild bereits ein Komplement von I in Im A, denn für ein α aus I^{⊥} mit A(α, ·) ∈ A(I^{⊥}, ·) ∩ I impliziert A(α, α) = 0 bereits α ∈ Kern A, also A(α, ·) = 0. □

Ist A eine positiv definite Bilinearform auf E^{∗}, so gibt es für jedes B ∈ Sym^{2}E auf jeden Fall ein t > 0, so daß A+tB immer noch positiv definit ist. Offensichtlich gilt diese Feststellung für allgemeine positiv semidefinite A nicht mehr. Um dieses Problem genauer zu formulieren, betrachte man die Projektion E ⟶ E/Im A mit Fortsetzung π : Sym^{2}E ⟶ Sym^{2}(E/Im A). Diese Fortsetzung erhält die Positivität, bildet also P^{+}E auf P^{+}(E/Im A) ab, und ist für ein B ∈ Sym^{2}E das Bild πB > 0, so gibt es ein t > 0 für das auch A + tB ≥ 0. Auch das gilt nicht mehr, wenn πB nur noch positiv semidefinit auf (E/Im A)^{∗} ≅ (Im A)^{⊥} ist:

Beispiel 6.6 Auf dem Vektorraum E = ℝ^{3} mit Standardbasis e_{1}, e_{2} und e_{3} betrachte man die positiv semidefinite Bilinearform A := \frac{1}{2}e_{1}^{2} und dazu B := \frac{1}{2}e_{2}^{2} + e_{1}e_{3}. Dann ist πB = \frac{1}{2}(e_{2} + ℝe_{1})^{2} positiv semidefinit, aber es gibt kein t ≠ 0, für das auch A + tB positiv semidefinit wäre, denn die Hauptminoren der Matrixdarstellung

A + tB ⟷ ( \begin{matrix}1 & 0 & t \\ 0 & t & 0 \\ t & 0 & 0 \end{matrix} )

sind in dieser Reihenfolge 1, t und −t^{3}, so daß A + tB nach dem Hurwitz–Kriterium 6.2 Signatur (2, 1) für t > 0 und (1, 2) für t < 0 hat.

Den Kern von πB kann man unter dem Isomorphismus (E/Im A)^{∗} ≅ (Im A)^{⊥} = Kern A mit einem Unterraum von Kern A identifizieren. Sein Annihilator in ganz E ist dann das volle Urbild π^{−1}(Im πB) des Bildes von πB. Jedenfalls gilt stets Kern πB ⊃ Kern A∩Kern B oder äquivalent π^{−1}(Im πB) ⊂ Im A + Im B, und diejenigen B ∈ Sym^{2}E, für die es ein t > 0 mit A + tB ≥ 0 gibt, werden gerade durch Gleichheit charakterisiert:

Lemma 6.7 (Integrabele Deformationen) Sei A ≥ 0 und B ∈ Sym^{2}E mit πB ≥ 0 in Sym^{2}(E/Im A). Genau dann existiert ein t > 0 mit A + tB ≥ 0, wenn Im B ⊂ π^{−1}(Im πB) oder äquivalent Kern πB = Kern A ∩ Kern B gilt.

Beweis: Jedenfalls gilt B(α, α) = (πB)(α, α) = 0 für jedes α ∈ Kern πB ⊂ Kern A und wenn man zusätzlich voraussetzt, daß A + tB für ein t > 0 positiv semidefinit ist, gilt außerdem 0 ≤ (A + tB)(α + β, α + β) = 2tB(α, β) + (A + tB)(β, β) für alle β ∈ E^{∗}. Die kategorische Ungleichung impliziert dann B(α, β) = 0, das heißt α ∈ Kern B.

Sei nun umgekehrt πB > 0 in Sym^{2}(E/Im A) vorausgesetzt, dann ist das volle Urbild π^{−1}(Im πB) gerade E und die obige Voraussetzung trivialerweise erfüllt. Wählt man ein Komplement K von Im A in E, so erhält man auch eine Zerlegung von E^{∗} = K^{⊥} ⊕ Kern A. Für die eindeutige Darstellung jedes α ⊕ β ∈ E^{∗} im Sinne dieser Zerlegung gilt dann:

(A + tB)(α ⊕ β, α ⊕ β) = (A + tB)(α, α) + 2tB(α, β) + tB(β, β)

Damit A + tB nun positiv semidefinit sein kann, muß nach der kategorischen Ungleichung

tB(α, β)^{2} ≤ (A + tB)(α, α)B(β, β)

für alle α ∈ K^{⊥} und β ∈ Kern A gelten. Umgekehrt sieht man sofort, daß dies auch schon hinreichend ist. Weil A + tB ≥ \frac{1}{2}A > 0 auf K^{⊥} ≅ E^{∗}/Kern A für genügend kleines t und B > 0 auf Kern A nach Voraussetzung, kann man t also so klein wählen, daß A + tB sogar positiv definit wird. Wenn nun πB ≥ 0 nicht mehr regulär in Sym^{2}(E/Im A) ist, aber wenigstens noch Im B ⊂ π^{−1}(Im πB) erfüllt, dann liegen sowohl A als auch B im Unterraum Sym^{2}π^{−1}(Im πB) ⊂ Sym^{2}E, und das obige Argument geht nach Einschränkung auf Ẽ := π^{−1}(Im πB) durch. □

Definition 6.8 (Kegelschnitte) Ein Kegelschnitt M^{+} ist der nichtleere Schnitt des positiven Kegels P^{+}E mit einem affinen Unterraum M ⊂ Sym^{2}E modelliert nach einem Vektorunterraum M_{0} ⊂ Sym^{2}E. Aus dem Hurwitz–Kriterium 6.2 folgt, daß alle Kegelschnitte semialgebraische Mengen sind. Ein Kegelschnitt heißt reduziert, wenn er ein positiv definites Element G enthält. Die Notation M^{+} bezeichne auch für allgemeinere Teilmengen M ⊂ Sym^{2}E den Schnitt mit P^{+}E.

Das folgende Lemma zeigt, daß man einen Kegelschnitt stets ohne Einschränkung als reduziert ansetzen kann, was im folgenden auch stillschweigend so gehandhabt werden wird:

Lemma 6.9 (Reduzierbarkeit von Kegelschnitten) Sei G ∈ M^{+} von maximalem Rang unter allen Elementen eines Kegelschnitts M^{+} modelliert nach M_{0}, und G̃ ein beliebiges Element von M^{+}, dann gilt Im G ⊃ Im G̃ und dual dazu Kern G ⊂ Kern G̃. Insbesondere liegt der Kegelschnitt M^{+} für jedes Element G von maximalem Rang in Sym^{2}Im G, ist also im wesentlichen ein Kegelschnitt in Sym^{2}Im G modelliert nach dem Vektorraum M_{0} ∩ Sym^{2}Im G. Als solcher enthält er per Definition das positiv definite Element G.

Beweis: Sind G und G̃ Elemente des Kegelschnitts M^{+}, so auch \frac{1}{2}(G + G̃). Die Charakterisierung von Kern und Bild in Korollar 6.4 zeigt, daß Kern \frac{1}{2}(G + G̃) = Kern G ∩ Kern G̃ und somit Im \frac{1}{2}(G + G̃) = Im G + Im G̃. Weil G aber maximalen Rang unter allen Elementen in M^{+} hat, kann dies nur gelten, falls Im G = Im G + Im G̃ ⊃ Im G̃ oder dual dazu Kern G = Kern G ∩ Kern G̃ ⊂ Kern G̃ gilt. □

Bemerkung 6.10 (Rand eines Kegelschnitts) Der geometrische Rand eines Kegelschnitts ist die Menge aller G̃ ∈ M^{+}, die nicht maximalen Rang haben. Für einen reduzierten Kegelschnitt stimmt dieser geometrische Rand mit dem topologischen Rand in M überein, denn ist G ein Element von maximalem Rang in einem reduzierten Kegelschnitt, so ist G zwangsläufig positiv definit. Dann enthält M^{+} aber bereits eine kleine Umgebung von G in M.

Lemma 6.11 (Kompakte Kegelschnitte) Ein Kegelschnitt M^{+} ist genau dann kompakt, wenn M_{0}^{+} = {0}.

Beweis: Nach Definition ist ein Kegelschnitt nicht leer, enthält also ein G ∈ M^{+}. Gibt es dann ein nichttriviales G_{0} ∈ M_{0}^{+}, so liegt die ganze Halbgerade G + ℝ_{+}G_{0} in M^{+}, und M^{+} ist nicht kompakt. Somit ist M_{0}^{+} = {0} sicherlich notwendig, damit M^{+} kompakt ist. Die Voraussetzung M_{0}^{+} = {0} gilt nun nicht nur für den Kegelschnitt M^{+}, sondern auch für alle Unterkegelschnitte M̃^{+}, gegeben durch affine Unterräume M̃ ⊂ M und modelliert nach M̃_{0} ⊂ M_{0}, sowie für deren Reduktionen. Ist etwa M̃ ⊂ M ein eindimensionaler affiner Unterraum und M̃^{+} nicht leer, so ist seine Reduktion entweder ein Punkt M̃^{+} = {G} oder der Schnitt eines eindimensionalen affinen Unterraums G + ℝG_{0}, G_{0} ≠ 0 mit dem positiven Kegel P^{+}Im G, wobei dann G_{0} ∈ Sym^{2}Im G ∩ M_{0} diagonalisierbar bezüglich G ist. Dieser Schnitt ist aber kompakt, denn wegen ±G_{0} ∉ M_{0}^{+} = {0} besitzt G_{0} mindestens je einen positiven und negativen Eigenwert.

Das ist nun der Induktionsanfang für eine Induktion nach der Dimension, die beweist, daß für alle affinen Unterräume M̃ ⊂ M und somit auch für M selber der Schnitt M̃^{+} kompakt ist. Dazu reicht es nach dem Satz von Heine–Borel zu zeigen, daß jede Linearform ψ ∈ Sym^{2}E^{∗} auf M̃^{+} nach oben beschränkt ist. Ohne Einschränkung ist ψ ∉ M̃_{0}^{⊥} nicht konstant auf M̃ und M̃^{+} reduziert, enthält also ein positiv definites Element G. Dann kann man im echten Unterkegelschnitt {G̃ ∈ M̃^{+} : ψ(G̃ − G) = 1} von M̃^{+} die absteigende Folge

A_{n} := {G̃ ∈ M̃^{+} : ψ(G̃ − G) = 1 und G + n(G̃ − G) ∈ M̃^{+}} n ∈ ℕ

abgeschlossener Mengen betrachten, die als Teilmengen eines nach Induktionsvoraussetzung kompakten, echten Unterkegelschnitts ebenfalls kompakt sind. Aufgrund der Voraussetzung M_{0}^{+} = {0} ist der Schnitt aller A_{n} offenbar leer, somit gilt für die absteigende Folge kompakter Mengen A_{n} mit leerem Schnitt nach dem Satz von Cantor bereits A_{n} = ∅ für n ≫ 0. Infolgedessen ist auch das lineare Funktional ψ auf M̃^{+} nach oben beschränkt, denn wenn es überhaupt ein Element G̃ ∈ M̃^{+} mit ψ(G̃ − G) ≥ n gibt, dann ist wegen der Konvexität von M̃^{+} auch A_{n} nicht leer. □

Der Induktionsschritt dieses Beweises hängt von der speziellen Struktur des positiven Kegels P^{+}E gar nicht ab. Tatsächlich gilt der Satz allgemeiner für jede abgeschlossene Halbgruppe eines Vektorraums, die auch unter Multiplikation mit ℝ^{+} abgeschlossen ist. Allerdings wird der Induktionsanfang dann komplizierter.

Nachdem die elementaren Eigenschaften der Kegelschnitte behandelt worden sind, ist es vielleicht an der Zeit, sich über den Sinn ihres Studiums Gedanken zu machen. Natürlich sind die Kegelschnitte geometrisch interessante Objekte, aber die möglichen Anwendungen auf die minimalen isometrischen Immersionen Riemannscher Mannigfaltigkeiten und ähnliche Probleme lassen die folgenden Fragen an einen vorgegebenen Kegelschnitt als vordringlich erscheinen:

1. Was ist der minimale Rang eines Randpunkts G dieses Kegelschnitts?

2. Welche Zahlen treten ferner als Rang eines Randpunkts G dieses Kegelschnitts auf?

Zumindest die erste Frage hat interessante Verbindungen mit der Topologie. Zum Beispiel hängt die Frage nach dem minimal möglichen Rang eines Randpunkts der weiter unten eingeführten Kegelschnitte der orthogonalen Multiplikationen mit der Zahl linear unabhängiger Vektorfelder auf Sphären zusammen. Dadurch kann man topologische Methoden benutzen, weitreichende Zwangsbedingungen an die auftretenden Ränge anzugeben. Es ist verwunderlich, daß im Vergleich dazu die affine Struktur keine Rolle zu spielen scheint. Die Konvexität zum Beispiel läßt sich nämlich als Existenz von ”Tunneln“ zwischen verschiedenen topologischen Objekten interpretieren.

Die Frage nach dem Rang von Randpunkten eines Kegelschnitts kann man auf verschiedene Weisen umformulieren, die je nach Situation günstiger sind. Es ist jedenfalls klar, daß sich in einem reduzierten Kegelschnitt mit positiv definitem Element G jede Richtung G_{0} in der Sphäre S_{M_{0}} der Richtungen in M_{0} bezüglich G diagonalisieren läßt. Zur Richtung G_{0} gehört genau dann ein Randpunkt von M^{+}, wenn G_{0} nicht positiv semidefinit ist, das heißt mindestens einen negativen Eigenwert besitzt. In diesem Fall ist der Korang des zugehörigen Randpunkts die Dimension des Eigenraums zum kleinsten Eigenwert.

Andererseits kann man einen reduzierten Kegelschnitt M vermöge eines positiv definiten Elements G auch als affinen Unterraum der Endomorphismen auf E^{∗} auffassen, der die Identität enthält. Dadurch wird die Determinante det_{E} zu einem wohldefinierten, inhomogenen Polynom auf M, mt dessen Hilfe man M^{+} als Abschluß der Zusammenhangskomponente der Identität in der Menge {det_{E} ≠ 0} charakterisieren kann. In diesem Bild ist der Korang eines Randpunkts die Ordnung, mit der det_{E} entlang der Geraden durch die Identität in diesem Punkt verschwindet.

Bemerkung 6.12 (Direkte Summen von Kegelschnitten) Wenn es zu einem Kegelschnitt M^{+} eine Zerlegung von E = E_{1} ⊕ E_{2} gibt, die orthogonal bezüglich allen Elementen G ∈ M ist, dann ist ein G ∈ M genau dann positiv, wenn seine Einschränkungen auf E_{1} und E_{2} jeweils positiv ist. In diesem Fall ist die Menge M^{+} der Durchschnitt des Urbilds zweier Kegelschnitte M_{1}^{+} und M_{2}^{+} in M, die durch die Projektion von M auf Sym^{2}E_{1} bzw. Sym^{2}E_{2} definiert werden.

Im günstigsten Fall zerfällt E = ℝe_{1} ⊕ … ⊕ ℝe_{dim E} sogar ganz in eindimensionale Unteräume, die orthogonal bezüglich aller G ∈ M sind, das heißt es gibt eine gemeinsame Orthogonalbasis {e_{ν}} aller G. In diesem Fall ist der Kegelschnitt M^{+} Schnitt affiner Halbräume, also ein konvexer Polyeder, und die Frage nach dem Rang von Randpunkten ist zwar einfach zu lösen, wenn man alle affinen Halbräume kennt, doch das Problem besteht eigentlich darin, einen Randpunkt minimalen Rangs zu finden, ohne alle affinen Halbräume bestimmt zu haben. Die einfachste Teilantwort auf die Frage nach dem minimal möglichen Rang eines Randpunktes ist jedenfalls eine a priori Abschätzung:

Bemerkung 6.13 (A priori Abschätzung) Sei M^{+} ein reduzierter Kegelschnitt in Sym^{2}E und U ⊂ E^{∗} ein Unterraum, auf dem alle symmetrischen Bilinearformen G̃ ∈ M unter Einschränkung dieselbe symmetrische, notwendigerweise positiv definite Bilinearform G ∈ Sym^{2}(E/U^{⊥}) definieren. Dann gilt für alle positiv semidefiniten Bilinearformen G̃ ∈ M^{+} die a priori Abschätzung Rang G̃ ≥ dim U.

Es gibt Kegelschnitte, die von selbst die Wahl eines geeigneten Unterraums U ⊂ E nahelegen, um zu einer a priori Abschätzung zu kommen. Ist nämlich der Kegelschnitt M^{+} definiert als Menge aller positiv semidefiniten Bilinearformen auf E, deren zugeordnete quadratische Form auf einer bestimmten Teilmenge von E^{∗} festgelegte Werte annimmt, dann induzieren alle G̃ ∈ M dieselbe positiv definite Bilinearform auf jedem linearen Unterraum U ⊂ E^{∗}, der ganz in dieser Teilmenge enthalten ist.

Im allgemeinen sind diese Abschätzungen nicht scharf. Ihre Bedeutung liegt denn auch darin, daß jede a priori Abschätzung eine Dimensionsreduktion des Problems nach sich zieht, allerdings um den Preis der affin linearen Struktur. Dazu wählt man ein Komplement K von U in E^{∗}, etwa als orthogonales Komplement bezüglich eines geeigneten, positiv definiten Elements aus M^{+}. Dann definiert jedes G̃ ∈ M einen Homomorphismus fG̃ : K ⟶ U durch:

G̃(fG̃k, u) = G(fG̃k, u) := G̃(k, u)

Das ist wohldefiniert, da jedes G̃ ∈ M nach Voraussetzung bei Einschränkung auf U die positiv definite Bilinearform G ∈ Sym^{2}(E/U^{⊥}) induziert. Insbesondere hängt fG̃ nur affin linear von G̃ ab. Nach Definition zerfällt E^{∗} dann für jedes G̃ in die G̃–orthogonale Summe E^{∗} = U ⊕ (id − fG̃)K. Infolgedessen ist G̃ ∈ M genau dann positiv semidefinit, wenn G̃ nur schon auf dem Unterraum (id − fG̃)K ≅ K oder äquivalent

QG̃(k_{1}, k_{2}) := G̃((id − fG̃)k_{1}, (id − fG̃)k_{2}) = G̃(k_{1}, k_{2}) − G(fG̃k_{1}, fG̃k_{2})

nur schon positiv semidefinit auf K ist. Offensichtlich hängt QG̃ dabei inhomogen quadratisch von G̃ ab, so daß die affine Struktur verloren geht. Diese Reduktionsmethode eignet sich besonders für explizite Rechnungen, wie zum Beispiel die Rechnungen zu Kapitel 8 zeigen.

6.2 Lokale Randstruktur von Kegelschnitten

Ein Kegelschnitt M ⊂ Sym^{2}E trägt einerseits nach dem Hurwitz–Kriterium die Struktur einer semialgebraischen Menge, andererseits natürlich die affine Struktur von M. Wenn die Dimension des zugrundeliegenden Raums E sehr groß im Vergleich zur Dimension von M ist, dann scheint es kaum noch zweckmäßig, die Randstruktur von M durch Betrachten der polynominalen Ungleichungen zu beschreiben. Ein besseres Verständnis der lokalen Randstruktur eines Kegelschnitts ist aber Voraussetzung dafür, die Menge der Randpunkte von minimalem Rang durch Eigenschaften zu charakterisieren, die leichter nachzuweisen sind.

Definition 6.14 (Abgeleitete Kegelschnitte) Sei G ∈ ∂M^{+} ein Randpunkt eines Kegelschnitts M. Dann ist G ein positiv definites Element des abgeleiteten Kegelschnitts M_{G}^{+} := M^{+} ∩ Sym^{2}Im G in Sym^{2}Im G modelliert nach (M_{G})_{0} := M_{0} ∩Sym^{2}Im G, der alle Randpunkte G̃ von M^{+} mit Im G̃ ⊂ Im G oder äquivalent Kern G̃ ⊃ Kern G enthält. Die Punkte von M_{G}^{+} heißen flache Deformationen von G. Ist der Schnitt (M_{G})_{0} = M_{0} ∩ Sym^{2}Im G leer, dann hat G keine flachen Deformationen und M_{G}^{+} enthält nur den Punkt G. Andernfalls besitzt der abgeleitete Kegelschnitt selbst wieder einen nichtleeren Rand in M_{G}, der aus den flachen Deformationen G̃ ∈ M_{G}^{+} ⊂ M^{+} von G besteht, für die Im G̃ ein echter Unterraum von Im G ist.

Natürlich folgt aus dieser Definition sofort, daß Randpunkte von minimalem Rang keine flachen Deformationen besitzen können. Diese Eigenschaft charakterisiert aber die Randpunkte minimalen Rangs keineswegs. Um eine bessere Vorstellung für die Form des Randes in einer Umgebung eines Randpunkts G zu bekommen, betrachte man zuerst die kanonische Projektion E ⟶ E/Im G mit Fortsetzung

π : Sym^{2}E ⟶ Sym^{2}(E/Im G)

die im wesentlichen die Einschränkung auf den Unterraum Kern G ⊂ E^{∗} ist. Weil G per definitionem im Kern von π liegt, bildet π den affinen Raum M auf den echten Unterraum πM = πM_{0} und den Kegelschnitt M^{+} auf den Kegelschnitt (πM)^{+} ab. Dieser projezierte Kegelschnitt enthält mindestens ein positiv definites Element, nämlich das Bild πG̃ eines positiv definiten Elements G̃ in M^{+}, und ist im einfachsten Fall einfach eine Halbgerade:

Satz 6.15 (Glatte Randpunkte) Ein Randpunkt G ∈ ∂M^{+} heißt glatt im Sinne der konvexen Geometrie [Ber, Seite 360ff], wenn es einen eindeutigen affinen Halbraum H = {α ≥ 0} in M mit α(G) = 0 gibt, der M^{+} ganz enthält. Genau dann ist ein Randpunkt G ∈ ∂M^{+} glatt in diesem Sinne, wenn πM = πM_{0} eindimensional ist.

Beweis: Jedes η ∈ E^{∗} definiert einen affinen Halbraum {G̃ ∈ M : G̃(η, η) ≥ 0}, der M^{+} enthält. Nach Definition liegt G genau dann auf dem Rand dieses Halbraums, wenn η aus dem Kern G kommt. Nun bestimmt ein affiner Halbraum {α ≥ 0} die affine Linearform α bis auf Multiplikation mit ℝ^{+}. Wenn es also nur einen affinen Halbraum von M gibt, der M^{+} enthält und für den G auf dem Rand liegt, dann gilt für zwei η_{1}, η_{2} ∈ Kern G und alle G̃, G̃^{+} ∈ M, für die etwa G̃^{+} positiv definit auf Kern G ist:

\frac{G̃(η_{1}, η_{1})}{G̃^{+}(η_{1}, η_{1})} = \frac{G̃(η_{2}, η_{2})}{G̃^{+}(η_{2}, η_{2})}

Alle symmetrischen Bilinearformen G̃ ∈ M induzieren somit bei Einschränkung auf Kern G ein Vielfaches der Einschränkung von G̃^{+} auf Kern G und πM ist eindimensional. Ist umgekehrt der Raum πM eindimensional, dann ist das Urbild des positiven Kegels P^{+}(E/Im G) in M ein affiner Halbraum, der M^{+} enthält, und G liegt auf dessen Rand. Nach Definition projeziert jedes G̃ ∈ M im Inneren dieses Halbraums bei Einschränkung auf Kern G auf eine positiv definite Bilinearform. Aufgrund von Lemma 6.7 gibt es dann ein t > 0, für das (1 − t)G + tG̃ positiv definit ist. Deshalb ist der zuvor konstruierte Halbraum der einzige, der M^{+} und somit auch (1 − t)G + tG̃ enthält und für den G auf dem Rand liegt. □

Bemerkung 6.16 (Differenzierbare Ränder) Nach Definition ist klar, daß alle Randpunkte G ∈ ∂M^{+} vom Korang 1 glatte Randpunkte von M^{+} sind, denn für sie ist schon Sym^{2}(E/Im G) eindimensional. Diese Punkte sind auch genau die Randpunkte von M^{+}, in denen der Gradient der Determinante nicht verschwindet. Also ist der Rand von M^{+} dort im üblichen Sinne glatt. Im allgemeinen kann es aber auch Randpunkte auf ∂M^{+} vom höheren Korang geben, die im üblichen Sinne und somit im Sinne der konvexen Geometrie glatt sind. Die Umkehrung dazu gilt im allgemeinen nicht, es sei denn, der Randpunkt hat Rang oder Korang 1. Als Beispiel dafür betrachte man den folgenden Randpunkt eines Kegelschnitts:

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M = \{( \begin{matrix}1 & A^{T} \\ A & a \end{matrix} ) : A ∈ M_{r,s}ℝ und a ∈ ℝ\} ⊂ Sym^{2}ℝ^{r+s}

In Verallgemeinerung der a priori Abschätzung kann man mit Hilfe eines glatten Randpunkts G eine bessere Abschätzung für den minimalen Rang eines beliebigen Randpunkts angeben, die hier ohne den trivialen Beweis nur deswegen angeführt wird, weil sie die Idee nahelegt, daß es möglich ist von der lokalen auf die globale Randstruktur zu schließen:

Bemerkung 6.17 (Randpunktabschätzung) Sei G ein glatter Randpunkt eines Kegelschnitts M, dann ist ein Randpunkt G̃ eine flache Deformation von G oder erfüllt die Abschätzung Rang G̃ ≥ Korang G.

Ganz allgemein kann man indes Lemma 6.7 für alle Randpunkte G wie folgt umformulieren:

Satz 6.18 (Lokale Randstruktur von Kegelschnitten) Für einen beliebigen Randpunkt G eines Kegelschnitts M^{+} induziert die kanonische Projektion π : Sym^{2}E ⟶ Sym^{2}(E/Im G) eine Parametrisierung von M^{+} als Familie von Kegelschnitten über einer konvexen Teilmenge π_{G}M von (πM)^{+} mit der Eigenschaft, daß für jede positiv definite Bilinearform G̃ ∈ πM, G̃ > 0, ein t > 0 existiert mit tG̃ ∈ π_{G}M. Die Kegelschnitte in dieser Familie über Punkten G̃ ∈ π_{G}M sind Kegelschnitte MG̃ in Sym^{2}(π^{−1}Im G̃) modelliert nach M_{0} ∩ (π^{−1}Im G̃) · Im G. Insbesondere ist der Kegelschnitt über dem ausgezeichneten Punkt 0 ∈ (πM)^{+} der abgeleitete Kegelschnitt M_{G} von G.

Die Leitidee dieses Studiums der lokalen Randstruktur ist nun die Tatsache, daß man von der lokalen auf einen gewissen ”sichtbaren Teil“ der globalen Randstruktur schließen kann. Dieser sichtbare Teil umfaßt für einen Randpunkt G ∈ M^{+} gerade die Menge aller Randpunkte G̃ ∈ M^{+}, für die G + G̃ nicht positiv definit ist, so daß die Verbindungsstrecke von G zu G̃ ganz im Rand von M^{+} verläuft. Über die Randstruktur außerhalb dieses Bereichs läßt die lokale Randstruktur in G außer einer Rangabschätzung keine weiteren Schlüsse zu:

G + G̃ > 0  ⟹  Rang G̃ ≥ Korang G

Ist der Kegelschnitt M^{+} zum Beispiel ein konvexer Polyeder, so ist der in G sichtbare Bereich gerade die Vereinigung aller Seitenpolyeder, die den Randpunkt G enthalten. Allgemeiner ist der sichtbare Bereich die Vereinigung aller Kegelschnitte der zu G gehörenden Familie über der Parametermenge π_{G}M ⊂ (πM)^{+} mit nicht positiv definiten Basispunkten, ist also das Urbild des Randes des Kegelschnitts (πM)^{+} in M^{+}.

Besonders interessant sind nun Kegelschnitte, bei denen man von geeigneten Randpunkten G alle Randpunkte mit gleichem oder noch kleinerem Rang sehen kann, denn bei ihnen entscheidet sich die Antwort auf die Frage nach den Randpunkten minimalen Rangs in der lokalen Randstruktur von G. Diese Kegelschnitte werden dadurch charakterisiert, daß sie zumindest einen Randpunkt G besitzen, dessen Rang kleiner als sein Korang ist, das heißt Rang G < \frac{1}{2}dim E. Beispiele für solche Kegelschnitte sind die Modulräume der minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S^{3}, die im nächsten Kapitel beschrieben werden, und die weiter unten eingeführten Modulräume der orthogonalen Multiplikationen. Allerdings ist selbst die lokale Randstruktur in diesen Beispielen so kompliziert, daß eine Beschreibung zur Zeit unmöglich erscheint.

6.3 Andere Beispiele für Kegelschnitte

Neben den minimalen isometrischen Immersionen gibt es auch andere, geometrische Äquivalenzprobleme, bei denen sich die Modulräume als Kegelschnitte darstellen lassen. Tatsächlich ist dies ein völlig allgemeines Prinzip, sobald eine Äquivalenzrelation von Abbildungen durch Isometrien euklidischer Vektorräume definiert wird, kann man versuchen, den Modulraum als Kegelschnitt zu konstruieren. Die einfachsten Beispiele für diese Vorgehensweise sind die Modulräume der Punktkonfigurationen:

Definition 6.19 (Konfigurationen von k Punkten) Eine Konfiguration von k numerierten Punkten auf der Einheitssphäre S_{W} eines euklidischen Vektorraums W ist eine Abbildung ϕ : {1, …, k} ⟶ S_{W}. Zwei Konfigurationen ϕ und ϕ̃ heißen äquivalent, geschrieben ϕ ∼ ϕ̃, wenn es eine Isometrie F : Spann{ϕ} ⟶ Spann{ϕ̃} gibt mit ϕ̃ = F ∘ ϕ. Die symmetrische Gruppe operiert in natürlicher Weise auf den Konfigurationen bzw. deren Äquivalenzklassen, ihre Orbiten sind die Konfigurationen von k unnumerierten Punkten.

Nun definiert jede Konfiguration ϕ von k numerierten Punkten durch lineare Fortsetzung eine Abbildung ϕ : ℝ^{k} ⟶ W bei der ϕ(ν) das Bild des ν–ten Standardbasisvektors e_{ν} des ℝ^{k} ist. Damit kann man das Argument aus Kapitel 2 wörtlich übertragen, um den Modulraum aller Konfigurationen von k numerierten Punkten zu konstruieren. Die zu einer Konfiguration ϕ : {1, …, k} ⟶ S_{W} ⊂ W duale Abbildung ϕ^{∗} bildet dabei die Metrik von W auf die Gramsche Matrix G = (⟨ϕ(ν), ϕ(μ)⟩_{W}) ∈ Sym^{2}ℝ^{∗k} der Konfiguration ab, die der Modul der Konfiguration wird:

Satz 6.20 (Modulraum der Punktkonfigurationen) Der Modulraum aller Konfigurationen von k numerierten Punkten ist der Kegelschnitt der symmetrischen, positiv semidefiniten k × k–Matrizen G ∈ Sym^{2}ℝ^{∗k} über ℝ, die nur Einsen auf der Diagonalen stehen haben. Er ist modelliert nach dem Unterraum M_{0} ⊂ Sym^{2}ℝ^{∗k} aller symmetrischen Matrizen mit verschwindender Diagonale, also insbesondere kompakt nach Lemma 6.11. Die zu einer positiv semidefiniten Matrix G ∈ Sym^{2}ℝ^{∗k} gehörende Konfiguration ϕ wird dabei durch die Abbildung ϕ : {1, …, k} ⟶ ℝ^{k}/Kern G repräsentiert, die ν auf die Klasse e_{ν} + Kern G des ν–ten Standardbasisvektors e_{ν} in ℝ^{k}/Kern G schickt.

Man beachte, daß alle Kegelschnitte zu Punktkonfigurationen reduziert sind und genau 2^{k−1} Randpunkte vom Rang 1 besitzen, die zu den Äquivalenzklassen von Konfigurationen gehören, bei denen alle Bildpunkte nur auf einer Geraden bzw. auf zwei gegenüberliegenden Punkten der Einheitssphäre liegen. Daneben treten alle Zahlen 1, …, k − 1 als Rang von Randpunkten dieser Kegelschnitte auf. Sie gehören zu Äquivalenzklassen von Konfigurationen ϕ von k numerierten Punkten, bei denen das Bild {ϕ(1), …, ϕ(k)} ⊂ W nur einen Unterraum der entsprechenden Dimension aufspannt.

Eine weitere geometrisch interessante Klasse von Kegelschnitten sind die Modulräume der orthogonalen Multiplikationen. Der Parameterraum M_{0} der Deformationen ist dabei sehr viel einfacher als die Parameterräume M_{0,k}^{(1)} im Falle der minimale isometrischen Immersionen, und trotzdem kann die Frage nach dem minimal möglichen Rang eines Randpunkts bis auf Fälle kleiner Dimensionen bis heute nicht beantwortet werden. Allerdings zeigt dieses Beispiel einige Verbindungen dieser Fragen mit der Topologie auf, man vergleiche [W] und besonders [La], wo eine Tabelle der bekannten minimalen Ränge für Randpunkte aufgeführt ist:

Definition 6.21 (Orthogonale Multiplikationen [E&R]) Seien V und W euklidische Vektorräume. Eine orthogonale Multiplikation von V mit W ist eine bilineare Abbildung ϕ : V × W ⟶ Z in einen euklidischen Vektorraum Z mit der Eigenschaft |ϕ(v, w)| = |v|·|w| für alle v ∈ V und w ∈ W. Zwei orthogonale Multiplikationen ϕ : V × W ⟶ Z und ϕ̃: V × W ⟶ Z̃ heißen äquivalent, geschrieben ϕ ∼ ϕ̃, wenn es eine Isometrie F : Spann{ϕ} ⟶ Spann{ϕ̃} gibt mit ϕ̃ = F ∘ ϕ.

Genau wie die Modulräume der Punktkonfigurationen kann auch der Modulraum M der orthogonalen Multiplikationen von V mit W nach dem Vorbild der Modulräume M_{λ} von do Carmo–Wallach als Kegelschnitt konstruiert werden. Dazu muß man lediglich das Lemma 2.1 von Takahashi durch die Tatsache ersetzen, daß jede bilineare Abbildung eine lineare Abbildung V ⊗ W ⟶ Z des Tensorprodukts und somit eine kanonische Abbildung ϕ^{∗} : Z^{∗} ⟶ V^{∗} ⊗ W^{∗} induziert. Danach kann man den Modulraum M sofort als Schnitt des positiven Kegels P^{+}(V^{∗} ⊗ W^{∗}) mit einem affinen Unterraum konstruieren, der mindestens den Modul ⟨ , ⟩_{V} ⊗⟨ , ⟩_{W} der orthogonalen Multiplikation V ×W ⟶ V ⊗W, (v, w) ⟼ v⊗w enthält. Folglich ist M nicht leer und ein reduzierter Kegelschnitt.

Nun überzeugt man sich leicht davon, daß der Parameterraum M_{0} der Deformationen gerade der Annihilator des Unterraums von Sym^{2}(V ⊗ W) ist, der von den zerlegbaren Quadraten (v ⊗w)^{2} mit v ∈ V und w ∈ W aufgespannt wird. Unter der bekannten Zerlegung Sym^{2}(V ⊗W) ≅ Sym^{2}V ⊗Sym^{2}W ⊕Λ^{2}V ⊗Λ^{2}W entsprechen diese den Elementen v^{2} ⊗w^{2}, spannen also genau den Unterraum Sym^{2}V ⊗ Sym^{2}W auf. In der dualen Zerlegung

Sym^{2}(V^{∗} ⊗ W^{∗}) ≅ Sym^{2}V^{∗} ⊗ Sym^{2}W^{∗} ⊕ Λ^{2}V^{∗} ⊗ Λ^{2}W^{∗}

von Sym^{2}(V^{∗} ⊗ W^{∗}) ist M_{0} deshalb der Raum Λ^{2}V^{∗} ⊗ Λ^{2}W^{∗}. Man beachte, daß nur die Elemente des Unterraums Sym^{2}V^{∗} ⊗Sym^{2}W^{∗} eine Spur bezüglich der Metrik ⟨ , ⟩_{V} ⊗⟨ , ⟩_{W} haben können, alle G_{0} ∈ M_{0} sind somit spurfrei und der Modulraum M kompakt nach Lemma 6.11.

Die gewählte Äquivalenzrelation auf den orthogonalen Multiplikationen erlaubt also die Konstruktion eines einfachen, geometrischen Modulraums M. Dieser ist aber nur ein grober Modulraum für den im allgemeinen betrachteten, stärkeren Äquivalenzbegriff, der neben den Isometrien in Z auch Isometrien in V und W zuläßt. Der feine Modulraum für diesen stärkeren Äquivalenzbegriff ist einfach der Quotient des groben Modulraums M unter der natürlichen Operation von O V × O W.

Offensichtlich gilt nach Definition 6.21 für jede orthogonale Multiplikation V × W ⟶ Z die Abschätzung dim Z ≥ max{dim V, dim W }. Dies äußert sich als a priori Abschätzung Rang G ≥ max{dim V, dim W } für G ∈ M im Sinne der Bemerkung 6.13, denn jedes v ∈ V definiert einen linearen Unterraum U = ℝv⊗W zerlegbarer Elemente in V ⊗W, auf dem alle G ∈ M dieselbe Metrik induzieren. Wenn es tatsächlich einen Randpunkt G ∈ M gibt, der diese Abschätzung Rang G = dim W ≥ dim V scharf erfüllt, dann ist W ⊕ (V ⊗ W/Kern G) in kanonischer Weise ein ℤ_{2}–graduierter Cliffordmodul der Cliffordalgebra von V.

Auf den ersten Blick scheinen die Beispielklassen der Modulräume minimaler isometrischer Immersionen und der orthogonalen Multiplikationen nicht sehr viel miteinander zu tun zu haben, aber es stellt sich heraus, daß der Modulraum der orthogonalen Multiplikationen U × U ⟶ Z ein Unterkegelschnitt des Modulraums M_{2}^{(0)} für den Vektorraum V = U ⊕ U ist. Das ist ein Beispiel dafür, daß sich gewisse Koinzidenzen zwischen Kegelschnitten finden lassen, die zu unterschiedlichen Problemen gehören. Zunächst wird dabei das Tensorprodukt U^{∗} ⊗ U^{∗} von U^{∗} mit sich selbst in den Raum H^{2}(U^{∗} ⊕ U^{∗}) eingebettet, indem man α ⊗ β auf α^{L}·β^{R} schickt, wobei α^{L} und β^{R} für die Linearformen α⊕0 bzw. 0⊕β aus U^{∗}⊕U^{∗} geschrieben sei. Unter kanonischer Fortsetzung ermöglicht dies die Konstruktion einer Einbettung

Λ^{2}U^{∗} ⊗ Λ^{2}U^{∗} ⟶ Sym^{2}(U^{∗} ⊗ U^{∗}) ⟶  Sym^{2}H^{2}(U^{∗} ⊕ U^{∗})
α_{1} ∧ α_{2} ⊗ β_{1} ∧ β_{2}  ⟼  (α_{1}^{L} · β_{1}^{R})(α_{2}^{L} · β_{2}^{R}) − (α_{2}^{L} · β_{1}^{R})(α_{1}^{L} · β_{2}^{R})

deren Bild offensichtlich im Kern der Multiplikation nach Sym^{4}(U^{∗} ⊕ U^{∗}) liegt. Eben diese Multiplikation schickt die von der Metrik g auf U induzierte Standardmetrik auf U ⊗ U auf das Produkt

\frac{1}{2} ∑_{ONB} ∑_{ONB}(α_{ν} ⊗ α_{μ})^{2} ⟼^{m} ( ∑_{ONB} α_{ν}^{L}^{2}) · ( ∑_{ONB} α_{μ}^{R}^{2}) = 4 g^{L} · g^{R}

der beiden Kopien g^{L} und g^{R} von g als Metriken der beiden Unterräume U ⊕ 0 und 0 ⊕ U. In dieser Rechnung faßt man Sym^{2}H^{2}(U^{∗} ⊕U^{∗}) als Unterraum von H^{2}(U^{∗} ⊕U^{∗})⊗H^{2}(U^{∗} ⊕U^{∗}) auf, was für das Verschwinden des Faktors \frac{1}{2} verantwortlich ist. Bemerkenswerterweise stimmt nun das iterierte Plückerdifferential \frac{1}{2}Pℓ^{∗2} in diesem speziellen Fall mit der Multiplikation m : Sym^{2}(U^{∗} ⊕ U^{∗}) ⊗ Sym^{2}(U^{∗} ⊕ U^{∗}) ⟶ Sym^{4}(U^{∗} ⊕ U^{∗}) überein, und man erhält:

Bemerkung 6.22 (Die Hopf–Whitehead–Konstruktion [W], [E&R]) Der Modulraum M_{2}^{(0)} für den euklidischen Vektorraum V := U ⊕ U ist nach Definition die Menge aller positiv semidefiniten Urbilder von \frac{n−1}{λ_{2}}(2g^{L} + 2g^{R})^{2} unter der Multiplikation nach Sym^{4}(U^{∗} ⊕ U^{∗}). Der Vorfaktor \frac{n−1}{λ_{2}} = \frac{n−1}{2n} ist dabei gerade das Quadrat des Radius der Zielsphäre der zum zweiten Eigenwert assoziierten minimalen isometrischen Immersionen. Insbesondere definiert

Sym^{2}(U^{∗} ⊗ U^{∗}) ⟶ Sym^{2}H^{2}(U^{∗} ⊕ U^{∗}), G ⟼ 2\frac{n − 1}{n}(G + (g^{L} − g^{R}) ⊗ (g^{L} − g^{R}))

eine affin lineare Einbettung des Modulraums M der orthogonalen Multiplikationen der Form U × U ⟶ Z in den Modulraum M_{2}^{(0)} der Eigenabbildung der Einheitssphäre S_{U⊕U} zum zweiten Eigenwert, die den Rang jedes Punktes gerade um 1 erhöht.

Diesen Gedanken fortführend kann man Sym^{2}H^{2}V^{∗} ganz in SO V –Darstellungen zerlegen

Sym^{2}H^{2}V^{∗} ≅ ℝ ⊕ H^{2}V^{∗} ⊕ H^{4}V^{∗} ⊕ Weyl V^{∗}

und dann die Kegelschnitte durch die Standardmetrik von H^{2}V betrachten, die nach den verschiedenen Summanden modelliert sind. Der Modulraum M_{2}^{(0)} gehört in diesem Sinne zum Summanden Weyl V^{∗} der Weylschen Schnittkrümmungstensoren auf V. Hingegen beherrscht der Kegelschnitt modelliert nach H^{4}V^{∗} das Kapitel 8. Insbesondere wird darin gezeigt, daß alle Randpunkte von dem minimalen Rang dim V −1 unter SO V zueinander konjugiert sind. In der Umgebung eines solchen Randpunkts werden alle für Elemente dieses Kegelschnitts möglichen Ränge dim V − 1, dim V, …, dim H^{2}V realisiert.

64

Die Modulräume M_{k}^{(d)} der S^{3}

Dieses Kapitel beschreibt die innere Struktur der Modulräume der minimalen isometrischen Immersionen von do Carmo–Wallach im speziellen Fall der dreidimensionalen Sphäre S^{3}. Dieser Spezialfall ist deswegen besonders interessant, weil die Darstellungstheorie der SO_{4}ℝ ≅ SU_{2} × SU_{2}/ℤ_{2} einfacher und leichter zugänglich ist als die Darstellungstheorie der SO_{n}ℝ für größere n > 4. Deshalb läßt sich die Argumentation aus den Kapiteln 4 und 5 leicht im Kontext der Darstellungstheorie der SO_{4}ℝ interpretieren, wodurch man zumindest eine grobe Landkarte des Modulraums der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} bekommt. Zudem ist die S^{3} selbst eine kompakte Liegruppe, für die die Konstruktion von Mashimo interessante minimale isometrische Immersionen liefert.

In der Tat liegen die Moduli der minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo in einem Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo} modelliert nach einem Unterraum M0,k^{Mashimo} ⊂ M_{0,k}, der aufgefaßt als Raum von Endomorphismen auf H^{k}ℝ^{4} seinerseits in zwei kommutierende Unterräume M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} zerfällt. Dadurch kann man die minimalen isometrischen Immersionen in diesem Unterkegelschnitt recht gut beschreiben, während es ein offenes Problem ist, die gewonnenen Erkenntnisse auf den ganzen Kegelschnitt zu übertragen. Nur im Fall der zum vierten Eigenwert assoziierten minimalen isometrischen Immersionen kommt man auf diesem direkten Weg zum Ziel, weil in diesem Fall M_{4}^{(1)} = M4^{Mashimo} gilt.

7.1 Realisierungen der Gruppen SO_{3}ℝ und SO_{4}ℝ

Unter den orthogonalen Gruppen ist die SO_{4}ℝ eine merkwürdige Ausnahme, denn sie ist keine einfache Liegruppe, sondern wird vom direkten Produkt SU_{2} × SU_{2} zweifach überlagert. Weil diese Tatsache die entscheidende Schlüsselstellung im Studium der minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S^{3} einnimmt, wird dieser Isomorphismus in diesem Abschnitt ausführlich dargestellt. Insbesondere wird dabei ein Faden aus dem Beweis des Lemmas 5.4 von do Carmo–Wallach wieder aufgenommen. Dabei ergibt sich ein wichtiges reelles Analogon des Lemmas A.5 aus Anhang A, das eine Normalform für harmonische Polynome über einem dreidimensionalen reellen Vektorraum bestimmt.

Sei S ein zweidimensionaler, komplexer Vektorraum mit einer fest gewählten, symplektischen Form ω und einer verträglichen, positiven quaternionischen Struktur J, das heißt einer konjugiert–linearen Abbildung J : S ⟶ S mit J^{2} = −1, so daß

ω(Js_{1}, Js_{2}) = \overline{ω(s_{1}, s_{2})} und ω(s, Js) > 0

für alle s_{1}, s_{2} und s ≠ 0 aus S. Dann ist S die definierende Darstellung der Gruppe SU_{2}S aller komplex–linearen, symplektischen Automorphismen von S, die mit J vertauschen. Eine Realisierung dieser definierenden Darstellung bekommt man, wenn man für S den Raum ℍ der Quaternionen mit komplexer und quaternionischer Struktur Iz = zi bzw. Jz = zj wählt. Um die symplektische Struktur anzugeben, benötigt man die kanonische Projektion von ℍ auf ℂ:

[ ·]_{ℂ} : ℍ ⟶ ℂ ⊂ ℍ, z ⟼ [z]_{ℂ} := \frac{1}{2}(z − izi)

Sie ist ℂ–linear unter Multiplikation sowohl von links als auch von rechts und besitzt die Eigenschaften \overline{[z]}_{ℂ} = [\overline{z}]_{ℂ} = [−jzj]_{ℂ}. Eine geeignete symplektische Form ist deshalb einfach:

ω(z_{1}, z_{2}) := [j\overline{z}_{2}z_{1}]_{ℂ}

Ein komplex–linearer Automorphismus von ℍ, der mit der quaternionischen Struktur J vertauscht, ist offenbar ein Element aus GL_{1}ℍ und somit die Linksmultiplikation mit einem Quaternion. Insbesondere sieht man, daß die Gruppe SU_{2}S in dieser Realisierung gerade die Gruppe S^{3} ⊂ ℍ der Einheitsquaternionen ist.

Im Beweis des Lemmas 5.4 von do Carmo–Wallach interessierte besonders die zweite symmetrische Potenz Sym^{2}S von S. Sie trägt die kanonischen Fortsetzungen von ω und J und damit eine invariante, symmetrische Bilinearform und eine invariante, reelle Struktur. Die Positivität von J auf S gewährleistet, daß die symmetrische Bilinearform ein Skalarprodukt auf dem reellen Unterraum V ⊂ Sym^{2}S ist. Zugleich ist der reelle Unterraum V von Sym^{2}S die Liealgebra von SU_{2}S, weil man ihn vermöge der symplektischen Form als Raum der infinitesimalen symplektischen Transformationen von S auffassen kann, die mit J kommutieren. Nach Lemma A.5 ist nun die quadratische Abbildung S ⟶ V, s ⟼ is · Js surjektiv und induziert eine SU_{2}S–äquivariante Identifikation

ℙS ≅ ℂP^{1} ⟶^{≅} S_{V} , [s] ⟼ \frac{is · Js}{ω(s, Js)}

unter der die quaternionische Struktur [s] ⟼ [Js] zur Antipodenabbildung wird. Insbesondere entspricht die Operation der Gruppe PSU_{2}S auf der projektiven Geraden ℙS gerade der Operation der Gruppe SO V auf der Sphäre S_{V}.

Diese SU_{2}S–äquivariante Identifikation von ℙS mit S_{V} erlaubt die Konstruktion eines reellen Analogons von Lemma A.5. Weil der Körper ℂ algebraisch abgeschlossen ist, wird darin nämlich bewiesen, daß jedes homogene Polynom vom Grad k über einem zweidimensionalen Vektorraum über ℂ vollständig in Linearfaktoren zerfällt. Weil diese Linearfaktoren eindeutig bis auf Permutation und Multiplikation mit Skalaren sind, induziert dies insbesondere eine stetige, bijektive Abbildung

(\underbrace{ℂP^{1} × … × ℂP^{1}}_{k})/S_{k} ⟶ ℂP^{k}

die folglich ein Homöomorphismus sein muß. Entsprechend induziert das reelle Analogon zu Lemma A.5 den Homöomorphismus:

(\underbrace{S^{2} × … × S^{2}}_{k})/S_{k}⋉ℤ_{2}^{k−1} ⟶ S^{2k}

Satz 7.1 (Zerlegbarkeit harmonischer Polynome über V^{∗}) Jedes homogene, harmonische Polynom ψ ∈ H^{k}V über einem dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum V^{∗} hat eine Darstellung

ψ = (v_{1} · . . . · v_{k})_{0}

als Projektion eines zerfallenden Polynoms v_{1} · . . . · v_{k} aus Sym^{k}V auf H^{k}V. Die v_{ν} ∈ V sind dabei eindeutig bis auf Permutation und Multiplikation mit Skalaren.

Beweis: Im Beweis des Lemmas 5.4 wurde auch gezeigt, daß Sym^{2k}S ⊂ Sym^{k}Sym^{2}S von den harmonischen Polynomen \frac{1}{k!}(\frac{1}{2}s^{2})^{k}, s ∈ S, aufgespannt wird und somit mit H^{k}Sym^{2}S übereinstimmt. Nach Lemma A.5 kann man nun jedes homogene Polynom ψ ∈ Sym^{2k}S in Linearfaktoren zerlegen:

ψ = c s_{1} · . . . · s_{2k}

Besonders interessieren natürlich die reellen Polynome ψ ∈ H^{k}V ⊂ Sym^{2k}S, die auf V reelle Werte annehmen. Sie sind gerade die reellen Elemente bezüglich der kanonischen Fortsetzung der quaternionischen Struktur J, das heißt:

Jψ = ψ = \overline{c} (Js_{1}) · . . . · (Js_{2k})

Weil die Linearfaktoren s_{ν} eindeutig bis auf Permutation und Multiplikation mit Skalaren sind, induziert J also für jedes reelle Polynom ψ eine Involution auf der Menge der Punkte {[s_{1}], …, [s_{2k}]} ⊂ ℙS mit Multiplizitäten, die unter der Identifikation ℙS ≅ S_{V} einfach die Antipodenabbildung wird. Insofern erhält man nach geeignetem Reskalieren und Umnummerieren der s_{ν} eine Darstellung von ψ der Form:

ψ = (is_{1} · Js_{1}) · . . . · (is_{k} · Js_{k})

Damit ist man schon fast am Ziel, denn wegen V = {is · Js : s ∈ S} ⊂ Sym^{2}S ist ein Polynom dieser Form offensichtlich im Bild der Projektion Sym^{k}V ⟶ Sym^{2k}S auf den reellen Unterraum von Sym^{2k}S. Nach dem Lemma von Schur ist diese Projektion eindeutig bis auf einen notwendigerweise reellen Skalar, weil die Darstellung H^{k}V in der Zerlegung 4.5 von Sym^{k}V nur einmal auftritt. Infolgedessen kann man ψ tatsächlich als (v_{1} · . . . · v_{k})_{0} schreiben, wenn man die Vektoren v_{ν} = is_{ν} · Js_{ν} wählt. Weil die s_{ν} eindeutig sind bis auf Permutation und Multiplikation mit Skalaren, gilt dasselbe auch für die v_{ν}. □

Die so definierten Faktoren v_{ν} ∈ V eines harmonischen Polynoms ψ ∈ H^{k}V sind nach Normierung nichts anderes als eine Konfiguration von k numerierten Punkten in der Einheitssphäre S_{V} von V, denen man einen Modul im zugehörigen Modulraum aus Satz 6.20 zuordnen kann. Nach Konstruktion induziert die Operation der O V auf den harmonischen Polynomen die natürliche Operation der O V auf den zugehörigen Punktkonfigurationen, so daß deren Modul eine Invariante des Polynoms unter O V ist:

Korollar 7.2 (Invarianten für O_{3}ℝ und SO_{3}ℝ) Die Menge der Moduli von Konfigurationen von k numerierten Punkten vom Rang höchstens 3 ist ein grobes Repräsentantensystem für die Orbiten der Operation der O_{3}ℝ auf der Sphäre S_{H^{k}ℝ^{3}} der Richtungen in H^{k}ℝ^{3}. Ein echtes Repräsentantensystem bekommt man dadurch, daß man die natürliche Operation des semidirekten Produkts S_{k}⋉ℤ_{2}^{k−1} herausdividiert, wobei die symmetrische Gruppe S_{k} auf ℤ_{2}^{k−1} ≅ ℤ_{2}^{k}/ℤ_{2} durch Permutationen operiert. Bei geradem k sind die Orbiten von O_{3}ℝ wegen −1 ∈ O_{3}ℝ auch schon Orbiten von SO_{3}ℝ, während sie unter Umständen für ungerades k in zwei Orbiten der SO_{3}ℝ zerfallen.

Insbesondere bilden die Matrixkoeffizienten der Moduli zusammen mit der Norm ein vollständiges Invariantensystem für die Orbiten der O_{3}ℝ in der Darstellung auf den harmonischen Polynomen. Es sei aber darauf hingewiesen, daß die harmonischen Polynome (v_{1} · . . . · v_{k})_{0} mit Einheitsvektoren {v_{ν}} sehr unterschiedliche Norm haben können. Man bekommt auf diese Weise also wirklich nur Repräsentanten in jeder Richtung aus S_{H^{k}ℝ^{3}}, nicht aus der Einheitssphäre selbst.

Ähnlich nützlich erweist sich die Kenntnis elementarer Eigenschaften der Gruppe SU_{2}S auch bei Darstellungen der SO_{4}ℝ. Dazu nimmt man sich zwei Kopien SU_{2}L und SU_{2}R der SU_{2}S mit definierenden Darstellungen L und R her, deren Tensorprodukt L ⊗ R dann ebenfalls eine reelle Struktur und eine SU_{2}L × SU_{2}R–invariante, symmetrische Bilinearform trägt, die auf dem reellen Unterraum V ⊂ L ⊗ R positiv definit ist. Eine spezifische Realisierung dieser Idee im Geist der obigen Identifizierung von S ≅ L ≅ R mit ℍ ist die ℂ–lineare, reelle Isometrie

ℍ ⊗_{ℝ} ℂ ⟶^{≅} ℍ ⊗ ℍ , z ⊗_{ℝ} λ ⟼ \frac{1}{\sqrt{2}}(z ⊗ jλ − zj ⊗ λ) = \frac{1}{\sqrt{2}}(λ ⊗ \overline{z}j − jλ ⊗ \overline{z})

deren Umkehrabbildung z_{1} ⊗ z_{2} nach \frac{1}{\sqrt{2}}(z_{1}j\overline{z}_{2} ⊗_{ℝ} 1 − z_{1}k\overline{z}_{2} ⊗_{ℝ} i) schickt. Wenn man diesen Isomorphismus einmal nachgerechnet hat, weiß man vielleicht den folgenden, abstrakten Ansatz zu schätzen. Allerdings sieht man nur in diesem Bild sofort, daß die Abbildung SU_{2}L×SU_{2}R ⟶ SO V surjektiv ist mit Kern ℤ_{2}. Besonders störend an dieser spezifischen Realisierung von L⊗R als ℍ⊗ℍ ist letztendlich die Wahl eines ausgezeichneten Basispunkts 1 ∈ ℍ, obwohl die Sphäre S_{V} keinen solchen ausgezeichneten Punkt besitzt. Stattdessen kann man S_{V} selbst als Menge der symplektischen Isomorphismen von L und R charakterisieren, die auch die beiden quaternionischen Strukturen miteinander verschränken. Jedes z ∈ S_{V} definiert nämlich Homomorphismen z : L ⟶ R, s_{L} ⟼ s_{L}^{z} und z : R ⟶ L, s_{R} ⟼ s_{R}^{z} vermöge:

ω(s_{L}^{z}, s_{R}) := ω(s_{L}, s_{R}^{z}) := \sqrt{2}(ω ⊗ ω)( z, s_{L} ⊗ s_{R})

In der obigen, spezifischen Realisierung sind z : L ⟶ R und z : R ⟶ L einfach die Linksmultiplikation mit \overline{z} bzw. z. Somit definiert z tatsächlich zueinander inverse, symplektische Isomorphismen, die die zwei quaternionischen Strukturen J miteinander verschränken, was sich auch ohne Rückgriff auf die spezifische Realisierung ℍ ⊗ ℍ nachrechnen läßt. Diese Konstruktion läßt nun die Gruppen SU_{2}L und SU_{2}R auch noch durch Verknüpfung auf S_{V} operieren, und diese Operation ist einfach transitiv nach Definition. Insofern gilt dies auch für die eigentliche Operation dieser beiden Gruppen auf der Sphäre S_{V} als Teilmenge von L ⊗ R wegen γ_{L}z = γ_{L} ∘ z = z ∘ γ^{−1}_{L} und ebenso γ_{R}z = γ_{R} ∘ z = z ∘ γ^{−1}_{R} .

Definition 7.3 (Harmonische Polynome und Matrixkoeffizienten) Die Darstellung Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R der Gruppe SU_{2}L × SU_{2}R läßt sich als Raum von Funktionen auf der Einheitssphäre S_{V} des reellen Unterraums V von L ⊗ R auffassen. Dazu setzt man die Homomorphismen z ∈ S_{V} auf k–te symmetrische Potenzen fort und definiert:

(ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ z] := ω(ψ_{L}^{z}, ψ_{R}) = ω(ψ_{L}, ψ_{R}^{z})

Die reelle Struktur J ⊗ J auf Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R entspricht der Konjugation auf Funktionen.

Man kann sich leicht davon überzeugen, daß diese Funktionen die Einschränkung von komplexen, harmonischen Polynomen vom Grad k auf die Einheitssphäre S_{V} sind. Der von ihnen erzeugte Unterraum von Sym^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ wird nämlich gerade von den komplexen, harmonischen Polynomen vom Grad k

(\frac{1}{k!}s_{L}^{k} ⊗ \frac{1}{k!}s_{R}^{k})[ z] = ω(\frac{1}{k!}s_{L}^{kz}, \frac{1}{k!}s_{R}^{k}) = \frac{1}{k!}ω(s_{L}^{z}, s_{R})^{k} = \frac{\sqrt{2}^{k}}{k!} (ω ⊗ ω)(s_{L} ⊗ s_{R}, z)^{k}

zu isotropen Vektoren (ω ⊗ ω)(s_{L} ⊗ s_{R}, ·) ∈ V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ aufgespannt. Nun ist jeder isotrope Vektor in L^{∗} ⊗R^{∗} von dieser Form für geeignete s_{L} ∈ L und s_{R} ∈ R, so daß Sym^{k}L⊗Sym^{k}R folglich mit dem Raum H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ aller komplexen, harmonischen Polynome vom Grad k auf V übereinstimmt. Wichtig ist bei dieser Interpretation der ψ_{L} ⊗ ψ_{R} die Verträglichkeit mit den Operationen der Gruppen SU_{2}L und SU_{2}R etwa:

(ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ γ^{−1}_{L} z] = ω(ψ_{L}^{z∘γ_{L}}, ψ_{R}) = (γ_{L}ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ z]

Das bietet die Möglichkeit, diese Funktionen in Abschnitt 7.2 mit den Matrixkoeffizienten der Darstellungen der Gruppe S_{V} = SU_{2}L = SU_{2}R zu identifizieren. Aber vorerst ist S_{V} noch keine Gruppe, sondern nur ein affiner Gruppenraum. Zur Gruppe fehlt S_{V} zunächst die Kür eines Einselements e ∈ S_{V}, aber selbst dann bleibt noch die Frage, ob man die einfach transitive Operation von SU_{2}L oder die von SU_{2}R mit der Linksmultiplikation identifizieren soll, während die andere Gruppe dann von rechts durch Multiplikation mit dem Inversen operiert. Wie die Notation bereits andeutet und in der spezifischen Realisierung von L ⊗ R als ℍ ⊗ ℍ stillschweigend vorausgesetzt, sei diese Frage zugunsten der SU_{2}L entschieden. Folgerichtig wird jedes γ ∈ S_{V} mit den eindeutigen γ_{L} ∈ SU_{2}L und γ_{R} ∈ SU_{2}R mit γ = γ_{L}e = γ^{−1}_{R} e identifiziert. Dadurch stellt sich eine gewisse Asymmetrie in den weiteren Rollen von SU_{2}L und SU_{2}R ein. So können zum Beispiel die Funktionen (ψ_{L} ⊗ ψ_{R}) auf S_{V} nur als Matrixkoeffizienten der Darstellungen Sym^{k}R der Gruppe S_{V} = SU_{2}R interpretiert werden.

Alternativ kann man die Auszeichnung einer Linksmultiplikation auch als Wahl einer Orientierung auf der Sphäre S_{V} auffassen. Das gewählte Einselement e ∈ S_{V} definiert nämlich nebenbei auch eine Involution σ^{e} : L ⊗ R ⟶ L ⊗ R, s_{L} ⊗ s_{R} ⟼ s_{R}^{e} ⊗ s_{L}^{e}, die gerade die Rollen von L und R und somit von SU_{2}L und SU_{2}R vertauscht. Insofern muß σ^{e} auch die Orientierung von S_{V} umkehren, denn es ist eine orthogonale Abbildung aber doch keinesfalls in SO V = SU_{2}L × SU_{2}R/ℤ_{2}. Also wird die volle orthogonale Gruppe O V durch SO V zusammen mit dieser Involution erzeugt, und die verschiedenen Rollen von SU_{2}L und SU_{2}R in der Gruppenstruktur von S_{V} = SU_{2}L = SU_{2}R sind wirklich die Folge der Wahl einer Orientierung.

Hier schließt sich der Kreis, die Wahl eines Basispunkts e ∈ S_{V} genügt für eine Identifikation von S mit L und R. Wenn man damit die Gruppe SU_{2}S diagonal in das Produkt Produkt SU_{2}L × SU_{2}R einbettet, dann zerfällt L ⊗ R unter Einschränkung nach der Clebsch–Gordon–Formel in ℂ ⊕ Sym^{2}S ≅ Λ^{2}S ⊕ Sym^{2}S. Dies ist gerade die Zerlegung von L ⊗ R in die Eigenräume ℂe und {e}^{⊥} von σ^{e} wegen σ^{e}e = −e, das heißt die diagonale SU_{2}S stabilisiert genau die zwei reellen Punkte ±e ∈ S_{V}, und operiert nurmehr auf deren orthogonalem Komplement {e}^{⊥}, der Komplexifizierung Sym^{2}S eines dreidimensionalen, euklidischen Vektorraums. Umgekehrt bestimmt jeder Fixpunkt z ∈ S_{V} eines Elements (γ_{L}, γ_{R}) von SU_{2}L × SU_{2}R gerade einen Isomorphismus von L und R, der γ_{L} ∈ SU_{2}L und γ_{R} ∈ SU_{2}R ineinander überführt. Das Element (γ_{L}, γ_{R}) liegt also im Bild einer möglichen, diagonalen Einbettung von SU_{2}S.

7.2 Minimale isometrische Immersionen der S^{3}

In diesem Abschnitt wird die Argumentation aus den Kapiteln 4 und 5 anhand eines konkreten Beispiels im Kontext der Darstellungstheorie der Gruppe SO V = SU_{2}L × SU_{2}R/ℤ_{2} nachvollzogen. Speziell erhält man eine vollständige Zerlegung der Parameterräume M_{0,k}^{(d)} der Modulräume M_{k}^{(d)} der dreidimensionalen Sphäre S_{V} in irreduzible Darstellungen. Für diese Sphäre sind seit Mashimo [Ma] interessante Randpunkte der Modulräume M_{λ_{k}} = M_{k}^{(1)} von do Carmo–Wallach bekannt. Tatsächlich ist die Konstruktion 3.3 von Mashimo ursprünglich für eine der zwei möglichen Gruppenstrukturen auf S_{V} gedacht.

Ein Ziel dieses Abschnitts ist es denn auch, die Moduli der minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo in dem Modulraum M_{k}^{(1)} zu lokalisieren und näher zu studieren. Für eine über ℝ irreduzible Darstellung beschreibt Satz 3.8 die Menge aller Vektoren, deren Orbiten die Bilder minimaler isometrischer Immersionen der Gruppe S_{V} sind, als Lösungsmenge gewisser quadratischer Gleichungen. Das zentrale Ergebnis dieses Abschnitts ist nun die Bestimmung derjenigen Abbildung, die jedem solchen Mashimo–Vektor den Modul der induzierten minimalen isometrischen Immersion zuordnet und zugleich die Operation der invarianten Isometrien der entsprechenden Darstellung herausfaktorisiert. Diese Abbildung läßt sich schon für die nur über ℂ irreduziblen Darstellungen der Gruppe S_{V} = SU_{2}R oder nach Änderung der Orientierung S_{V} = SU_{2}L angeben. In ihrem Lichte betrachtet erweist sich die Konstruktion von Mashimo wirklich als ein sehr direkter Weg, Randpunkte im Modulraum zu finden.

Die Moduli aller durch diese Mashimo–Vektoren induzierten minimalen isometrischen Immersionen liegen in einem Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo} von M_{k}^{(1)}, dessen Geometrie sehr viel einfacher zu beschreiben ist, denn sein Parameterraum M0,k^{Mashimo} zerfällt bezüglich des Moduls G der Standardimmersion in zwei kommutierende Unterräume M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} von Endomorphismen auf Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R. Eine direkte Folgerung aus dieser angenehmen Eigenschaft ist, daß der Rand von Mk^{Mashimo} eine geometrische Realisierung der topologischen Union

∂Mk^{Mashimo} = ∂Mk,L^{Mashimo} ∗ ∂Mk,R^{Mashimo}

der Ränder der beiden Unterkegelschnitte Mk,L^{Mashimo} und Mk,R^{Mashimo} durch G mit den Parameterräumen M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} ist. Diese beiden Unterkegelschnitte sind unter einem Wechsel der Orientierung der S_{V} äquivalent und werden wechselweise auch als Modulräume der äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen bezeichnet [T&Z], weil sich etwa alle Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen in Mk,R^{Mashimo} durch Immersionen der S_{V} als Orbit der Gruppe SU_{2}R in isotypischen Darstellungen repräsentieren lassen.

Die Definition 7.3 identifiziert Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R mit dem Raum der komplexen, harmonischen Polynome H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ}ℂ vom Grad k auf dem reellen Unterraum V von L⊗R. Folglich erlaubt die Clebsch–Gordon–Formel B.4 die vollständige Zerlegung aller Tensorprodukte

(H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} H^{l}V^{∗}) ⊗_{ℝ} ℂ ≅ ⨁_{ν,μ=0}^{k∧l} Sym^{k+l−2ν}L ⊗ Sym^{k+l−2μ}R

mit k ∧ l := min{k, l} in irreduzible SO V –Darstellungen. Nach dem Lemma 5.4 von do Carmo–Wallach ist die diagonale Kontraktion g⌟ : H^{k}V^{∗} ⊗H^{l}V^{∗} ⟶ H^{k−1}V^{∗} ⊗H^{l−1}V^{∗} mit dem kometrischen Tensor für dim V ≥ 3 surjektiv. Deshalb zerfallen die Räume H^{k,l}V^{∗} ⊗_{ℝ}ℂ der Niedrigstgewichtssequenz als SO V –Darstellungen in:

H^{k,l}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ ⨁_{{ν,μ=0 \atop ν·μ=0}}^{k∧l} Sym^{k+l−2ν}L ⊗ Sym^{k+l−2μ}R

Folglich sind die Räume L^{k,l}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ, k ≥ l, der Niedrigstgewichtsvektoren gegeben durch:

L^{k,l}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ = (Sym^{k−l}L ⊗ Sym^{k+l}R) ⊕ (Sym^{k+l}L ⊗ Sym^{k−l}R)

Nachdem man auf diese Weise die Grundbausteine der Darstellung der Weylalgebra auf Sym V^{∗} ⊗ Sym V^{∗} identifiziert hat, kann man die affinen Räume M_{k}^{(d)} zu den Modulräumen M_{k}^{(d)} der dreidimensionalen Sphäre S_{V} ausgehend von Satz 5.10 schematisch so darstellen:

[figure: Sym^{r}R; Sym^{l}L; 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 0; 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 1; M_{k}^{(1)}; M_{k}^{(2)}; M_{k}^{(1)}; M_{k}^{(2)}; Mk^{Mashimo}; Mk^{Mashimo}; k = 4; k = 5; k = 6]

Dabei entspricht das Schachbrettmuster der vollständigen Zerlegung des Tensorprodukts (Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R) ⊗ (Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R) in irreduzible Darstellungen der Gruppe SO V über ℂ. Dargestellt sind in dem Schema aber lediglich die irreduziblen Summanden des Unterraums Sym^{2}(Sym^{k}L⊗Sym^{k}R), und zwar als • oder ∘, je nachdem ob sie in dem Parameterraum M_{0,k}^{(1)} des Modulraums der minimalen isometrischen Immersionen enthalten sind oder nicht. Daneben symbolisiert die 1 den SO V –invarianten Modul G der Standardimmersion von Takahashi. Das betont auch noch einmal, daß alle Modulräume M_{k}^{(d)} Schnitte des positiven Kegels des reellen Unterraums H^{k}V^{∗} von Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R mit affinen Unterräumen durch G sind. Was die Einbettung der einzelnen Summanden in Sym^{2}(Sym^{k}L⊗Sym^{k}R) betrifft, kann man sich auf das Lemma von Schur berufen, denn weil alle Summanden paarweise inäquivalent als Darstellungen sind, ist ihre SO V –äquivariante Interpretation als Raum symmetrischer Bilinearformen auf Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗} jeweils eindeutig bis auf einen komplexen Skalar, der reell ist, wenn die Einbettung zumindest die Fortsetzungen der quaternionischen Strukturen respektiert.

Der Einfachheit halber wird nun im folgenden angenommen, daß der SO V –invariante Modul G der Standardimmersion unter der durch Definition 7.3 festgelegten Identifikation von Sym^{2}(Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R) mit Sym^{2}H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ die durch ω oder genauer den dualen Bivektor Λ induzierte symmetrische Bilinearform auf Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗} ist. Allerdings stimmt diese Annahme nur bis auf einen Faktor, der an der Geometrie aller betrachteten Kegelschnitte aber nichts ändert. Wählt man nämlich duale Basenpaare {ψ_{L,ν}} und {dψ_{L,ν}} sowie {ψ_{R,μ}} und {dψ_{R,μ}} für Sym^{k}L und Sym^{k}R, so erhält man mit Hilfe der zwei zueinander inversen, musikalischen Isomorphismen ♯ : Sym^{k}L ⟶ Sym^{k}L^{∗}, ψ_{L} ⟼ ω(ψ_{L}, ·) und ♭ : Sym^{k}L^{∗} ⟶ Sym^{k}L zunächst die folgende Darstellung dieser Bilinearform:

G := Λ ⊗ Λ = ∑_{νμ}(dψ_{L,ν})^{♭} ⊗ ψ_{L,ν} ⊗ (dψ_{R,μ})^{♭} ⊗ ψ_{R,μ}

Mit der in Definition 7.3 angegebenen Interpretation von Elementen von Sym^{k}L⊗Sym^{k}R als Funktionen auf S_{V} gilt demnach für G und das Diracsche Deltafunktional δ_{z} eines beliebigen Punktes z ∈ S_{V}:

G(δ_{z}, δ_{z}) = ∑_{νμ}(dψ_{L,ν}^{♭} ⊗ dψ_{R,μ}^{♭})[ z] · (ψ_{L,ν} ⊗ ψ_{R,μ})[ z]
= ∑_{νμ} ω(dψ_{L,ν}^{♭}, (dψ_{R,μ}^{♭})^{z}) · ω((ψ_{L,ν})^{z}, ψ_{R,μ})
= ∑_{μ} ω((dψ_{R,μ})^{zz}, ψ_{R,μ}) = k + 1

G und mit ihm alle anderen Moduli in dem affinen Raum M_{0,k}^{(1)} durch G sind somit die Moduli minimaler isometrischer Immersionen der Einheitssphäre S_{V} von V mit skalierter Riemannscher Metrik vom Radius R^{2} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) in Zielsphären vom Radius r^{2} = k+1.

Bereits im Kapitel 3 wurde die Konstruktion 3.3 von Mashimo vorgestellt und besprochen, die man auf die dreidimensionale Sphäre anwenden kann. Als Ergebnis dieser Konstruktion erhält man minimale isometrische Immersionen der S_{V}, deren Bilder Orbiten isotypischer Darstellungen von S_{V} = SU_{2}R oder S_{V} = SU_{2}L sind. Der wichtigste Schritt zur Bestimmung der Moduli dieser Immersionen ist dabei die Identifizierung der komplexen, harmonischen Polynome Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R auf S_{V} ⊂ V mit den Matrixkoeffizienten der Darstellung Sym^{k}R der Gruppe S_{V} = SU_{2}R im Sinne des Satzes von Peter–Weyl:

L^{2}S_{V} = \overline{⨁_{π} π^{∗} ⊗ π} = \overline{⨁_{k≥0} Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R}

Die Wahl einer Gruppenstruktur auf S_{V} erfordert nach den Bemerkungen aus dem vorigen Abschnitt 7.1 nicht nur die Wahl eines Einselements e ∈ S_{V}, sondern auch die Wahl einer Orientierung. Erst dadurch wird nämlich festgelegt, daß ein γ ∈ S_{V} mit den eindeutigen γ_{L} ∈ SU_{2}L und γ_{R} ∈ SU_{2}R mit γ = γ_{L}e = γ^{−1}_{R} e zu identifizieren ist. Insbesondere impliziert diese Wahl der Orientierung, daß Links– und Rechtsmultiplikation mit γ durch die Operation von γ_{L} bzw. γ^{−1}_{R} auf S_{V} bewirkt werden. Deshalb kann man die aus Definition 7.3 folgenden Eigenschaften

(ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ γ^{−1}_{L} z] = (γ_{L}ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ z] (ψ_{L} ⊗ ψ_{R})[ γ^{−1}_{R} z] = (ψ_{L} ⊗ γ_{R}ψ_{R})[ z]

für alle z ∈ S_{V} als Eigenschaften von Matrixkoeffizienten interpretieren:

Definition 7.4 (Reelle Matrixkoeffizienten von Sym^{k}R) Das Einselement e ∈ S_{V} der Gruppenstruktur auf S_{V} erlaubt es, den reellen Vektorraum Sym^{k}L vermöge ψ_{L}(ψ_{R}) := Re ω(ψ_{L}^{e}, ψ_{R}) als reellen Dualraum (Sym^{k}R)_{ℝ}^{∗} von Sym^{k}R aufzufassen. In diesem Sinne sind die reellen Matrixkoeffizienten der Darstellung Sym^{k}R von S_{V} für ein γ = γ^{−1}_{R} e = γ^{−1}_{R} ∘ e in S_{V} = SU_{2}R gegeben durch:

ψ_{L}(γψ_{R}) = Re ω(ψ_{L}^{e}, γ_{R}ψ_{R}) = Re ω(ψ_{L}^{γ−1_{R} ∘e}, ψ_{R}) = \frac{1}{2}(ψ_{L} ⊗ ψ_{R} + Jψ_{L} ⊗ Jψ_{R})[ γ]

Diese konkrete Identifikation der Funktionen aus Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R mit den Matrixkoeffizienten kann man nun sofort zur Bestimmung der Moduli der minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo heranziehen. Anstatt die in Satz 3.8 gegebene Beschreibung der Varietät der Mashimo–Vektoren direkt auf die Darstellungen Sym^{k}R und alle k ≥ 0 anzuwenden, was etwas problematisch ist, sei zunächst der Fall betrachtet, daß k gerade und Sym^{k}R damit die Komplexifizierung einer irreduziblen Darstellung W über ℝ ist. Dann entspricht die Zerlegung von Sym^{2}Sym^{k}R vermöge der Clebsch–Gordon–Formel

Sym^{2}W ⊗_{ℝ} ℂ = Sym^{2}Sym^{k}R = ℂ ⊕ Sym^{4}R ⊕ Sym^{8}R ⊕ … ⊕ Sym^{2k}R

der Komplexifizierung der Zerlegung von Sym^{2}W aus Satz 3.8, die mit der Zerlegung der zweiten symmetrischen Potenz der Liealgebra verglichen werden muß. Für die letztere Zerlegung erhält man wegen 𝔰𝔲_{2}R ⊗_{ℝ} ℂ = Sym^{2}R sofort:

Sym^{2}𝔰𝔲_{2}R ⊗_{ℝ} ℂ = ℂ ⊕ Sym^{4}R

Der einzige nichttriviale Summand in beiden Zerlegungen ist der ”kritische“ Summand Sym^{4}R. Somit ist ein reelles Polynom ψ_{R} ∈ W ⊂ Sym^{k}R genau dann ein Mashimo– Polynom, wenn die Projektion seines Quadrats ψ_{R}^{2} ∈ Sym^{2}W ⊂ Sym^{2}Sym^{k}R auf Sym^{4}R verschwindet. Es ist bemerkenswert und keineswegs zufällig, daß der kritische Summand Sym^{4}R gerade der einzige Summand von Sym^{2}Sym^{k}R in Sym^{2}(Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R) ist, der nicht im Parameterraum M_{0,k}^{(1)} liegt.

Um nun das Argument für alle k und beliebige Polynome ψ_{R} ∈ Sym^{k}R zu übertragen, faßt man zunächst Sym^{k}R als reellen Vektorraum und damit als Darstellung von SU_{2}R über ℝ auf. Das SU_{2}R–invariante Skalarprodukt ist der Realteil der hermiteschen Form ω( ·, J·), und die von ψ_{R} ∈ Sym^{k}R induzierte symmetrische Bilinearform auf 𝔰𝔲_{2}R

⟨X, Y ⟩ := Re ω(Xψ_{R}, Y Jψ_{R}) = \frac{1}{2}(ω(Xψ_{R}, Y Jψ_{R}) + (−1)^{k}ω(XJψ_{R}, Y ψ_{R}))

hängt für gerade bzw. ungerade k jeweils nur von \frac{1}{2}ψ_{R} · Jψ_{R} aus Sym^{2}Sym^{k}R oder nur von \frac{1}{2}ψ_{R} ∧Jψ_{R} aus Λ^{2}Sym^{k}R ab. Der kritische Summand Sym^{4}R von Sym^{k}R⊗Sym^{k}R liegt für gerade oder ungerade k ebenfalls in Sym^{2}Sym^{k}R bzw. Λ^{2}Sym^{k}R, so daß man das Argument aus dem Beweis von Satz 3.8 sinngemäß übertragen kann. Ein Polynom ψ_{R} ∈ Sym^{k}R ist also genau dann ein Mashimo–Polynom, wenn in Abhängigkeit von k die Projektion von \frac{1}{2}ψ_{R} · Jψ_{R} oder \frac{1}{2}ψ_{R} ∧ Jψ_{R} auf Sym^{4}R verschwindet:

Satz 7.5 (Moduli der Immersionen von Mashimo) Der Modul der durch ein normiertes Mashimo–Polynom ψ_{R} mit ω(ψ_{R}, Jψ_{R}) = 1 induzierten minimalen isometrischen Immersion der Sphäre S_{V} vom Radius R^{2} = \frac{1}{3}k(k+1)(k+2) in eine Sphäre vom Radius r^{2} = k + 1 ist für gerades k gegeben durch \frac{k+1}{2}ψ_{R} · Jψ_{R} als Element von Sym^{2}Sym^{k}R und entsprechend durch \frac{k+1}{2}ψ_{R}∧Jψ_{R} als Element von Λ^{2}Sym^{k}R für ungerades k. Insbesondere hängt dieser Modul tatsächlich nur vom Orbit von ψ_{R} unter der Gruppe S^{1} bzw. S^{3} aller SU_{2}R–äquivarianten, ℝ–linearen Isometrien von Sym^{k}R ab.

Beweis: Nach der Konstruktion 3.3 von Mashimo gehört zu einem normierten Mashimo– Polynom ψ_{R} mit ω(ψ_{R}, Jψ_{R}) = 1 die minimale isometrische Immersion ϕ : S_{V} ⟶ Sym^{k}R, γ ⟼ \sqrt{k + 1} γψ_{R} von S_{V} = SU_{2}R als Orbit von \sqrt{k + 1} ψ_{R} in die Sphäre vom Radius r^{2} = k +1 in Sym^{k}R. Die duale Abbildung ϕ^{∗} : (Sym^{k}R)_{ℝ}^{∗} ⟶ H^{k}V^{∗} des reellen Dualraums (Sym^{k}R)_{ℝ}^{∗} von Sym^{k}R wird unter der Identifikation des Raums H^{k}V^{∗} ⊂ Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R der harmonischen Polynome auf V mit reellen Matrixkoeffizienten zu:

\begin{aligned}ϕ^{∗} : & (Sym^{k}R)_{ℝ}^{∗} & ≅ & Sym^{k}L & ⟶ & H^{k}V^{∗} \\ & & & ψ_{L} & ⟼ & \frac{\sqrt{k+1}}{2}(ψ_{L} ⊗ ψ_{R} + Jψ_{L} ⊗ Jψ_{R}) \end{aligned}

Wie bereits zuvor ist das SU_{2}R–invariante Skalarprodukt der Realteil der hermiteschen Form ω( ·, J·), läßt sich also nach Wahl eines dualen Basenpaars {ψ_{L,ν}} und {dψ_{L,ν}} vermöge der obigen Identifizierung von Sym^{k}L mit dem reellen Dualraum von Sym^{k}R schreiben als

⟨ψ_{1}, ψ_{2}⟩_{Sym^{k}R}

= ∑_{ν} Re(ω(dψ_{L,ν}^{♭e}, ψ_{1})ω(ψ_{L,ν}^{e}, Jψ_{2}))
= (−1)^{k} ∑_{ν} (Re ω(dψ_{L,ν}^{♭e}, ψ_{1}) Re ω(Jψ_{L,ν}^{e}, ψ_{2}) + Re ω(i dψ_{L,ν}^{♭e}, ψ_{1}) Re ω(i Jψ_{L,ν}^{e}, ψ_{2}))

das heißt ⟨ , ⟩_{Sym^{k}R} = (−1)^{k} ∑_{ν} (dψ_{L,ν}^{♭} ⊗_{ℝ}Jψ_{L,ν} + idψ_{L,ν}^{♭} ⊗_{ℝ}iJψ_{L,ν}). Unter der Fortsetzung der Matrixkoeffizientenabbildung ϕ^{∗} geht das Skalarprodukt von Sym^{k}R also auf den Modul:

Sym^{2}ϕ^{∗}⟨ , ⟩_{Sym^{k}R}

= (−1)^{k} \frac{k + 1}{4} ∑_{ν} ((dψ_{L,ν}^{♭} ⊗ ψ_{R} + Jdψ_{L,ν}^{♭} ⊗ Jψ_{R}) ⊗ (Jψ_{L,ν} ⊗ ψ_{R} + (−1)^{k}ψ_{L,ν} ⊗ Jψ_{R})

+ (idψ_{L,ν}^{♭} ⊗ ψ_{R} − iJdψ_{L,ν}^{♭} ⊗ Jψ_{R}) ⊗ (iJψ_{L,ν} ⊗ ψ_{R} − (−1)^{k}iψ_{L,ν} ⊗ Jψ_{R}))

= \frac{k + 1}{2} ∑_{ν} (dψ_{L,ν}^{♭} ⊗ ψ_{L,ν} ⊗ ψ_{R} ⊗ Jψ_{R} + (−1)^{k}Jdψ_{L,ν}^{♭} ⊗ Jψ_{L,ν} ⊗ Jψ_{R} ⊗ ψ_{R})

Nun muß man nur noch beachten, daß die Identität von Sym^{k}L offensichtlich ein reeller Endomorphismus von Sym^{k}L ist und sowohl ∑_{ν} dψ_{L,ν}^{♭} ⊗ ψ_{L,ν} als auch ∑_{ν} Jdψ_{L,ν}^{♭} ⊗ Jψ_{L,ν} geschrieben werden kann. □

Bemerkung 7.6 (Bilder der Immersionen von Mashimo) Insbesondere zeigt der Beweis auch, daß das Bild des Moduls G̃ ∈ M_{k}^{(1)} der zu einem Mashimo–Polynom ψ_{R} ∈ Sym^{k}R gehörenden minimalen isometrischen Immersion gerade der reelle Unterraum von

Im G̃ ⊗_{ℝ} ℂ = Sym^{k}L ⊗ ψ_{R} + Sym^{k}L ⊗ Jψ_{R} ⊂ Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R = H^{k}V^{∗} ⊗_{ℝ} ℂ

ist. Das Bild hat also Dimension 2k + 2, es sei denn ψ_{R} und Jψ_{R} sind linear abhängig, wodurch sich die Dimension des Bildes auf k + 1 reduziert. Dieser Fall tritt nur ein, wenn k gerade und ψ_{R} ein Vielfaches ξψ̃_{R}, ξ ∈ S^{1}, eines reellen Mashimo–Polynoms ψ̃_{R} = Jψ̃_{R} ist.

Die ursprünglich von Mashimo in [Ma] angebenen Beispiele von normierten Mashimo– Polynomen ψ_{k} für alle k ≥ 4 lassen sich nach Wahl einer kanonischen Basis p und q := Jp von R mit ω(p, q) = 1 in der folgenden Form schreiben:

ψ_{4} = \frac{1}{4\sqrt{6}}(p^{4} + q^{4}) + \frac{i}{\sqrt{8}}p^{2}q^{2}
ψ_{k} = \sqrt{\frac{κ + 1}{3k · k!}}(p^{k} + q^{k}) + \frac{i^{κ}}{κ!}\sqrt{\frac{k − 1}{3κ}}p^{κ}q^{κ}  für k = 2κ ≥ 6
ψ_{k} = \sqrt{\frac{κ + 2}{(3κ + 3)k!}}p^{k} + \frac{1}{(κ + 1)!}\sqrt{\frac{k}{3}}p^{κ}q^{κ+1}  für k = 2κ + 1 ≥ 5

Es lohnt sich, ein paar Beispiele dieser auf den ersten Blick sehr willkürlich gewählten Polynome genauer zu betrachten. So ist ψ_{4} zum Beispiel kein reelles Polynom im Gegensatz zu den anderen ψ_{k} mit geradem k = 2κ ≥ 6, und definiert somit nur eine minimale isometrische Immersion der S^{3} in eine S^{9}. Tatsächlich ist der Fall k = 4 eine Ausnahme, die im nächsten Kapitel 8 genauer untersucht und beschrieben wird. Insbesondere wird sich dabei zeigen, daß ψ_{4} unmöglich reell gewählt werden kann, weil es in Sym^{4}R keine reellen Mashimo–Polynome gibt. Die Standgruppe des angegebenen ψ_{4} in SU_{2}R muß deshalb sowohl den Real– als auch den Imaginärteil von ψ_{4} festlassen. Zerlegt man beide vollständig in Linearfaktoren

ψ_{4} = \frac{1}{4\sqrt{6}}(p + q)(p + iq)(p − q)(p − iq) + \frac{i}{\sqrt{8}}p^{2}q^{2}

so erkennt man, daß die Standgruppe der zu den Linearfaktoren gehörenden Punktkonfiguration in ℙR die homogene Dihedralgruppe D_{4}^{∗} ⊂ SU_{2}R ist. Die Standgruppe von ψ_{4} ist darin enthalten und stellt sich als homogene Dihedralgruppe D_{2}^{∗} heraus, weil der Realteil von ψ_{4} unter einem Erzeuger p ⟼ ξp, q ⟼ \overline{ξ}q der D_{4}^{∗} mit ξ^{8} = 1 das Vorzeichen wechselt. Somit ist das Bild der zu ψ_{4} gehörenden minimalen isometrischen Immersion der Quotient S^{3}/D_{2}^{∗}. Der Modul dieser Immersion ist nun das Element:

\frac{k + 1}{2}(ψ_{4}) · (Jψ_{4}) ∈ Sym^{2}Sym^{4}R ≅ ℂ ⊕ Sym^{4}R ⊕ Sym^{8}R

Weil die Projektion von (ψ_{4}) · (Jψ_{4}) auf ℂ im wesentlichen nur die SU_{2}R–invariante Norm und die Projektion auf Sym^{4}R nach Wahl von ψ_{4} verschwindet, ist der wesentliche Teil dieses Moduls die Projektion auf Sym^{8}R:

ψ_{4} · Jψ_{4} = \sqrt{21} ψ_{8} = \frac{1}{96}(p^{8} + 14p^{4}q^{4} + q^{8}) = \frac{1}{96} ∏_{ξ^{4}=1}(p − \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}ξq)(p + \frac{\sqrt{3} − 1}{\sqrt{2}}ξq)

Bemerkenswert ist dabei, daß der Modul von ψ_{4} auch ein Mashimo–Polynom ist. Damit ist sein Orbit unter SU_{2}R in dem affinen Raum M_{4}^{(1)} selbst eine minimale isometrische Immersion der S^{3} in eine S^{8} zum achten Eigenwert [T&Z]. Die Menge aller Moduli von minimalen isometrischen Immersionen ist der Orbit dieses Moduls unter der vollen orthogonalen Gruppe O V, also die Vereinigung von zwei dieser minimal immersierten S^{3}.

Die zu den Linearfaktoren von ψ_{4} · Jψ_{4} gehörende Punktkonfiguration in ℙR ist genau die Konfiguration der acht Ecken eines Würfels, die Standgruppe dieser Punktkonfiguration ist deshalb die homogene Oktaedergruppe O^{∗}. Im nächsten Kapitel 8 wird gezeigt, daß tatsächlich die volle Oktaedergruppe SO_{3}ℤ ⊂ SO_{3}ℝ den Modul zu ψ_{4} stabilisiert. Mit den Beispielen fortfahrend lautet die vollständige Zerlegung von ψ_{6} in Linearfaktoren:

ψ_{6} = \frac{1}{18\sqrt{10}} ∏_{ξ^{3}=i}(p − \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}ξq)(p + \frac{\sqrt{3} − 1}{\sqrt{2}}ξq)

Die zugehörige Punktkonfiguration in ℙR ≅ S^{2} ist gerade die Konfiguration der sechs Einheitsvektoren auf drei orthogonalen Koordinatenachsen. Deswegen ist die Standgruppe von ψ_{6} ebenfalls enthalten in der homogenen Oktaedergruppe O^{∗}. Im Sinne des Satzes 7.1 ist ψ_{6} bis auf eine Konstante aber auch das reelle, harmonische Polynom xyz mit einer Orthonormalbasis x, y und z von ℝ^{3}. Deshalb ist die Standgruppe von ψ_{6} in SO_{3}ℝ tatsächlich nur die Tetraedergruppe T, denn unter x ⟼ y, y ⟼ −x wechselt xyz das Vorzeichen.

Auf die gleiche Art und Weise kann man sich davon überzeugen, daß die Standgruppe aller anderen Beispiele ψ_{k} von Mashimo mit geradem k ≥ 10 entweder die zyklische Gruppe ℤ_{k} oder die homogene Dihedralgruppe D∗_{\frac{k}{2}} ist, falls k sogar durch vier teilbar sein sollte.

Dagegen findet sich unter den Beispielen ψ_{k} von Mashimo für ungerades k keines mit nichttrivialer Standgruppe, denn die Standgruppe der Punktkonfiguration der Linearfaktoren ist in allen Fällen die zyklische Gruppe ℤ_{k+1}, dessen Erzeuger p ⟼ ξp, q ⟼ \overline{ξ}q mit ξ^{k+1} = 1 das Polynom ψ_{k} mit \overline{ξ} multipliziert. Weitere Beispiele für Mashimo–Polynome wurden von DeTurck–Ziller [DT&Z] konstruiert und dabei explizit gezeigt, daß jede diskrete Untergruppe der SU_{2}R, also auch die zyklischen Gruppen ℤ_{m} ungerader Ordnung m, als Stabilisator eines Mashimo–Polynoms auftauchen kann. Infolgedessen besitzt jede homogene Raumform S^{3}/Γ eine minimale isometrische Immersion. Für gerades k gibt es eine ganze Klasse von Polynomen ψ_{R} ∈ Sym^{k}R, für die die Projektion von \frac{k+1}{2}ψ_{R} · Jψ_{R} auf Sym^{4}R verschwinden muß. Wenn nämlich ein Polynom ψ_{R} und damit auch Jψ_{R} invariant unter einer diskreten Untergruppe Γ von SU_{2}R ist, dann muß auch das Bild der SU_{2}R–äquivarianten Projektion von \frac{k+1}{2}ψ_{R} · Jψ_{R} auf den invarianten Unterraum Sym^{4}R unter Γ invariant sein. Aber weder die homogene Tetraedergruppe, noch die Oktaeder– oder Ikosaedergruppe stabilisieren nichttriviale Elemente von Sym^{4}R. Deshalb induziert jedes Polynom, das unter einer dieser Gruppen invariant ist, automatisch eine minimale isometrische Immersion der dreidimensionalen Sphäre S_{V}.

Die Ikosaedergruppe stabilisiert noch nicht einmal ein Element in Sym^{8}R. Ist also ψ_{R} ein invariantes Polynom unter der Ikosaedergruppe, dann verschwindet das Bild von \frac{k+1}{2}ψ_{R}·Jψ_{R} nicht nur unter der Projektion auf Sym^{4}R, sondern auch unter der Projektion auf Sym^{8}R. Infolgedessen liegt der Modul der von ψ_{R} induzierten minimalen isometrischen Immersion schon in dem Modulraum M_{k}^{(2)} ⊂ M_{k}^{(1)}, das heißt die zweite Fundamentalform dieser Immersion ist in jedem Punkt äquivalent zur zweiten Fundamentalform der Standardimmersion. Die Punktkonfiguration der Linearfaktoren des einfachsten dieser Polynome in ℙR ist gerade die Konfiguration der zwölf Ecken eines Ikosaeders [DT&Z]:

ψ_{Ikosaeder} := \frac{1}{3600\sqrt{11}}pq ∏_{ξ^{5}=1}(p−\frac{\sqrt{5} − 1}{2}ξq)(p+\frac{\sqrt{5} + 1}{2}ξq) = \frac{1}{3600\sqrt{11}}( p^{11}q + 11p^{6}q^{6} − pq^{11} )

Diesen Gedanken weiterverfolgend kann man sich fragen, ob nicht nur in M_{k}^{(1)}, sondern auch in den höheren Modulräumen M_{k}^{(d)}, d ≥ 1, Moduli der Form \frac{k+1}{2}ψ_{R} ·Jψ_{R} bzw. \frac{k+1}{2}ψ_{R} ∧Jψ_{R} liegen. Wenn das Bild eines solchen Moduls unter der Projektion auf den invarianten Unterraum Sym^{4}R⊕Sym^{8}R⊕…⊕Sym^{4d}R von Sym^{2}Sym^{k}R oder Λ^{2}Sym^{k}R verschwinden soll, dann muß ψ_{R} dem genau dadurch definierten System quadratischer Gleichungen genügen. Wie im ursprünglich von Mashimo [Ma] betrachteten Fall d = 1 führt dies nach Wahl von Koordinaten zu natürlich von k und d abhängigen Gleichungssystemen für die Polynome ψ_{R}.

Besonders interessant sind nun reelle Lösungen ψ_{R} = Jψ_{R} dieser Gleichungssysteme für gerade k und d ≥ 3. Die Moduli G̃ = \frac{k+1}{2}ψ_{R}^{2} der von diesen ψ_{R} induzierten minimalen isometrischen Immersionen liegen nämlich nicht nur in dem Modulraum M_{k}^{(3)} ⊂ M_{k}^{(1)}, sondern besitzen der Bemerkung 7.6 zufolge als Randpunkte des größeren Kegelschnitts M_{k}^{(1)} flache Deformationen im Sinne der Definition 6.14. Tatsächlich ist der Schnitt von Sym^{2}Im G̃ ⊂ Sym^{2}(Sym^{k}L ⊗ Sym^{k}R) mit dem Parameterraum M_{0,k}^{(1)} des Modulraums der minimalen isometrischen Immersionen nicht leer, sondern enthält zumindest den neundimensionalen reellen Unterraum von:

Sym^{8}L ⊗ G̃ ⊂ Sym^{2}(Sym^{k}L ⊗ ℂψ_{R}) ∩ M_{0,k}^{(1)} ⊗_{ℝ} ℂ

Wenn also für gerades k und d ≥ 3 eine reelle Lösung ψ_{R} des entsprechenden Gleichungssystems existiert, dann muß es eine minimale isometrische Immersion zum k–ten Eigenwert geben, die in eine Zielsphäre der Dimension kleiner als k geht. Insofern ist es wichtig zu wissen, daß diese Gleichungssysteme zumindest für alle geraden 42 ≤ k ≤ 80 reelle Lösungen besitzen. Leider lassen diese Beispiele bis jetzt aber noch keine klaren Schlüsse zu.

Korollar 7.7 (Minimale isometrische Immersionen mit Selbstschnitten) Für jeden Eigenwert λ_{k} = k(k +2) mit geradem k ≥ 4 besitzt die dreidimensionale Sphäre S^{3} minimale isometrische Immersionen, deren Bilder in der Zielsphäre Selbstschnitte besitzen und somit keine glatten Untermannigfaltigkeiten sind. Alle im Beweis konstruierten Beispiele schneiden sich selbst entlang von mehreren Großkreisen S^{1} ⊂ S^{3}.

Beweis: Die explizite Diskussion der Standgruppen der Beispiele von Mashimo zeigt insbesondere, daß für gerade k stets minimale isometrische Immersionen zum k–ten Eigenwert existieren, deren Bilder homogene Raumformen S^{3}/Γ mit Γ ≠ {±1} sind. Ohne Einschränkung ist Γ eine Untergruppe von SU_{2}R und nach Wahl einer konjugierten Untergruppe Γ̃ in SU_{2}L gibt es in der Menge ΓΓ̃^{−1} ⊂ SU_{2}L×SU_{2}R nichttriviale Isometrien der S^{3} mit Fixpunkten. Wie für Γ gibt es natürlich auch für Γ̃ eine minimale isometrische Immersion der S^{3} zum k–ten Eigenwert, deren Bild die homogene Raumform S^{3}/Γ̃ ist. Auf der Verbindungsstrecke der beiden zugehörigen Moduli liegen dem Tunnelargument 2.11 zufolge Moduli minimaler isometrischer Immersionen mit Selbstschnitten. Dem Beweis des Tunnelarguments nach müssen sich die Bilder entlang von Großkreisen schneiden, weil eine nichttriviale Isometrie aus SO_{4}ℝ mit einem Fixpunkt auf der S^{3} schon einen Großkreis S^{1} ⊂ S^{3} festläßt. □

Bis jetzt wurden lediglich die Beispiele der durch Mashimo–Polynome ψ_{R} ∈ Sym^{k}R induzierten minimalen isometrischen Immersionen betrachtet, und dabei noch nicht benutzt, daß die Konstruktion von Mashimo in sehr großer Allgemeinheit für isotypische Darstellungen möglich ist. Der Schluß dieses Kapitels ist deshalb einer teilweisen Beschreibung aller Äquivalenzklassen dieser ”äquivarianten“ Immersionen gewidmet. Im wesentlichen ist diese Frage äquivalent zur Bestimmung der Randstruktur des folgenden Unterkegelschnitts von M_{k}^{(1)}:

Definition 7.8 (Der Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo}) Die Moduli aller von Mashimo konstruierten minimalen isometrischen Immersionen liegen in dem Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo} des Modulraums M_{k}^{(1)}, der durch den Modul G der Standardimmersion geht und durch den reellen Unterraum M0,k^{Mashimo} von

M0,k^{Mashimo} ⊗_{ℝ} ℂ = ⨁_{ν=2}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} Sym^{2ν}L ⊕ ⨁_{μ=2}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} Sym^{2μ}R

modelliert wird. In offensichtlicher Weise zerfällt M0,k^{Mashimo} dabei in zwei Unterräume M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo}, die ihrerseits Unterkegelschnitte Mk,L^{Mashimo} und Mk,R^{Mashimo} von Mk^{Mashimo} durch G definieren. Mk,L^{Mashimo} und Mk,R^{Mashimo} sind unter der Isometriegruppe O V der Sphäre S_{V} isomorph und werden wechselweise als Modulraum der äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen bezeichnet.

Zunächst ist sicherlich eine Erklärung darüber angebracht, warum Mk,L^{Mashimo} oder alternativ Mk,R^{Mashimo} als Modulraum der Äquivalenzklassen äquivarianter minimaler isometrischer Immersionen bezeichnet wird. Die Konstruktion von Mashimo ist ja für alle isotypischen Darstellungen einer kompakten Liegruppe möglich, der Satz 7.5 behandelt aber nur den Spezialfall der über ℂ irreduziblen Darstellungen von S_{V} = SU_{2}R. Im folgenden wird gezeigt, daß alle Moduli G̃ ∈ Mk,R^{Mashimo} durch eine minimale isometrische Immersion von S_{V} = SU_{2}R als Orbit einer isotypischen Darstellung repräsentiert werden können und alle Äquivalenzklassen äquivarianter minimaler isometrischer Immersionen von S_{V} = SU_{2}R auch in Mk,R^{Mashimo} liegen. Analog korrespondieren die Moduli in Mk,L^{Mashimo} zu den minimalen isometrischen Immersionen der Gruppe S_{V} = SU_{2}L als Orbiten in isotypischen Darstellungen der SU_{2}L.

Den allgemeinen Fall einer isotypischen Darstellung der Gruppe SU_{2}R über ℝ stellt dabei im wesentlichen bereits die orthogonale Summe (Sym^{k}R)^{⊕m} mit m ≥ 1 dar, denn jede andere isotypische Darstellung läßt sich nach Wahl eines SU_{2}R–invarianten Skalarprodukts isometrisch und SU_{2}R–äquivariant in eine solche orthogonale Summe einbetten. Ein allgemeiner Vektor ψ_{R,⊕} = ψ_{R,1} ⊕ … ⊕ ψ_{R,m} aus (Sym^{k}R)^{⊕m} der Länge ∑_{ν=1}^{m} ω(ψ_{R,ν}, Jψ_{R,ν}) = 1 induziert wir zuvor auf der Liealgebra 𝔰𝔲_{2}R die symmetrische Bilinearform

⟨X, Y ⟩ := Re ω_{⊕}(Xψ_{R,⊕}, Y Jψ_{R,⊕}) = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{m} (ω(Xψ_{R,ν}, Y Jψ_{R,ν}) + (−1)^{k}ω(XJψ_{R,ν}, Y ψ_{R,ν}))

und ⟨ , ⟩ ist genau dann ein biinvariantes und damit positiv definites Skalarprodukt auf 𝔰𝔲_{2}R, wenn für gerades bzw. ungerades k die Projektion der Summe

G̃ = \frac{k + 1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν}  bzw.  G̃ = \frac{k + 1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} ∧ Jψ_{R,ν}

auf Sym^{4}R verschwindet. Die im Beweis von Satz 7.5 durchgeführte Rechnung impliziert, daß G̃ tatsächlich der Modul einer äquivarianten minimalen isometrischen Immersion der Gruppe S_{V} = SU_{2}R mit skalierter Metrik vom Radius R^{2} = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) in eine Sphäre vom Radius r^{2} = k +1 ist, die die S_{V} nach der Konstruktion von Mashimo auf den Orbit des Vektors \sqrt{k + 1} ψ_{R,⊕} abbildet. Das Bild des Moduls G̃ ist dabei gerade der reelle Unterraum von:

Im G̃ ⊗_{ℝ} ℂ = Sym^{k}L ⊗ Spann{ψ_{1,R}, Jψ_{1,R}, …, ψ_{m,R}, Jψ_{m,R} }

Damit liegen die Moduli G̃ aller äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen der Gruppe S_{V} = SU_{2}R in dem Unterkegelschnitt Mk,R^{Mashimo} von M_{k}^{(1)}. Ändert man die Orientierung der Sphäre S_{V} und wählt die Identifizierung S_{V} = SU_{2}L, dann findet man die Moduli der anderen äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen in Mk,L^{Mashimo} wieder.

Es stellt sich daher nur die Frage, ob und wie die Moduli G̃ minimaler isometrischer Immersionen in Mk,R^{Mashimo} und Mk,L^{Mashimo} durch äquivariante minimale isometrische Immersionen repräsentiert werden können. Dabei ist etwa jeder Modul G̃ aus Mk,R^{Mashimo} ein reelles Element von Sym^{2}Sym^{k}R oder Λ^{2}Sym^{k}R in Abhängigkeit von k, dessen Projektion auf Sym^{4}R verschwindet. Außerdem liegt es in dem affinen Raum Mk,R^{Mashimo} durch den Modul der Standardmetrik G und Λ ⊗ G̃ induziert eine positiv semidefinite Bilinearform auf dem reellen Unterraum von Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗}. Um diese Bedingungen an G̃ in eine handliche Form zu bringen, kann man das reelle Element G̃ von Sym^{2}Sym^{k}R bzw. Λ^{2}Sym^{k}R zunächst als eine hermitesche Form G̃(·, J·) auf Sym^{k}R^{∗} auffassen. Man kann sich dann leicht davon überzeugen, daß Λ ⊗G̃ genau dann eine positiv semidefinite Bilinearform auf dem reellen Unterraum von Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗} induziert, wenn diese hermitesche Form positiv semidefinit auf Sym^{k}R^{∗} ist.

Wenn nun k gerade ist, dann ist die Einschränkung dieser hermiteschen Form auf den reellen Unterraum von Sym^{k}R^{∗} eine positiv semidefinite Bilinearform und hat nach dem Trägheitssatz von Sylvester eine Darstellung der Form

G̃ = \frac{k + 1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν}

mit reellen, linear unabhängigen ψ_{R,ν} = Jψ_{R,ν}. Schließlich muß G̃ als Modul auch noch in dem affinen Unterraum durch den Modul G der Standardimmersion liegen, daß heißt seine Projektion auf ℂ ist 1. Weil diese Projektion im wesentlichen die Spur ist, erfüllt G̃ diese Bedingung genau dann, wenn ∑_{ν=1}^{m} ω(ψ_{R,ν}, Jψ_{R,ν}) = 1 gilt. Deswegen ist G̃ tatsächlich der Modul einer äquivarianten minimalen isometrischen Immersion.

Für ungerades k muß man etwas anders argumentieren, weil kein Analogon des Trägheitssatzes von Sylvester für positiv semidefinite hermitesche Formen wie G̃(·, J·) auf einem Vektorraum Sym^{k}R^{∗} mit quaternionischer Struktur J bekannt ist. Allerdings geht der übliche Induktionsbeweis des Trägheitssatzes mit nur geringen Modifikationen durch und zeigt, daß G̃ ∈ Λ^{2}Sym^{k}R tatsächlich eine Darstellung der Form

G̃ = \frac{k + 1}{2} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} ∧ Jψ_{R,ν}

mit sogar über den Quaternionen linear unabhängigen ψ_{R,ν} besitzt. Auch in diesem Fall liegt G̃ genau dann in dem affinen Unterraum durch den Modul G der Standardimmersion, wenn ∑_{ν=1}^{m} ω(ψ_{R,ν}, Jψ_{R,ν}) = 1 erfüllt ist. Weil die Projektion des Moduls G̃ auf Sym^{4}R verschwindet, definiert jede solche Darstellung wie bereits zuvor einen Mashimo–Vektor ψ_{R,⊕} = ψ_{R,1} ⊕…⊕ψ_{R,m}, und die minimale isometrische Immersion der Gruppe S_{V} = SU_{2}R als Orbit von ψ_{R,⊕} in (Sym^{k}R)^{⊕m} repräsentiert die Äquivalenzklasse des Moduls G:

Korollar 7.9 (Bilder der Moduli aus Mk,L^{Mashimo} und Mk,R^{Mashimo}) Das Bild einer minimalen isometrischen Immersion, deren Modul in Mk,L^{Mashimo} oder Mk,R^{Mashimo} liegt, ist eine glatte Untermannigfaltigkeit der Zielsphäre. Tatsächlich ist das Bild einer minimalen isometrischen Immersion mit Modul \frac{k+1}{2} ∑ ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν} bzw. \frac{k+1}{2} ∑ ψ_{R,ν} ∧ Jψ_{R,ν} aus Mk,R^{Mashimo} der Quotient S^{3}/Γ mit dem Schnitt Γ ⊂ SU_{2}R der Standgruppen der ψ_{R,ν}.

Es ist nun ziemlich leicht, alle für einen Randpunkt von Mk^{Mashimo} möglichen Ränge zu bestimmen. Der wesentliche Punkt dabei ist, daß der Modellraum M0,k^{Mashimo} dieses Unterkegelschnitts in die beiden Unterräume M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} zerfällt, die vermöge der Standardmetrik G als Räume von reellen, symmetrischen Endomorphismen auf dem Tensorprodukt Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗} aufgefaßt werden können und dann jeweils nur auf einem der beiden Faktoren operieren. Zwei Endomorphismen aus M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} kommutieren also stets, und sind deswegen gleichzeitig diagonalisierbar:

Satz 7.10 (Korang eines Randpunkts von Mk^{Mashimo}) Der Korang jedes Randpunkts G̃ ∈ ∂Mk^{Mashimo} ist das Produkt eines Tupels (n_{L}, n_{R}) von natürlichen Zahlen n_{L}, n_{R} aus der Menge {1, 2, 3, 5} für k = 4, aus {1, 2, …, k + 1} für gerades k ≥ 6 und aus {2, 4, …, k+1} für ungerades k ≥ 5, wobei n_{L} und n_{R} nicht gleichzeitig gleich k + 1 gewählt werden dürfen. Jeder dieser Werte wird tatsächlich auch durch geeignete Randpunkte realisiert.

Beweis: Der Korang des von der Standardmetrik G in Richtung G_{0} ∈ M0,k^{Mashimo} liegenden Randpunkts wird durch die Multiplizität des kleinsten Eigenwerts von G_{0} bezüglich G bestimmt. Wenn G_{0} also in die Summe G_{0,L} + G_{0,R} zweier kommutierender Endomorphismen auf jeweils einem der beiden Tensorfaktoren von Sym^{k}L^{∗} ⊗ Sym^{k}R^{∗} zerfällt, dann sind die gemeinsamen Eigenräume von G_{0,L} und G_{0,R} und damit auch die Eigenräume von G_{0} gerade die Tensorprodukte der Eigenräume von G_{0,L} auf Sym^{k}L^{∗} und von G_{0,R} auf Sym^{k}R^{∗}. Deshalb ist der Korang des in Richtung G_{0} liegenden Randpunkts das Produkt der Dimensionen der Eigenräume zum kleinsten Eigenwert von G_{0,L} und G_{0,R}. Nach Definition sind die Endomorphismen in den beiden Unterräumen M0,k,L^{Mashimo} und M0,k,R^{Mashimo} jeweils spurfrei auf Sym^{k}L^{∗} bzw. Sym^{k}R^{∗}. Also kann etwa die Dimension des kleinsten Eigenwerts von G_{0,L} auschließlich für G_{0,L} = 0 gerade k + 1 sein. Deshalb muß das Tupel (k + 1, k + 1) in der Formulierung dieses Satzes explizit ausgenommen werden, denn es kann nur durch G_{0,L} = 0 = G_{0,R} und damit G_{0} = 0 realisiert werden, wozu aber kein Randpunkt von Mk^{Mashimo} gehört.

Unter der vollen orthogonalen Gruppe O V sind die beiden Unterräume M_{0,k,L} und M_{0,k,R} nun zueinander konjugiert, so daß es genügt, die möglichen Dimensionen für den Eigenraum zum kleinsten Eigenwert etwa von G_{0,R} zu bestimmen. Als reeller Endomorphismus von Sym^{k}R^{∗} kommutiert G_{0,R} per Definition mit der Fortsetzung der quaternionischen Struktur J auf Sym^{k}R^{∗}. Solange k gerade ist, hat das keine Konsequenzen, in diesem Fall existiert für Sym^{k}R^{∗} einfach eine reelle Basis von Eigenvektoren, aber für ungerade k müssen alle Eigenwerte von G_{0,R} gerade Vielfachheit besitzen.

Also kann es für den Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo} nur Randpunkte mit den behaupteten Rängen geben, wenn man einmal von dem Spezialfall k = 4 absieht, der erst in Kapitel 8 eingehend behandelt wird. Um zu zeigen, daß alle diese Möglichkeiten auch von geeigneten Randpunkten von Mk^{Mashimo} realisiert werden, betrachte man zuerst den Fall, daß k ≥ 6 gerade ist. Dann gibt es in Sym^{k}R ein reelles, normiertes Mashimo–Polynom ψ_{R} = Jψ_{R}, dessen Orbit unter SU_{2}R den reellen Unterraum von Sym^{k}R aufspannt. Mit ψ_{R} sind auch alle γψ_{R} mit γ ∈ SU_{2}R Mashimo–Polynome, so daß man sogar eine reelle Basis {ψ_{R,ν}} von Sym^{k}R bestehend aus normierten Mashimo–Polynomen findet. Dann ist

G̃ = \frac{k + 1}{2m} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν}

für jedes 1 ≤ m ≤ k ein Randpunkt von Mk,R^{Mashimo} mit dem gewünschten Rang, denn sein Bild ist gerade der m(k +1)–dimensionale reelle Unterraum von Sym^{k}L⊗Spann{ψ_{R,1}, …, ψ_{R,m}}. Tatsächlich ist G̃ ein sehr spezieller Randpunkt von Mk,R^{Mashimo}, nämlich das Baryzentrum eines Simplexes in ∂Mk,R^{Mashimo}, der durch die Moduli \frac{k+1}{2}ψ_{R,ν} ·Jψ_{R,ν} mit 1, …, m aufgespannt wird. Schließlich wird man kaum erwarten können, zu allen Moduli aus Mk,R^{Mashimo} eine Darstellung der Form \frac{k+1}{2} ∑ ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν} zu finden, in der die Projektion jedes einzelnen Summanden ψ_{R,ν} · Jψ_{R,ν} auf Sym^{4}R schon verschwindet.

Um das Argument auf die ungeraden k zu übertragen, muß man lediglich Sym^{k}R als quaternionischen Vektorraum auffassen, und aus dem Orbit eines normierten Mashimo– Polynoms ψ_{R,ν} eine quaternionische Basis {ψ_{R,ν}} von Sym^{k}R auswählen. Ein Randpunkt G̃ mit dem gewünschten Korang ist dann wie zuvor gegeben durch:

G̃ = \frac{k + 1}{2m} ∑_{ν=1}^{m} ψ_{R,ν} ∧ Jψ_{R,ν} □

Bemerkung 7.11 (Struktur des Randes von Mk^{Mashimo}) Der Beweis zeigt insbesondere auch, daß jeder Randpunkt von Mk^{Mashimo} sich schreiben läßt als Summe G+tG_{0,L} +(1−t)G_{0,R}, 0 ≤ t ≤ 1, der Standardmetrik G und zweier kommutierender Endomorphismen G_{0,L} ∈ M0,k,L^{Mashimo} und G_{0,R} ∈ M0,k,R^{Mashimo} mit jeweils kleinstem Eigenwert −1. Wenn 0 < t < 1 ist, dann sind G_{0,L} und G_{0,L} dadurch eindeutig bestimmt. Die Randpunkte der Form G+tG_{0,L}+(1−t)G_{0,R} mit 0 < t < 1 liegen nun aber auf der Verbindungsstrecke der beiden Randpunkte G + G_{0,L} und G + G_{0,R}, so daß der Rand von Mk^{Mashimo} eine geometrische Realisierung der topologischen Union der Ränder von Mk,L^{Mashimo} und Mk,R^{Mashimo} ist:

∂Mk^{Mashimo} = ∂Mk,L^{Mashimo} ∗ ∂Mk,R^{Mashimo}

Der Beweis von Satz 7.10 ist im Fall k = 4 unvollständig, weil das angegebene Argument lediglich zeigt, daß der Korang eines Randpunkts G ∈ ∂Mk^{Mashimo} das Produkt von zwei Zahlen n_{L} und n_{R} aus einer wohldefinierten Teilmenge von {1, …, 5} ist. Diese Teilmenge wird erst in Kapitel 8 bestimmt, wo auf die Randstruktur dieses speziellen Falls sehr viel genauer eingegangen wird. Das Ergebnis aus Satz 7.10 und Bemerkung 7.11 findet sich für k = 4 nebst einer näheren Beschreibung dieses Randes schon in Toth–Ziller [T&Z].

Alle äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert gehen somit in Zielsphären der Dimension mindestens k bzw. 2k + 1, je nachdem ob k gerade oder ungerade ist, und der Satz 7.10 könnte zu der Vermutung verleiten, daß die nicht äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen nicht nur als Abbildungen schwieriger zu verstehen sind, sondern stets in Sphären vergleichsweise hoher Dimension gehen. Allerdings zeigen die oben angesprochenen Beispiele äquivarianter minimaler isometrischer Immersionen mit flachen Deformationen, daß dies so nicht richtig sein kann:

Bemerkung 7.12 (Jenseits der äquivarianten Immersionen) Zumindest für gewisse gerade k sind die minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S_{V}, deren Zielsphären die kleinstmögliche Dimension besitzen, keine äquivarianten minimalen isometrischen Immersionen. Das zeigt, daß es in dem jenseits des Unterkegelschnitts Mk^{Mashimo} weitgehend unbekannten Modulraum M_{k}^{(1)} der minimalen isometrischen Immersionen noch einiges zu entdecken gibt.

Der Satz von Moore und der Modulraum M_{λ_{4}} der S^{3}

Der Satz von Moore bestimmt eine untere Schranke für die Dimension der Zielsphären aller minimalen isometrischen Immersion der Sphäre S^{n−1} in Sphären S_{W} ⊂ W. Der Ausgangspunkt dieses Arguments sind die Gaußgleichungen

⟨R_{X,Y} Z, U⟩ = ⟨II_{W} (X, U), II_{W} (Y, Z)⟩ − ⟨II_{W} (X, Z), II_{W} (Y, U)⟩

die man als affin lineare Bedingung an den Modul ⟨II_{W} , II_{W} ⟩ der zweiten Fundamentalform II_{W} in jedem Punkt interpretieren kann. In diesem Sinne ist der Modul der zweiten Fundamentalform ein Element eines Kegelschnitts, der im allgemeinen vom betrachteten Punkt p ∈ N abhängt. Auf den Sphären sind alle diese Kegelschnitte isomorph, und mit Hilfe eines Ergebnisses von Cartan kann man die Frage nach dem möglichen Rang eines Randpunkts vollständig beantworten.

Dadurch erhält man sofort eine punktweise untere Abschätzung für die Dimension des Bildes der zweiten Fundamentalform II. Die noch etwas bessere Abschätzung des Satzes von Moore erzielt man, indem man auch die Ableitungen der Fundamentalform mit in Betracht zieht. Interessanterweise hat nun der Kegelschnitt der Lösungen der Gaußgleichungen selbst eine Interpretation als Unterkegelschnitt M4,L^{Mashimo} ≅ M4,R^{Mashimo} des Modulraums M_{λ_{4}} der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert. Infolgedessen induziert das angesprochene Ergebnis von Cartan die Starrheit von Immersionen der S^{3} in die S^{9} zu diesem Eigenwert. Im Anschluß daran werden die minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} in die S^{14} zum selben Eigenwert klassifiziert. Dieses Ergebnis interessiert besonders wegen des Zusammenhangs mit den zweiten Fundamentalformen allgemeiner minimaler isometrischer Immersionen der S^{3}.

8.1 Der Kegelschnitt der zweiten Fundamentalformen

Definition 8.1 (Überkreuzen von Tensorfaktoren) Durch kreuzweise Vertauschung von Tensorfaktoren kann man einer symmetrischen Bilinearform G auf der zweiten symmetrischen Potenz Sym^{2}V eines Vektorraums V eine symmetrische Bilinearform G^{×} auf der zweiten äußeren Potenz Λ^{2}V zuordnen vermöge der Formel:

G^{×}(X ∧ Y, Z ∧ U) := G(XZ, Y U) − G(XU, Y Z) X, Y, Z und U ∈ V

Dieses Überkreuzen definiert eine lineare Abbildung × : Sym^{2}Sym^{2}V^{∗} ⟶ Sym^{2}Λ^{2}V^{∗}, die verknüpft mit der symmetrischen Multiplikation Sym^{2}V^{∗}×Sym^{2}V^{∗} ⟶ Sym^{2}Sym^{2}V^{∗} auch unter dem Namen Nomizu–Kulkarni–Produkt bekannt ist.

Diese lineare Abbildung ist im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Tatsächlich ist ihr Bild gerade der Raum der Lösungen der ersten Bianchi–Identität in Sym^{2}Λ^{2}V^{∗} und Kern und Kokern werden vollständig durch die exakte ”Symbolsequenz der Riemannschen Geometrie“ beschrieben:

0 ⟶ Sym^{4}V^{∗} ⟶^{Δ} Sym^{2}Sym^{2}V^{∗} ⟶^{×} Sym^{2}Λ^{2}V^{∗} ⟶^{∧} Λ^{4}V^{∗} ⟶ 0

Es sei an dieser Stelle darauf verzichtet, den Beweis für die Exaktheit zu führen. Es ist nämlich einfach, sich davon zu überzeugen, daß diese Sequenz ein Komplex ist, zu dem man explizit eine Nullhomotopie konstruieren kann. Man vergleiche diese exakte Sequenz aber mit Bemerkung 4.18.

Stattdessen sei lieber ein besonders wichtiges Beispiel berechnet. Ist N eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, dann zerfällt die SO T_{p}N–Darstellung Sym^{2}T_{p}^{∗}N = ℝg ⊕ H^{2}T_{p}^{∗}N in zwei irreduzible Summanden, während Λ^{2}T_{p}^{∗}N zumindest für dim N > 4 irreduzibel ist. Also müssen die nach dem Lemma von Schur zwei linear unabhängigen, invarianten, symmetrischen Bilinearformen in Sym^{2}Sym^{2}T_{p}^{∗}N beide auf ein Vielfaches der eindeutigen, invarianten Bilinearform in Sym^{2}Λ^{2}T_{p}^{∗}N abgebildet werden. Genauer gilt für die spezielle Wahl dieser beiden Bilinearformen

G (XY, ZU) := g(X, Z)g(Y, U) + g(X, U)g(Y, Z) − \frac{2}{dim N} g(X, Y)g(Z, U)
g ⊗ g(XY, ZU) := g(X, Y)g(Z, U)

die Gleichung:

(g⊗g)^{×}(X∧Y, Z∧U) = g(X, Z)g(Y, U) − g(X, U)g(Y, Z) = −\frac{dim N}{dim N + 2}G^{×}(X∧Y, Z∧U)

Man beachte, daß G+ \frac{2}{dim N} g⊗g und (g⊗g)^{×} die üblichen Fortsetzungen von g auf Sym^{2}T_{p}N bzw. Λ^{2}T_{p}N sind. Infolgedessen ist G die Standardmetrik auf dem Unterraum H^{2}T_{p}N von Sym^{2}T_{p}N, denn der kometrische Tensor g^{−1} liegt in Kern G. Betrachtet man nun eine isometrische Immersion ϕ : N ⟶ S_{W} ⊂ W in die Sphäre vom Radius r eines euklidischen Vektorraums W, so zerfällt die zweite Fundamentalform II_{W} von ϕ als Immersion in den Vektorraum W wie im Beweis des Lemmas 2.1 von Takahashi in die Summe II_{W} = II− \frac{1}{r^{2}} g⊗ϕ der zweiten Fundamentalform II als Immersion in die S_{W} und einen radialen Teil −\frac{1}{r^{2}} g⊗ϕ. Damit kann man die Gaußgleichungen für den Krümmungstensor von N im Punkt p schreiben als:

g(R_{X,Y} Z, U) = − ⟨II_{W} , II_{W} ⟩^{×}(X ∧ Y, Z ∧ U)
= − ⟨II, II⟩^{×}(X ∧ Y, Z ∧ U) − \frac{1}{r^{2}} (g ⊗ g)^{×}(X ∧ Y, Z ∧ U)

Wie man sieht, ist dies eine affin lineare Zwangsbedingung an den Modul der zweiten Fundamentalform, das heißt der Modul der zweiten Fundamentalform einer isometrischen Immersion in eine Sphäre ist in jedem Punkt p ∈ N ein Element eines Kegelschnitts in P^{+}Sym^{2}T_{p}^{∗}N. Gemäß der Symbolsequenz der Riemannschen Geometrie sind alle diese Kegelschnitte nach dem Raum M_{0} = ΔSym^{4}T_{p}^{∗}N ⊂ Sym^{2}Sym^{2}T_{p}^{∗}N modelliert. Allerdings hängt die Struktur dieser Kegelschnitte auch vom Krümmungstensor von N im betrachteten Punkt p ab. Dabei kann es natürlich passieren, daß der Kegelschnitt nicht mehr reduziert und der tatsächliche Parameterraum seiner Reduktion nur ein Unterraum von Sym^{4}T_{p}^{∗}N ist.

Nun muß die zweite Fundamentalform einer minimalen isometrischen Immersion in eine Sphäre außerdem noch spurfrei sein, daß heißt der Kern ihres Moduls ⟨II, II⟩ enthält den kometrischen Tensor g^{−1} ∈ Sym^{2}T_{p}N. Das gleiche gilt dann auch für die Differenz Δψ zweier Lösungen. Diese Bedingung an Δψ ist aber gleichbedeutend damit, daß ψ ∈ Sym^{4}T_{p}^{∗}N harmonisch ist. Der Unterkegelschnitt aller Moduli zweiter Fundamentalformen minimaler isometrischer Immersionen ist demzufolge modelliert nach:

M0^{minimal} = ΔSym^{4}T_{p}^{∗}N ∩ Sym^{2}H^{2}T_{p}^{∗}N = ΔH^{4}T_{p}^{∗}N

Wenn die Riemannsche Mannigfaltigkeit N selbst die n−1–dimensionale runde Sphäre S^{n−1} ist, dann können diese beiden Kegelschnitte völlig explizit hingeschrieben werden. Offensichtlich nämlich kann die S^{n−1} in sich selbst totalgeodätisch eingebettet werden, weshalb ihr Krümmungstensor von der Form −(g ⊗ g)^{×} sein muß. Der Kegelschnitt aller Moduli zweiter Fundamentalformen isometrischer Immersionen ist dann die Menge der positiv semidefiniten Lösungen ⟨II, II⟩ der Gleichungen

⟨II, II⟩^{×} = (1 − \frac{1}{r^{2}} )(g ⊗ g)^{×}

das heißt der Kegelschnitt (1 − \frac{1}{r^{2}} )g ⊗ g + ΔSym^{4}T_{p}^{∗}S^{n−1} ∩ P^{+}Sym^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1}. Zumindest für r < 1 enthält der Unterkegelschnitt der Moduli zweiter Fundamentalformen minimaler isometrischer Immersionen nach der vorangegangenen Rechnung ein positives Vielfaches von G von maximalem Rang, ist also der reduzierte Kegelschnitt:

P^{+}Sym _{0}^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1} ∩ (\frac{1}{r^{2}} − 1)\frac{n − 1}{n + 1}G + ΔH^{4}T_{p}^{∗}S^{n−1}

Der positive Vorfaktor spielt keine Rolle bei der weiteren Beschreibung der Geometrie dieses Kegelschnitts. Für den Rest dieses Kapitels wird daher nur der Kegelschnitt M = G+ΔH^{4}V^{∗} in Sym^{2}H^{2}V^{∗} für euklidische Vektorräume V und die Standardmetrik G auf H^{2}V betrachtet.

Übrigens stellt die Bedingung r < 1 nur scheinbar eine Einschränkung dar, denn wie man sich leicht überlegt gibt es keine positiv semidefinite, spurfreie Lösung ⟨II, II⟩ der Gaußgleichungen für r > 1 und nur die triviale Lösung ⟨II, II⟩ = 0 im Falle r = 1. Alternativ kann man mit Hilfe des Lemmas 2.1 von Takahashi folgern, daß die zum k–ten Eigenwert λ_{k} assoziierten minimalen isometrischen Immersionen in eine Sphäre vom Radius r^{2} = \frac{dim S^{n−1}}{λ_{k}} = \frac{n−1}{k(n+k−2)} gehen, so daß nur die zur Identität id : S^{n−1} ⟶ S^{n−1} äquivalenten minimalen isometrischen Immersionen zum ersten Eigenwert die Bedingung r < 1 verletzen.

8.2 Der Beweis der Sätze von Cartan und Moore

Die Definition der Bilder und Kerne symmetrischer Bilinearformen aus Kapitel 6 kann auf naheliegende Weise zur Definition der höheren Bilder und Kerne eines beliebigen homogenen Polynoms verallgemeinert werden, denn die Komultiplikation Δ erlaubt es stets, ein vorgegebenes Polynom ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} mit Δψ ∈ Sym^{d}V^{∗} ⊗ Sym^{k−d}V^{∗} auch als Homomorphismus Δψ : Sym^{d}V ⟶ Sym^{k−d}V^{∗} aufzufassen, der etwa v_{1} · . . . · v_{d} nach v_{d}⌟ … v_{1}⌟ψ schickt. Demnach sind die höheren Bilder und Kerne von ψ definiert durch:

Kern^{(d)}ψ := {𝔙 ∈ Sym^{d}V : 𝔙⌟ψ = 0}
Im^{(k−d)}ψ := {𝔙⌟ψ : 𝔙 ∈ Sym^{d}V }
= Spann{v_{1}⌟ … v_{d}⌟ψ : v_{1}, …, v_{d} ∈ V }

Insbesondere ist Im^{(k−d)}ψ der kleinste Unterraum von Sym^{k−d}V^{∗}, für den Δψ bereits in Sym^{d}V^{∗} ⊗ Im^{(k−d)}ψ und deshalb sogar in Im^{(d)}ψ ⊗ Im^{(k−d)}ψ liegt. Folglich ist Kern^{(d)}ψ der Annihilator von Im^{(d)}ψ in Sym^{d}V und ψ induziert selbst einen kanonischen Isomorphismus:

Δψ : (Im^{(d)}ψ)^{∗} ≅ Sym^{d}V/Kern^{(d)}ψ ⟶^{≅} Im^{(k−d)}ψ

Bemerkung 8.2 (Interpretation des Bilds Im^{(1)}ψ) Nach Definition ist der Annihilator Kern^{(1)}ψ von Im^{(1)}ψ der Unterraum aller v ∈ V, für die gemäß Korollar A.3 die partielle Ableitung v⌟ψ in Richtung v überall auf V verschwindet. Somit ist ψ als Polynom konstant auf Hyperbenen parallel zu Kern^{(1)}ψ und stammt eigentlich von einem Polynom auf V/Kern^{(1)}ψ her. Insofern kann man Im^{(1)}ψ auch als den kleinsten Unterraum von V^{∗} definieren, für den ψ im Bild der Inklusion Sym^{k}Im^{(1)}ψ ⟶ Sym^{k}V^{∗} liegt. Ähnliche Interpretationen gibt es für höhere Bilder nicht.

Im folgenden betrachtet man speziell homogene Polynome ψ ∈ Sym^{2k}V^{∗} von geradem Grad, für die die induzierten symmetrischen Bilinearformen Δψ ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} positiv semidefinit sind. Diese Polynome sind automatisch konvex, werden dadurch aber nicht hinreichend charakterisiert. Beispiele für diese Polynome findet man für alle k ≥ 1 mit einem Ansatz der Form ψ = ∑ \frac{1}{(2k)!}α_{ν}^{2k} mit beliebigen α_{ν} ∈ V^{∗}. Das Klassifikationsergebnis 8.4 von Cartan besagt im wesentlichen, daß alle Polynome ψ mit Δψ ≥ 0 und der zusätzlichen Eigenschaft dim Im^{(k)}ψ = dim Im^{(k−1)}ψ bereits von dieser Form sind. Zwecks weiterer Verwendung sei der genauen Formulierung jedoch noch eine allgemeine Schlußweise vorangestellt, die mit großer Regelmäßigkeit benutzt und ständig neu abgeleitet wird, sich aber selten explizit formuliert findet:

Lemma 8.3 (Lemma von Guillemin [BCGGG]) Ein linearer Unterraum A ⊂ V^{∗} ⊗ W von Homomorphismen von V nach W induziert für jeden Vektor v ∈ V eine exakte Sequenz, die A mit dem Bild Av ⊂ W von v unter A und dem entsprechenden Annihilator Ann_{v}A = {A ∈ A : Av = 0} in Beziehung setzt:

0 ⟶ Ann_{v}A ⟶^{⊂} A ⟶^{v} Av ⟶ 0

Die nach unten halbstetige, ℤ–wertige Funktion dim Av nimmt auf einer Zariski–offenen Teilmenge von V, der Menge der regulären Vektoren, ihr Maximum an. Für jeden regulären Vektor v und alle ṽ ∈ V gilt:

(Ann_{v}A)ṽ ⊂ Av

Beweis: Mit v ∈ V sind auch alle Vektoren nahe v regulär, so daß ϵ ⟼ A(v + ϵṽ) für genügend kleine ϵ eine glatte Kurve in der Graßmannschen aller dim Av–dimensionalen Unterräume von W ist. Für jedes ϵ ≠ 0 gilt nun (Ann_{v}A)ṽ = (Ann_{v}A)(v+ϵṽ) ⊂ A(v+ϵṽ), so daß diese Inklusion auch noch für ϵ = 0 bestehen muß. □

Satz 8.4 (Klassifikationsergebnis von Cartan [Car]) Sei ψ ∈ Sym^{2k}V^{∗} ein homogenes Polynom vom Grad 2k auf V, für das Δψ ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} positiv semidefinit ist. Dann gilt dim Im^{(k)}ψ ≥ dim Im^{(k−1)}ψ und im Falle der Gleichheit zudem

ψ = ∑_{ν=1}^{m} \frac{1}{(2k)!}α_{ν}^{2k} α_{1}, …, α_{m} ∈ V^{∗}

mit bis aufs Vorzeichen eindeutigen α_{ν}, deren Potenzen α_{ν}^{k−1} eine Basis von Im^{(k−1)}ψ sind.

Beweis: Der Beweis folgt dem ursprünglichen Beweis von Cartan [Car] wie er auch in Moore [Mo] erscheint mit veränderter Notation. Zunächst ist Im^{(k−1)}ψ nach Definition der kleinste Unterraum von Sym^{k−1}V^{∗}, für den man ΔIm^{(k)}ψ ⊂ V^{∗} ⊗ Sym^{k−1}V^{∗} schon als linearen Raum von Homorphismen von V nach Im^{(k−1)}ψ auffassen kann. In diesem Sinne ist Im^{(k−1)}ψ gerade der Spann der Bilder aller Homomorphismen in ΔIm^{(k)}ψ.

Im ersten Schritt wird nun gezeigt, daß für einen regulären Vektor v ∈ V zu ΔIm^{(k)}ψ die Abbildung v⌟ : Im^{(k)}ψ ⟶ Im^{(k−1)}ψ surjektiv ist. Der vorangegangenen Bemerkung zufolge reicht es dazu zu zeigen, daß für jeden Vektor ṽ ∈ V bereits ṽ⌟Im^{(k)}ψ ⊂ v⌟Im^{(k)}ψ gilt. Weil Δψ ∈ Sym^{2}Sym^{k}V^{∗} positiv semidefinit auf Sym^{k}V ist, gibt es nach Korollar 6.5 ein eindeutiges ”orthogonales“ Komplement K von Ann_{v}Im^{(k)}ψ in Im^{(k)}ψ mit:

Δψ ∈ Sym^{2}Ann_{v}Im^{(k)}ψ ⊕ Sym^{2}K

Nun benutzt man ein typisches Tensorargument. Der Summand aus Sym^{2}Ann_{v}Im^{(k)}ψ fällt bei Kontraktion mit v sicherlich weg, so daß es nach dem Trägheitssatz von Sylvester eine Basis ψ_{1}, …, ψ_{m} von K gibt mit:

(ṽ⌟ ⊗ v⌟)Δψ = ∑_{ν=1}^{m} ṽ⌟ψ_{ν} ⊗ v⌟ψ_{ν}

Die im Anhang A näher erläuterte Eigenschaft (v⌟ ⊗ 1)Δψ = Δ(v⌟ψ) = (1 ⊗ v⌟)Δψ der Komultiplikation Δ impliziert an dieser Stelle, daß (ṽ⌟ ⊗ v⌟)Δψ = Δ(ṽ⌟v⌟ψ) jedenfalls eine symmetrische Bilinearform auf Sym^{k−1}V ist. Nach Definition ist v⌟ auf K aber injektiv, so daß die v⌟ψ_{ν} genau wie die ψ_{ν} immer noch linear unabhängig sind. Deshalb ist das Bild der symmetrischen Bilinearform (ṽ⌟ ⊗ v⌟)Δψ einerseits der Spann ṽ⌟K der ṽ⌟ψ_{ν}, andererseits aber auch enthalten im Spann v⌟K der v⌟ψ_{ν}.

Zusätzlich gilt für den regulären Vektor v dem Lemma 8.3 von Guillemin zufolge sowieso schon die Inklusion ṽ⌟Ann_{v}Im^{(k)}ψ ⊂ v⌟Im^{(k)}ψ, zusammengenommen folgt daraus ṽ⌟Im^{(k)}ψ ⊂ v⌟Im^{(k)}ψ. Die Abbildung v⌟ : Im^{(k)}ψ ⟶ Im^{(k−1)}ψ ist also surjektiv. Man beachte die subtile Rolle der Bedingung Δψ ≥ 0 in diesem ersten Schritt. Sie gewährleistet, daß man das Komplement K so wählen kann, daß Δψ keine ”gemischten Terme“ in Ann_{v}Im^{(k)}ψ ⊗ K besitzt. Die Ungleichung dim Im^{(k)}ψ ≥ dim Im^{(k−1)}ψ sollte denn auch sehr viel allgemeiner gelten.

Absolut unverzichtbar ist die Bedingung Δψ ≥ 0 aber für den Beweis der Starrheitsaussage. Unter der Voraussetzung dim Im^{(k)}ψ = dim Im^{(k−1)}ψ induziert jeder regulärer Vektor v zunächst einen Isomorphismus v⌟ von Im^{(k)}ψ nach Im^{(k−1)}ψ. Somit ist die symmetrische Bilinearform (v⌟ ⊗ v⌟)Δψ der kometrische Tensor eines positiv definiten Skalarprodukts auf Im^{(k−1)}ψ. Dieses Skalarprodukt kann man folglich auch so charakterisieren, daß eine Basis von Im^{(k−1)}ψ der Form v⌟ψ_{1}, …, v⌟ψ_{m} mit geeigneten ψ_{ν} ∈ Im^{(k)}ψ genau dann eine Orthonormalbasis ist, wenn

Δψ = ∑_{ν=1}^{m} ψ_{ν} ⊗ ψ_{ν}

gilt. Zusätzlich ermöglicht der Isomorphismus v⌟ die Definition der Endomorphismen

Lṽ : Im^{(k−1)}ψ ⟶ Im^{(k−1)}ψ, v⌟ψ ⟼ ṽ⌟ψ

für alle ṽ ∈ V. Wendet man Lṽ auf einen Faktor des kometrischen Tensors (v⌟ ⊗ v⌟)Δψ an

(Lṽ ⊗ 1)(v⌟ ⊗ v⌟)Δψ = (ṽ⌟ ⊗ v⌟)Δψ = Δ(ṽ⌟v⌟ψ)

so erhält man einen symmetrischen Tensor. Das bedeutet aber nichts anderes, als daß Lṽ ein symmetrischer Endomorphismus von Im^{(k−1)}ψ und folglich diagonalisierbar ist. Geht man noch einen Schritt weiter und wendet zwei dieser symmetrischen Endomorphismen auf je einen der beiden Faktoren des kometrischen Tensors an

(Lṽ_{1} ⊗ Lṽ_{2})(v⌟ ⊗ v⌟)Δψ = (ṽ_{1}⌟ ⊗ ṽ_{2}⌟)Δψ = Δ(ṽ_{1}⌟ṽ_{2}⌟ψ)

so erhält man immer noch einen symmetrischen Tensor in Sym^{2}Im^{(k−1)}ψ. Für zwei symmetrische Endomorphismen ist dies aber offensichtlich äquivalent dazu, daß sie kommutieren. Somit gibt es eine Orthonormalbasis von Im^{(k−1)}ψ bestehend aus gemeinsamen Eigenvektoren v⌟ψ_{ν} aller Lṽ mit geeigneten ψ_{ν} ∈ Im^{(k)}ψ. Diese ψ_{ν} erfüllen demnach partielle Differentialgleichungen

ṽ⌟ψ_{ν} = Lṽ(v⌟ψ_{ν}) = α_{ν}(ṽ)v⌟ψ_{ν}

mit gewissen Linearformen α_{ν} ∈ V^{∗}, so daß Im^{(1)}ψ_{ν} = ℝα_{ν} eindimensional ist. Nach Bemerkung 8.2 gilt deshalb nach geeigneter Skalierung der α_{ν} bereits ψ_{ν} = ±\frac{1}{k!}α_{ν}^{k}. Die obige Charakterisierung des Skalarprodukts auf Im^{(k−1)}ψ lautet dann für die Orthonormalbasis v⌟ψ_{1}, …, v⌟ψ_{m}:

Δψ = ∑_{ν=1}^{m} ψ_{ν} ⊗ ψ_{ν} = ∑_{ν=1}^{m} \frac{1}{k!}α_{ν}^{k} ⊗ \frac{1}{k!}α_{ν}^{k}

Infolgedessen gilt ψ = ∑ \frac{1}{(2k)!}α_{ν}^{2k}. Nach Konstruktion sind die α_{ν}^{k−1} eine Basis von Im^{(k−1)}ψ. An diesem Beispiel sieht man auch, daß die regulären Vektoren v zu ΔIm^{(k)}ψ gerade diejenigen Vektoren aus V sind, die auf keiner der Hyperebenen {α_{ν} = 0} liegen. □

Korollar 8.5 (Punktweise Abschätzung) Die zweite Fundamentalform einer minimalen isometrischen Immersion der S^{n−1} in eine Sphäre vom Radius r < 1 nimmt in jedem Punkt p ∈ S^{n−1} Werte in einem mindestens (n − 2)–dimensionalen Vektorraum an, denn ihr Modul ⟨II, II⟩ ∈ Sym^{2}H^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1} in p hat mindestens Rang n − 2.

Beweis: Die Gaußgleichungen für die isometrischen Immersionen der S^{n−1} kann man nach Abschnitt 8.1 auch in der Form schreiben:

⟨II, II⟩^{×} = (1 − \frac{1}{r^{2}} )(g ⊗ g)^{×}

Somit liegt ⟨II, II⟩+(\frac{1}{r^{2}} −1)(g ⊗g) im Kern von × : Sym^{2}Sym^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1} ⟶ Sym^{2}Λ^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1}. Gemäß der exakten Symbolsequenz existiert deshalb ein Polynom ψ ∈ Sym^{4}T_{p}^{∗}S^{n−1} mit:

Δψ = ⟨II, II⟩ + (\frac{1}{r^{2}} − 1)g ⊗ g

Weil nach Voraussetzung r < 1 gilt, ist Δψ wie ⟨II, II⟩ positiv semidefinit. Außerdem ist II die Fundamentalform einer minimalen Immersion, das heißt der kometrische Tensor g^{−1} liegt in Kern ⟨II, II⟩. Kontrahiert man einmal mit ihm, so folgt g ∈ Im^{(2)}ψ und zwangsläufig Im^{(1)}ψ = T_{p}^{∗}S^{n−1}. Mit Hilfe des Klassifikationsergebnisses 8.4 von Cartan schließt man daraus Rang Δψ ≥ n − 1. Folglich hat ⟨II, II⟩ mindestens Rang n − 2. □ Das Klassifikationsergebnis 8.4 besagt aber noch etwas mehr in dem Fall, in dem der Modul der zweiten Fundamentalform im betrachteten Punkt p ∈ S^{n−1} gerade Rang n − 2 hat. Nach geeigneter Skalierung findet man dann nämlich eine Basis {α_{ν}} von T_{p}^{∗}S^{n−1} mit:

⟨II, II⟩ + (\frac{1}{r^{2}} − 1)g ⊗ g = (n − 1)(\frac{1}{r^{2}} − 1)Δψ = (n − 1)(\frac{1}{r^{2}} − 1) ∑_{ν=1}^{n−1} \frac{1}{2}α_{ν}^{2} ⊗ \frac{1}{2}α_{ν}^{2}

Kontrahiert man diese Gleichung mit dem kometrischen Tensor im Kern von ⟨II, II⟩, dann lautet das Ergebnis:

g = \frac{1}{2} ∑_{ν=1}^{n−1}⟨α_{ν}, α_{ν}⟩α_{ν}^{2}

Diese Gleichheit kann nur bestehen, wenn die {α_{ν}} eine Orthonormalbasis von T_{p}^{∗}S^{n−1} bilden. Diese Basis ist eindeutig bis auf Vorzeichen und Permutationen, denn die Quadrate \frac{1}{2}α_{ν}^{2} der α_{ν} spannen gerade den Raum Im^{(2)}ψ = Im ⟨II, II⟩ ⊕ ℝg auf, der keine weiteren Quadrate von Einheitsvektoren mehr enthält. Es gibt eben nicht sehr viele Diagonalmatrizen mit Rang und Spur 1. Deshalb sind alle Moduli zweiter Fundamentalformen mit Rang n−2 konjugiert zueinander unter SO T_{p}^{∗}S^{n−1}, und die Standgruppe eines Moduls ist isomorph zur Gruppe SO_{n−1}ℤ.

Bemerkung 8.6 (Der Kegelschnitt H^{4}V^{∗} in Sym^{2}H^{2}V^{∗}) Insbesondere hat jeder Randpunkt des Kegelschnitts M = G + ΔH^{4}V^{∗} in Sym^{2}H^{2}V^{∗} durch die Standardmetrik G von H^{2}V mindestens den Rang dim V −1. Alle Randpunkte mit diesem minimalen Rang sind unter SO V zueinander konjugiert, und ihre Standgruppe in SO V ist isomorph zu SO_{dim V −1}ℤ.

Der Normalenraum einer minimalen isometrischen Immersion der Sphäre S^{n−1} in eine Sphäre vom Radius r < 1 muß somit mindestens Dimension n − 2 haben, die Zielsphäre hat also mindestens Dimension 2n − 3. Durch einen Widerspruchsbeweis kann man auch die Zieldimension 2n − 3 ausschließen, indem man neben den ”tangentialen“ Gaußgleichungen für die zweite Fundamentalform II der minimalen isometrischen Immersion ϕ : S^{n−1} ⟶ S_{W} ⊂ W auch die Normalkomponente der allgemeineren Gaußgleichungen

(∇_{X}II_{W})(Y, Z) − (∇_{Y} II_{W})(X, Z) = −(R_{X,Y} Z)ϕ

für die zweite Fundamentalform II_{W} als Immersion in den Vektorraum W in Betracht zieht:

Satz 8.7 (Satz von Moore [Mo] [E&R]) Es gibt keine minimale isometrische Immersion der S^{n−1}, n ≥ 4, in eine Zielsphäre vom Radius r < 1 und der Dimension kleiner als 2n − 2. Infolgedessen gibt es in keinem der Modulräume M_{λ_{k}} von do Carmo–Wallach einen Randpunkt vom Rang kleiner als 2 dim V −1.

Beweis: Aufgrund des Klassifikationsergebnisses 8.4 von Cartan in Form des Korollars 8.5 gibt es jedenfalls keine minimale isometrische Immersion in eine Sphäre vom Radius r < 1 und der Dimension kleiner als 2n − 3. Angenommen es gebe nun eine Immersion ϕ : S^{n−1} ⟶ S_{W} in eine Sphäre eines euklidischen Vektorraums W mit dim W = 2n − 2. Dann erlaubt die Starrheitsaussage aus dem Klassifikationsergebnis den Schluß, daß es in jedem Punkt p eine Orthonormalbasis {α_{ν}} von T_{p}^{∗}S^{n−1} gibt mit:

⟨II, II⟩ + (\frac{1}{r^{2}} − 1)g ⊗ g = (n − 1)(\frac{1}{r^{2}} − 1) ∑_{ν=1}^{n−1} \frac{1}{2}α_{ν}^{2} ⊗ \frac{1}{2}α_{ν}^{2}

Konkreter formuliert gilt für die duale Orthonormalbasis {X_{ν}} von T_{p}S^{n−1} und die zweite Fundamentalform II_{W} = II − \frac{1}{r^{2}} g ⊗ ϕ von ϕ als Immersion der S^{n−1} in den Vektorraum W wegen ⟨II_{W} , II_{W} ⟩ = ⟨II, II⟩ + \frac{1}{r^{2}} g ⊗ g

II_{W} (X_{ν}, X_{μ}) =: δ_{ν,μ}ξ_{ν} ⟨ξ_{ν}, ξ_{μ}⟩ = 1 + δ_{ν,μ}(n − 1)(\frac{1}{r^{2}} − 1)

mit den dadurch definierten Normalenvektoren {ξ_{ν}}. Insbesondere sind die ξ_{ν} wegen r < 1 linear unabhängig und spannen damit den Normalenraum von ϕ_{∗}(T_{p}S^{n−1}) in W auf. Infolgedessen kann man ϕ als Linearkombination der ξ_{ν} darstellen. Tatsächlich besagt die Minimalität von ϕ dem Lemma 2.1 von Takahashi zufolge gerade ξ_{1} + … + ξ_{n−1} = \frac{n−1}{r^{2}}ϕ.

Wie der Modul der zweiten Fundamentalform ist auch Δψ = ⟨II_{W} , II_{W} ⟩+g⊗g immer eine glatte symmetrische Bilinearform auf Sym^{2}T_{p}S^{n−1}. Wenn ihr zweites Bild Im^{(2)}ψ und dessen Annihilator Kern^{(2)}ψ dann konstante Dimensionen n − 1 bzw. \frac{n−1}{2}(n − 2) aufweisen, dann müssen sie schon glatte Vektorunterbündel von Sym^{2}T_{p}^{∗}S^{n−1} und Sym^{2}T_{p}S^{n−1} sein. Aber Kern^{(2)}ψ kann man als Raum von Koniken auf ℙT_{p}^{∗}S^{n−1} auffassen, die sich genau in den n − 1 Punkten [α_{ν}] schneiden, denn die α_{ν} sind ja gerade als die bis aufs Vorzeichen einzigen Einheitslinearformen mit \frac{1}{2}α_{ν}^{2} ∈ Im^{(2)}ψ gewählt. Deshalb kann man die \{α_{ν}\} und damit auch die duale Basis {X_{ν}} lokal glatt wählen, und auf den einfach zusammenhängenden Sphären S^{n−1}, n ≥ 4, dann auch global auszeichnen. Für das weitere Argument ist dabei unerheblich, daß allein aus diesem Grund nurmehr die Fälle n = 4 und n = 8 möglich sind. Stattdessen gilt nach Definition der kovarianten Ableitung der zweiten Fundamentalform:

(∇_{X_{ν}}II_{W})(X_{ρ}, X_{μ}) = δ_{ρ,μ}X_{ν}ξ_{ρ} − ⟨∇_{X_{ν}}X_{ρ}, X_{μ}⟩ξ_{μ} − ⟨X_{ρ}, ∇_{X_{ν}}X_{μ}⟩ξ_{ρ}

Deshalb erzwingen die Gaußgleichungen (∇_{X}II_{W})(Y, Z) − (∇_{Y} II_{W})(X, Z) = −(R_{X,Y} Z)ϕ für drei paarweise verschiedene Indizees ν, μ und ρ schon das entscheidende Verschwinden von ⟨X_{ρ}, ∇_{X_{ν}}X_{μ}⟩ = 0. Weil das jedenfalls auch für μ = ρ richtig ist, gilt für die glatten Funktionen f_{ν}^{μ} := ⟨∇_{X_{ν}}X_{μ}, X_{ν}⟩ mit f_{μ}^{μ} = 0 dann ∇_{X_{ν}}X_{μ} = f_{ν}^{μ}X_{ν} für ν ≠ μ und ∇_{X_{ν}}X_{ν} = − ∑_{μ} f_{ν}^{μ}X_{μ}. Umgekehrt folgt daraus durch Einsetzen für die kovarianten Ableitungen der zweiten Fundamentalform

(∇_{X_{ν}}II_{W})(X_{μ}, X_{μ}) = X_{ν}ξ_{μ} (∇_{X_{μ}}II_{W})(X_{ν}, X_{μ}) = − f_{μ}^{ν}ξ_{μ} + f_{μ}^{ν}ξ_{ν}

für alle ν ≠ μ. Benutzt man noch einmal die Gaußgleichungen dann erhält man

(∇_{X_{ν}}II_{W})(X_{μ}, X_{μ}) − (∇_{X_{μ}}II_{W})(X_{ν}, X_{μ}) = − (R_{X_{ν},X_{μ}}X_{μ})ϕ = X_{ν}ξ_{μ} − f_{μ}^{ν}(ξ_{ν} − ξ_{μ})

für alle ν ≠ μ und schließlich den Widerspruch ⟨X_{ν}ξ_{μ}, ξ_{μ}⟩ = −f_{μ}^{ν}(n − 1)(\frac{1}{r^{2}} − 1) = 0. Nach Voraussetzung ist nämlich r < 1 und damit würde diese Gleichung sofort f_{μ}^{ν} = 0 für alle ν ≠ μ implizieren. Dann müßten die Vektorfelder X_{ν} aber schon alle parallel sein. □

8.3 Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert

Im Kapitel 7 wurden die Modulräume M_{k}^{(1)} der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} eingehend beschrieben. Insbesondere wurden die konkreten Beispiele der minimalen isometrischen Immersionen von Mashimo besprochen. Die Moduli dieser Beispiele liegen in einem Unterkegelschnitt Mk^{Mashimo} von M_{k}^{(1)}, für den zumindest alle auftretenden Ränge von Randpunkten durch Satz 7.10 bestimmt sind. Allerdings ist der Beweis dieses Satzes im Fall der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert unvollständig geblieben, er wird in diesem Abschnitt nachgetragen und die Randstruktur dabei sehr viel eingehender beschrieben.

Bereits im Kapitel 7 wurde darauf hingewiesen, daß der Modulraum M_{4}^{(1)} der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert mit dem Unterkegelschnitt M4^{Mashimo} übereinstimmt, und deshalb wie dieser in zwei kommutierende Räume von Endomorphismen zerfällt. Diese beiden Räume sind die reellen Unterräume von Sym^{8}L und Sym^{8}R, die durch reelle Endomorphismen auf je einem der beiden Tensorfaktoren in Sym^{4}L⊗Sym^{4}R operieren und die über die orthogonale Gruppe O_{4}ℝ konjugiert zueinander sind. Deshalb genügt es nur einen dieser beiden Unterräume genau zu beschreiben.

Der springende Punkt ist nun, daß die Darstellungen Sym^{4}R und Sym^{8}R der SU_{2}R auch isomorph zu den Darstellungen auf den komplexen, harmonischen Polynomen H^{2}Sym^{2}R bzw. H^{4}Sym^{2}R auf dem Raum Sym^{2}R sind. Also sind ihre reellen Unterräume als SU_{2}R– Darstellung isomorph zu den Räumen der reellen, harmonischen Polynome H^{2}V^{∗} bzw. H^{4}V^{∗} auf dem reellen Unterraum V von Sym^{2}R. An dieser Stelle stellt sich die entscheidende Frage, wie H^{4}V^{∗} genau in den Raum der symmetrischen Bilinearformen Sym^{2}H^{2}V^{∗} auf H^{2}V eingebettet ist. Das Lemma von Schur garantiert aber, daß die SO V –äquivariante Einbettung via Komultiplikation Δ : H^{4}V^{∗} ⟶ Sym^{2}H^{2}V^{∗} bis auf eine reelle Konstante tatsächlich die reelle Form der Einbettung des Raums Sym^{8}R in Sym^{2}Sym^{4}R ist.

Insbesondere ist der resultierende Kegelschnitt der Kegelschnitt P^{+}H^{2}V^{∗} ∩ G + ΔH^{4}V^{∗} der Lösungen der Gaußgleichungen. Zum weiteren Rechnen braucht man eine Parametrisierung des zugehörigen affinen Raums M = G + ΔH^{4}V^{∗} durch die Standardmetrik G als Unterraum der symmetrischen Bilinearformen auf H^{2}V. Um die Symmetrie nicht zu stören, erweist es sich als zweckmäßig, M dabei als affinen Unterraum der symmetrischen Bilinearformen auf Sym^{2}V aufzufassen, wobei die Zerlegung Sym^{2}V = ℝg^{−1} ⊕ H^{2}V orthogonal und auch die Norm G̃(g^{−1}, g^{−1}) = \frac{3}{2} von g^{−1} für alle G̃ ∈ M gleich ist. Zu einer Orthonormalbasis x, y und z von V kann man dann sofort die abgeleitete Orthonormalbasis \frac{1}{\sqrt{2}}x^{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}y^{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}z^{2} und xy, yz sowie zx von Sym^{2}V angeben. Eine symmetrische Bilinearform G_{0} auf Sym^{2}V, die Komultiplikation Δψ eines Polynoms ψ ∈ Sym^{4}V^{∗} auf V ist, erfüllt nun offensichtlich die zusätzlichen Bedingungen:

\begin{aligned}G_{0}(x^{2}, y^{2}) & = & G_{0}(xy, xy) & =: & 2a & G_{0}(xy, z^{2}) & = & G_{0}(xz, yz) & =: & \sqrt{2}α \\ G_{0}(y^{2}, z^{2}) & = & G_{0}(yz, yz) & =: & 2b & G_{0}(yz, x^{2}) & = & G_{0}(yx, zx) & =: & \sqrt{2}β \\ G_{0}(z^{2}, x^{2}) & = & G_{0}(zx, zx) & =: & 2c & G_{0}(zx, y^{2}) & = & G_{0}(zy, xy) & =: & \sqrt{2}γ \end{aligned}

Diese Bedingungen sind auch schon hinreichend dafür, daß G_{0} = Δψ Komultiplikation eines ψ ∈ Sym^{4}V^{∗} ist, wovon man sich etwa mittels der Symbolsequenz überzeugen kann. Soll dieses ψ zusätzlich harmonisch sein, so muß der kometrische Tensor g^{−1} im Kern von G_{0} liegen, daß heißt die ersten drei Spalten bzw. Zeilen der Matrix von G_{0} in der oben angegeben Basis addieren sich zu 0. Somit erhält man als Parametrisierung des affinen Raums M:

( \begin{matrix}1 − a − c & a & c & −A − α & β & C \\ a & 1 − a − b & b & A & −B − β & γ \\ c & b & 1 − b − c & α & B & −C − γ \\ −A − α & A & α & 1 + 2a & \sqrt{2}γ & \sqrt{2}β \\ β & −B − β & B & \sqrt{2}γ & 1 + 2b & \sqrt{2}α \\ C & γ & −C − γ & \sqrt{2}β & \sqrt{2}α & 1 + 2c \end{matrix} )

Das SO V –invariante Abstandsquadrat zweier Punkte G̃_{1} und G̃_{2} ist in diesen Koordinaten:

dist^{2}(G̃_{1}, G̃_{2}) := 4(a^{2} + b^{2} + c^{2} + α^{2} + β^{2} + γ^{2}) + 2(A^{2} + B^{2} + C^{2})
+ (ab + bc + ca) + 2(Aα + Bβ + Cγ)

Durch Ausprobieren kann man nun versuchen, Teilaspekte dieses Kegelschnitts in konkreten Bildern zu erfassen. Ein ziemlich interessantes Beispiel ist dabei der Unterkegelschnitt M_{Bild}^{+}, bei dem man nur die Koordinaten a, b und c behält und alle anderen auf 0 setzt. Geometrisch ist M_{Bild}^{+} der Schnitt der drei affinen Halbräume a ≥ −\frac{1}{2}, b ≥ −\frac{1}{2} und c ≥ −\frac{1}{2} mit der richtigen Hälfte des Doppelkegels der Lösungen der Ungleichung:

det ( \begin{matrix}1 − a − c & a & c \\ a & 1 − a − b & b \\ c & b & 1 − b − c \end{matrix} ) ≥ 0

Dieser Doppelkegel ist nämlich das Bild des Doppelkegels {det ≥ 0} = P^{+}U ∪ −P^{+}U des zweidimensionalen, orthogonalen Komplements U des kometrischen Tensors g^{−1} im Unterraum ℝg^{−1} ⊕ U = ℝx^{2} ⊕ ℝy^{2} ⊕ ℝz^{2} ⊂ Sym^{2}V. Auf diese Weise erhält man das Bild:

[figure: c; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; b; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; a; \frac{1}{2}; −\frac{1}{2}; (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}); (\frac{3}{4}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}); (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, \frac{3}{4}); (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}); (−\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}); (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, −\frac{1}{2}); (a − \frac{7}{6})(b − \frac{7}{6}) = (\frac{5}{6})^{2}; M_{Bild}^{+}]

Somit besitzt M_{Bild}^{+} genau 4 Randpunkte mit Korang 3 auf H^{2}V. Aufgrund von Bemerkung 8.6 handelt es sich also um Randpunkte von minimalem Rang, die unter der Operation von SO V konjugiert zueinander sind. Man kann M_{Bild} sogar als Zentralisator des Randpunks G_{2} mit Koordinaten a = b = c = −\frac{1}{2} in M charakterisieren, wenn man M als affinen Raum von Endomorphismen auf H^{2}V auffaßt. Geometrisch hat das zur Folge, daß zweidimensionale Unterkegelschnitte von M_{Bild}^{+} durch G_{2} und G ebene, konvexe Polygone sind. Außerdem operiert auf M_{Bild}^{+} deshalb bereits die Standgruppe von G_{2} in SO V, die nach Bemerkung 8.6 isomorph zu SO_{3}ℤ ist.

In der Umgebung des Randpunktes G_{2} von M_{Bild}^{+} mit Koordinaten a = b = c = −\frac{1}{2} liegen offensichtlich Randpunkte von M_{Bild}^{+} vom Korang 1, 2 und 3. Nach Bemerkung 8.6 gibt es hingegen im ganzen Kegelschnitt M^{+} keinen Randpunkt mit Korang 4. Das schließt die im Fall k = 4 verbliebene Lücke im Beweis des Satzes 7.10 und bestimmt die Teilmenge, aus denen n_{L} und n_{R} gewählt werden dürfen zu {1, 2, 3, 5}:

Satz 8.8 (Satz von Toth–Ziller [T&Z]) Alle vollen minimalen isometrischen Immersionen der dreidimensionalen Sphäre S^{3} mit Radius 1 zum vierten Eigenwert λ_{4} = 24 gehen in eine der folgenden Zielsphären mit Radius r^{2} = \frac{1}{8}:

S^{9}, S^{14}, S^{15} oder S^{18} bis S^{24}

Natürlich stellt der Unterkegelschnitt M_{Bild}^{+} nur einen verschwindend kleinen Teil des ganzen Kegelschnitts M^{+} dar. Er spielt im folgenden trotzdem eine zentrale Rolle, weil man an ihm bereits alle wichtigen Punkte erkennen kann. Dazu benötigt man aber zuerst ein besseres Verständnis für die Operation der SO V auf dem Raum H^{2}V, auf dem die Elemente von M symmetrische Bilinearformen definieren. Verwirrenderweise kann man nämlich H^{2}V selbst vermöge der Metrik g als Raum der spurfreien, symmetrischen Endomorphismen auf V bezeichnen. In diesem Sinne stellen die Eigenwerte λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ λ_{3} mit der Bedingung λ_{1} + λ_{2} + λ_{3} = 0 der Spurfreiheit schon ein vollständiges System von Invarianten unter der Gruppe SO V dar. Es stellt sich nun die Frage, wie sich diese zwei effektiven Invarianten zu den in Satz 7.1 definierten zwei Invarianten verhalten. Nach diesem Satz hat nämlich jedes Element aus H^{2}V eine Darstellung r(v_{1} · v_{2})_{0} mit r ≥ 0 und ⟨v_{1}, v_{1}⟩ = 1 = ⟨v_{2}, v_{2}⟩. Als Endomorphismus auf V schreibt sich (v_{1} · v_{2})_{0} = v_{1} · v_{2} − \frac{2}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩g^{−1} auch:

(v_{1} · v_{2})_{0} = ⟨v_{1}, ·⟩ ⊗ v_{2} + ⟨v_{2}, ·⟩ ⊗ v_{1} − \frac{2}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩id_{V}

Insbesondere schickt dieser Endomorphismus v_{1} auf v_{2} + \frac{1}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩v_{1} und v_{2} entsprechend auf v_{1}+\frac{1}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩v_{1}, so daß für linear unabhängige v_{1} und v_{2} die Vektoren v_{1}−v_{2}, v_{1}×v_{2} und v_{1}+v_{2} Eigenvektoren von (v_{1} ·v_{2})_{0} zu paarweise verschiedenen Eigenwerten \frac{1}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩−1, −\frac{2}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩ bzw. \frac{1}{3}⟨v_{1}, v_{2}⟩ + 1 sind. Offenbar gelten diese Formeln auch für linear abhängige v_{1} und v_{2}, jedoch fallen wegen ⟨v_{1}, v_{2}⟩ = ±1 zwei dieser Eigenwerte zusammen:

Definition 8.9 (Die Winkelinvariante für H^{2}V) Jeder spurfreie, symmetrische Endomorphismus ψ ∈ H^{2}V auf einem dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum V hat gemäß Satz 7.1 eine Darstellung ψ = r(v_{1}·v_{2})_{0} mit r ≥ 0 und ⟨v_{1}, v_{1}⟩ = 1 = ⟨v_{2}, v_{2}⟩ und somit nur zwei Invarianten r ≥ 0 und cos φ := ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ∈ [−1, 1] unter SO V. Die Eigenwerte von ψ sind \frac{r cos φ}{3} ±r und −\frac{2r cos φ}{3}. Zusammenfassend gilt damit:

tr ψ = 0  tr ψ^{2} = 2r^{2}(1 + \frac{cos^{2} φ}{3})  tr ψ^{3} = 2r^{3} cos φ(1 − \frac{cos^{2} φ}{9})

Die Invariante φ wird im folgenden als ”Winkel“ von ψ bezeichnet. Weil sich die Winkel von ψ und −ψ zu π addieren, spielen die Endomorphismen ψ ≠ 0 mit Winkel \frac{π}{2} eine besondere Rolle. Sie werden eindeutig durch die Eigenschaft tr ψ^{3} = 0 charakterisiert.

Satz 8.10 (Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2}) Ein zweidimensionaler Unterraum von H^{2}V enthält stets einen Endomorphismus ψ ≠ 0 mit Winkel \frac{π}{2}. Genauer gibt es höchstens drei verschiedene Geraden von Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2}, es sei denn das Polynom tr ψ^{3} verschwindet identisch auf diesem Unterraum. Letzteres ist genau dann der Fall, wenn der Unterraum unter SO V entweder zum Unterraum ℝxy ⊕ ℝ(x^{2} − y^{2}) oder zum Unterraum ℝxy ⊕ ℝyz konjugiert ist.

Beweis: Verschwindet das Polynom tr ψ^{3} nicht identisch auf dem Unterraum, dann gibt es in ihm jedenfalls ein ψ_{1} ≠ 0 mit tr ψ_{1}^{3} ≠ 0. Sind ψ_{1} und ψ_{2} linear unabhängig, dann hat das reelle Polynom t ⟼ tr (tψ_{1} +ψ_{2})^{3} mindestens eine und höchstens drei Nullstellen. Hingegen verschwindet das Polynom tr ψ^{3} genau dann auf Spann{ψ_{1}, ψ_{2}}, wenn alle die Bedingungen

tr ψ_{1}^{3} = tr ψ_{1}^{2}ψ_{2} = tr ψ_{1}ψ_{2}^{2} = tr ψ_{2}^{3} = 0

erfüllt sind. Dann gibt es nach geeigneter Skalierung von ψ_{1} eine orientierte Orthonormalbasis x̃, ỹ und z̃ von V mit ψ_{1} = x̃ỹ. Addiert man ein geeignetes Vielfaches von ψ_{1} zu ψ_{2}, dann haben diese beiden Endomorphismen von V in der gewählten Basis Matrixdarstellungen der Form:

ψ_{1} ∼ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\ & & 0 \end{matrix} ) ψ_{2} ∼ ( \begin{matrix}p_{11} & 0 & p_{13} \\ 0 & p_{22} & p_{23} \\ p_{13} & p_{23} & −p_{11} − p_{22} \end{matrix} )

Es folgt tr ψ_{1}^{2}ψ_{2} = p_{11} + p_{22} sowie tr ψ_{1}ψ_{2}^{2} = 2p_{13}p_{23}. Also gilt p_{22} = −p_{11} und nach eventuellem Vertauschen von x̃ und ỹ kann man außerdem p_{13} = 0 annehmen. Dann erzwingt die letzte Bedingung tr ψ_{2}^{3} = −3p_{11}p_{23}, daß ψ_{1} und ψ_{2} entweder den Raum ℝx̃ỹ ⊕ ℝỹz̃ oder den Raum ℝx̃ỹ ⊕ ℝ(x̃^{2} − ỹ^{2}) aufspannen. Diese beiden Fälle schließen sich gegenseitig aus, denn alle Endomorphismen des zweiten Raums verschwinden auf z̃. □

Bemerkung 8.11 (Randpunkte vom Korang 2 mit flachen Deformationen) Man kann sich sofort davon überzeugen, daß es im affinen Unterraum M = G+ΔH^{4}V^{∗} von Sym^{2}H^{2}V^{∗} nur eine einzige symmetrische Bilinearform G̃ mit Kern G̃ = ℝxy ⊕ ℝ(x^{2} − y^{2}) gibt, die aber Signatur (3, 1) hat. Somit können höchstens die zu ℝxy ⊕ ℝyz konjugierten, zweidimensionalen Unterräume von H^{2}V als Kerne von Randpunkten des Kegelschnitts M^{+} auftreten, auf denen auch das Polynom tr ψ^{3} identisch verschwindet.

Satz 8.12 (Lineare Struktur des Randes) Jeder eindimensionale Unterraum ℝψ ⊂ H^{2}V ist der Kern einer positiv semidefiniten Bilinearform auf H^{2}V aus dem Kegelschnitt M^{+} = P^{+}H^{2}V^{∗} ∩ G + ΔH^{4}V^{∗}. Folglich ist jeder Randpunkt von M^{+} eine flache Deformation eines Randpunktes vom Korang 1.

Beweis: Es genügt zu zeigen, daß es zu jedem möglichen Wert der Winkelinvariante φ einen Randpunkt G̃ ∈ M^{+} gibt, dessen Kern von einem Endomorphismus mit Winkel φ aufgespannt wird. Dazu betrachte man zunächst das Bild des Unterkegelschnitts M_{Bild}^{+} und achte dabei besonders auf die Kegelspitze. Sie gehört zum Randpunkt G_{3} mit Koordinaten a = b = c = \frac{1}{3} vom Korang 2

G_{3} = ( \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{5}{3} \frac{5}{3} \frac{5}{3} )

der von einer ℝP^{1}–Familie der Mantellinien der Kegelspitze umgeben ist, die aus den Randpunkten vom Korang 1 gebildet werden, deren Kern in Kern G_{3} enthalten ist. Weil die Kegelspitze im wesentlichen ein Bild des positiven Kegels P^{+}U des zweidimensionalen, orthogonalen Komplements U des kometrischen Tensors g^{−1} in ℝx^{2} ⊕ ℝy^{2} ⊕ ℝz^{2} ist, zeigt das Bild insbesondere, daß es für jeden eindimensionalen Unterraum von Kern G_{3} einen Randpunkt G̃ von M_{Bild}^{+} gibt, dessen Kern gerade dieser Unterraum ist. Somit bleibt nur zu zeigen, daß auf Kern G_{3} alle möglichen Werte der Winkelinvariante angenommen werden. Tatsächlich wird Kern G_{3} durch (x^{2})_{0}, (y^{2})_{0} und (z^{2})_{0} aufgespannt, und enthält somit auch die Elemente

(cos \frac{φ}{2})^{2}(x^{2})_{0} − (sin \frac{φ}{2})^{2}(y^{2})_{0} = (cos \frac{φ}{2}x + sin \frac{φ}{2}y)(cos \frac{φ}{2}x − sin \frac{φ}{2}y)_{0}

mit Winkel φ ∈ [0, π]. Etwas genauer kann man sich davon überzeugen, daß jeder mögliche Wert φ ≠ 0, π für die Winkelinvariante auf genau sechs Richtungen in Kern G_{3} angenommen wird. □ Der Rand des Kegelschnitts M^{+} der spurfreien Lösungen der Gaußgleichungen ist somit Vereinigung der abgeleiteten Kegelschnitte zu den Randpunkten mit Korang 1. Man beachte, daß der abgeleitete Kegelschnitt zu einem Punkt G̃ ∈ M^{+} nach Definition nur von Kern G̃ abhängt. Somit liegen zwei Korang 1 Randpunkte genau dann im gleichen abgeleiteten Kegelschnitt, wenn sie den gleichen Kern haben. Demgegenüber liegt ein Randpunkt vom Korang 2 (oder höher) in einer ganzen Schar abgeleiteter Kegelschnitte parametrisiert nach der ℝP^{1}–Familie der eindimensionalen Unterräume seines Kerns. Im diesem Kern gibt es Satz 8.10 zufolge stets mindestens einen eindimensionalen Unterraum von Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2}. Anders ausgedrückt, jeder Randpunkt vom Korang mindestens 2 ist flache Deformation eines Randpunkts mit Korang 1, dessen Kern nur Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2} enthält:

Korollar 8.13 (Randpunkte mit Korang mindestens 2) Zu jedem Randpunkt G̃ vom Korang 2 oder höher existiert mindestens ein γ ∈ SO V, so daß γG̃ flache Deformation eines fest gewählten Randpunkts G\frac{π}{2} ist, dessen Kern ein eindimensionaler Raum von Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2} ist. Insbesondere ist die Menge aller Randpunkte vom Korang mindestens 2 zusammenhängend.

Um alle Randpunkte mit Korang mindestens 2 zu klassifizieren, muß man also nur noch einen Randpunkt G\frac{π}{2} vom Korang 1 wählen, dessen Kern von einem Endomorphismus mit Winkel \frac{π}{2} aufgespannt wird. Die Randpunkte seines abgeleiteten Kegelschnitts repräsentieren dann die Orbiten der Gruppe SO V in der Menge der Randpunkte von M^{+} mit Korang mindestens 2. Schaut man nochmals auf das Bild des Unterkegelschnitts M_{Bild}^{+}, dann sieht man, daß der Kern des Randpunkts G\frac{π}{2} mit a = b = 0 und c = −\frac{1}{2} von zx aufgespannt wird. Der abgeleitete Kegelschnitt zu G\frac{π}{2} wird parametrisiert durch

M\frac{π}{2} := ( \begin{matrix}\frac{3}{2} − a & a & −\frac{1}{2} & −A \\ a & 1 − a − b & b & A & −B \\ −\frac{1}{2} & b & \frac{3}{2} − b & & B \\ −A & A & & 1 + 2a \\ & −B & B & & 1 + 2b \\ & & & & & 0 \end{matrix} )

und ist somit vierdimensional. Das gilt allgemeiner für alle abgeleiteten Kegelschnitte zu Randpunkten vom Korang 1, wie ein Zählargument von Toth–Ziller [T&Z] zeigt. Kritisch ist dabei nur der Fall der Randpunkte mit Kern ℝ(v^{2})_{0} mit v ∈ V vom Winkel 0 bzw. π, weil dieser Raum durch eine Einparameteruntergruppe der SO V stabilisiert wird.

Nach Definition enthält M\frac{π}{2} alle G̃ ∈ M mit Kern G̃ ⊃ ℝzx. Deshalb operiert auf M\frac{π}{2} immer noch die Standgruppe des eindimensionalen Unterraums ℝzx in SO V, die man sofort als semidirektes Produkt S_{2}⋉ℤ_{2}^{2} erkennt. Die S_{2} vertauscht a ↔ b und A ↔ B, während je eine ℤ_{2} durch Multiplikation mit ±1 auf A und B operiert. Ein G̃ aus M\frac{π}{2} ist genau dann positiv semidefinit auf Sym^{2}V, wenn es auf einem Komplement von ℝzx in H^{2}V positiv semidefinit ist. Zu einem solchen G̃ definiere man nun Ã := \frac{A}{1+2a} und B̃ := \frac{B}{1+2b}, wobei A = 0 dem Hurwitz–Kriterium 6.2 zufolge sowieso verschwindet, falls a = −\frac{1}{2} sein sollte. In diesem Fall kann man also beruhigt auch Ã = 0 setzen. Dann wird ein geeignetes Komplement durch die Endomorphismen

ψ_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}x^{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}y^{2} + 2Ãxy − B̃yz und ψ_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}y^{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}z^{2} − Ãxy + 2B̃yz

zusammen mit xy und yz aufgespannt. Die Matrix von G̃ bezüglich dieser Basis ist:

( \begin{matrix}\frac{5}{2} − 4(a + AÃ) − (b + BB̃) & 2(a + AÃ) + 2(b + BB̃) − \frac{1}{2} \\ 2(a + AÃ) + 2(b + BB̃) − \frac{1}{2} & \frac{5}{2} − (a + AÃ) − 4(b + BB̃) \\ & & 1 + 2a \\ & & & 1 + 2b \end{matrix} )

Also ist G̃ genau dann positiv semidefinit auf Sym^{2}V, wenn

a ≥ −\frac{1}{2}  b ≥ −\frac{1}{2}  und (a + AÃ − \frac{7}{6})(b + BB̃ − \frac{7}{6}) ≥ (\frac{5}{6})^{2}

gilt und G̃ zusätzlich in der richtigen Hälfte der Lösungen der letzten Bedingung liegt. Nachdem man sich überzeugt hat, daß kein G̃ ∈ M +_{\frac{π}{2}} identisch auf dem Spann von ψ_{1} und ψ_{2} verschwindet, kann man den Korang von G̃ als Randpunkt von M^{+} bestimmen, der einfach die Anzahl der scharf erfüllten Ungleichungen unter diesen drei Bedingungen plus 1 für den stets im Kern enthaltenen Unterraum ℝzx ist.

Bevor auf die Mehrdeutigkeiten dieses Repräsentantensystems der Orbiten der SO V in der Menge der Randpunkte von M^{+} mit Korang mindestens 2 näher eingegangen wird, sei zunächst die Geometrie des Kegelschnitts M +_{\frac{π}{2}} beschrieben. Wegen ÃA ≥ 0 sowie B̃B ≥ 0 projeziert M +_{\frac{π}{2}} auf die konvexe Menge

\{(a, b) : a, b ≥ −\frac{1}{2} und (a − \frac{7}{6})(b − \frac{7}{6}) ≥ (\frac{5}{6})^{2} sowie a + b ≤ \frac{7}{3}\} ⊂ ℝ^{2}

wobei die Bedingung a+b ≤ \frac{7}{3} nur die richtige Hälfte der Lösungen von (a− \frac{7}{6})(b− \frac{7}{6}) ≥ (\frac{5}{6})^{2} auswählt. Diese durch einen Hyperbelbogen begrenzte Ecke taucht auch schon in der obigen Darstellung des Kegelschnitts M_{Bild}^{+} auf. Das Urbild jedes Punktes (a, b) aus dieser Ecke ist eine durch die zusätzlichen Koordinaten A und B bestimmte, mehr oder weniger runde Scheibe, welche Zusammenhangskomponente der Lösungsmenge der angegebenen, für festes a, b > −\frac{1}{2} quartischen Ungleichung in A und B ist. Deshalb ist sie im allgemeinen nur unter den Spiegelungen A ⟼ −A und B ⟼ −B invariant, die in der Standgruppe S_{2}⋉ℤ_{2}^{2} von ℝzx enthalten sind.

Diese Scheibe wird zum Hyperbelbogen hin gleichmäßig in A und B immer kleiner, nähert man sich jedoch etwa a = −\frac{1}{2}, so geht auch A gegen 0 und die Scheibe entartet zu einem Intervall. Das legt den Gedanken nahe, daß der Rand des Kegelschnitts M +_{\frac{π}{2}} nur in a = −\frac{1}{2} oder b = −\frac{1}{2} Singularitäten besitzt. Tatsächlich reduzieren sich die Bedingung an b und B in a = −\frac{1}{2} wegen A = 0 zu:

4(b − \frac{1}{8})^{2} + 2B^{2} + \frac{35}{16} ≤ \frac{15}{4}

In der SO V –invarianten Metrik auf Sym^{2}H^{2}V^{∗} bzw. im zugehörigen SO V –invarianten Abstandsquadrat ist dies eine Kreisscheibe, Sie korrespondiert zu einer Einparameteruntergruppe der SO V unter der alle Randpunkte dieser Kreisscheibe zueinander konjugiert sind. Ebenso sind sie unter der Standgruppe von ℝzx konjugiert zu den Randpunkten einer zweiten Kreisscheibe in b = −\frac{1}{2}, B = 0. Weil somit alle Randpunkte von M +_{\frac{π}{2}} vom Korang 3 unter SO V konjugiert sind, erhält man auf diese Weise einen neuen, expliziten Beweis der Starrheitsaussage aus Bemerkung 8.6 im Fall dim V = 3.

Die Kreisscheibe in a = −\frac{1}{2} zeigt jedenfalls, daß der Rand des Kegelschnitts M +_{\frac{π}{2}} als Repräsentantensystem der Randpunkte des Kegelschnitts M^{+} vom Korang mindestens 2 Mehrdeutigkeiten besitzt, die sich nicht alleine durch die Standgruppe S_{2}⋉ℤ_{2}^{2} des eindimensionalen Unterraums ℝzx erklären lassen. Allerdings liegt die Ursache eben dieser Mehrdeutigkeiten nach Korollar 8.13 in der Auswahl einer Gerade aus Endomorphismen mit Winkel \frac{π}{2}. Deshalb existieren die beiden Kreisscheiben im Rand von M +_{\frac{π}{2}} nur deshalb, weil das Polynom tr ψ^{3} auf den zwei Unterräumen ℝxy ⊕ ℝzx und ℝyz ⊕ ℝzx identisch verschwindet.

Es gibt aber nach dem Beweis von Satz 8.10 zusammen mit Bemerkung 8.11 keine weiteren möglichen Kerne für positiv semidefinite Bilinearformen aus M^{+}, die ℝzx enthalten und auf denen das Polynom tr ψ^{3} identisch verschwindet. Infolgedessen zerfällt der Schnitt eines Orbits der SO V mit dem Komplement dieser beiden Kreisscheiben im Rand von M +_{\frac{π}{2}} in höchstens drei Orbiten der Standgruppe S_{2}⋉ℤ_{2}^{2} von ℝzx. Zusammenfassend läßt sich die Beschreibung aller Randpunkte des Kegelschnitts M +_{\frac{π}{2}} in die folgende Klassifikation der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert übersetzen:

Satz 8.14 (Minimale isometrische Immersionen der S^{3}) Alle Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen der S^{3} in die S^{9} zum vierten Eigenwert sind unter der Operation der Isometriegruppe O_{4}ℝ zueinander konjugiert [T&Z]. Die Orbiten der Äquivalenzklassen minimaler isometrischer Immersionen der S^{3} in die S^{14} zum selben Eigenwert unter der Operation der Isometriegruppe O_{4}ℝ werden durch zwei Mengen, ein halboffenes Intervall für die Moduli auf den Kreisscheiben in a = −\frac{1}{2} bzw. b = −\frac{1}{2} und die Menge der Lösungen der Gleichung

(a + \frac{A^{2}}{1 + 2a} − \frac{7}{6})(b + \frac{B^{2}}{1 + 2a} − \frac{7}{6}) = (\frac{5}{6})^{2}

in a, A, b und B mit a, b > −\frac{1}{2} und a+b ≤ \frac{7}{3} parametrisiert. Dabei ist die Parametrisierung in der zweiten Menge nicht eindeutig, und selbst in dem Quotienten dieser Menge durch die Operation der Gruppe S_{2}⋉ℤ_{2}^{2} entsprechen noch bis zu drei verschiedene Punkte einem Orbit der Isometriegruppe O_{4}ℝ.

Korollar 8.15 (Minimalität und Abstand zur Standardimmersion) Die Moduli der minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} in die S^{9} zum vierten Eigenwert sind gerade diejenigen Randpunkte des Modulraums M_{4}^{(1)} mit dem größten Abstand zur Standardimmersion G. Umgekehrt haben die ihnen gegenüberliegenden Randpunkte unter allen Moduli von minimalen isometrischen Immersionen der S^{3} in die S^{14} den geringsten Abstand zu G.

Beweis: Offensichtlich kann das invariante Abstandsquadrat auf einem Randpunkt mit flachen Deformationen nicht maximal werden. In erster Linie betrifft dies nach Bemerkung 7.11 die Moduli minimaler isometrischer Immersionen der S^{3} zum vierten Eigenwert, deren Moduli weder in M4,L^{Mashimo} noch in M4,R^{Mashimo} liegen. Insofern nimmt das invariante Abstandsquadrat sein Maximum in jedem Fall auf den Randpunkten von M4,L^{Mashimo} und M4,R^{Mashimo} an. Somit kann man sich ganz auf den Kegelschnitt M^{+} in Sym^{2}H^{2}V^{∗} zurückziehen, aber selbst dann können alle Randpunkte vom Korang 1 ignoriert werden. Es genügt also, die entsprechende Aussage für den abgeleiteten Kegelschnitt M +_{\frac{π}{2}} zu beweisen, auf dem das invariante Abstandsquadrat gegeben ist durch:

dist^{2}(G, G + G_{0}) = 4a^{2} + 4b^{2} + ab − \frac{1}{2}(a + b) + 2A^{2} + 2B^{2} + 1

Auf den beiden Kreisscheiben in a = −\frac{1}{2} und b = −\frac{1}{2} nimmt dieses Abstandsquadrat alle Werte zwischen \frac{35}{16} und \frac{15}{4} an. Um sein Verhalten auf dem glatten Teil des Randes von M +_{\frac{π}{2}} zu bestimmen, muß man zuerst die Randpunkte finden, in denen der Gradient des Abstandsquadrats linear abhängig vom Gradienten der Nebenbedingung

(\frac{5}{6})^{2} = (a + \frac{A^{2}}{1 + 2a} − \frac{7}{6}) · (b + \frac{B^{2}}{1 + 2b} − \frac{7}{6}) =: A · B

ist, das heißt:

(8a+b− \frac{1}{2}, 4A, 8b+a− \frac{1}{2}, 4B) ∼ ((1− \frac{2A^{2}}{(1 + 2a)^{2}} )B, \frac{2A}{1 + 2a}B, (1− \frac{2B^{2}}{(1 + 2b)^{2}} )A, \frac{2B}{1 + 2b}A)

Das führt wegen B ≠ 0 sofort auf die Bedingungen A = 0 und damit A = a − \frac{7}{6} oder alternativ

2 − \frac{4A^{2}}{(1 + 2a)^{2}} = \frac{1}{1 + 2a}(8a + b − \frac{1}{2})

was man auch als A = −\frac{13}{24} − \frac{b}{4} schreiben kann. Entsprechend gilt auch B = 0 und damit B = b − \frac{7}{6} oder B = −\frac{13}{24} − \frac{a}{4}. Drei Fälle der notwendigen Fallunterscheidung lassen sich dann leicht als irrelevant nachweisen, nur im Fall A = B = 0 sind die beiden Gradienten (8a + b − \frac{1}{2}, 0, 8b + a − \frac{1}{2}, 0) und (a − \frac{7}{6}, 0, b − \frac{7}{6}, 0) genau im Randpunkt a = b = \frac{1}{3} und A = B = 0 linear abhängig. Also nimmt das invariante Abstandsquadrat in diesem Punkt mit dem Wert \frac{5}{3} sein Minimum auf dem Rand von M +_{\frac{π}{2}} an. □

100

Anhang A

Symmetrische und äußere Algebra

Für einen reellen oder komplexen Vektorraum V sei Sym^{0}V^{∗} der Grundkörper ℝ bzw. ℂ und Sym^{k}V^{∗} für k > 0 der Vektorraum der symmetrischen k–Multilinearformen auf V. Die symmetrische Algebra ist dann die direkte Summe Sym V^{∗} := ⨁_{ν≥0} Sym^{ν}V^{∗}, ausgestattet mit dem graduierten Shuffleprodukt

(ψ · ϕ)(v_{1}, …, v_{k+l}) := ∑ ψ(v_{σ(1)}, …, v_{σ(k)}) ϕ(v_{σ(k+1)}, …, v_{σ(k+l)})

für ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} und ϕ ∈ Sym^{l}V^{∗}, wobei die Summe über ein vollständiges Repräsentantensystem {σ} der Rechtsnebenklassen S_{k+l}/(S_{k} × S_{l}) der symmetrischen Gruppe S_{k+l} geht. Weil ψ und ϕ selber symmetrisch sind, hängt das Produkt nicht von der Auswahl der Repräsentanten ab. Ein spezielles Repräsentantensystem sind die Shuffles, die durch die Bedingung σ(1) < … < σ(k) und σ(k + 1) < … < σ(k + l) charakterisiert werden. Sie stellen gerade alle möglichen Permutationen beim Mischen von Spielkarten dar, daher der Name.

Entsprechend kann man Repräsentanten der Nebenklassen S_{k_{1}+···+k_{r}}/(S_{k_{1}} × … × S_{k_{r}}) als höhere Shuffles bezeichnen. Offensichtlich lassen sich iterierte Shuffleprodukte stets als Summen über diese höheren Shuffles hinschreiben, wodurch zum Beispiel die Assoziativität des Shuffleprodukts trivial wird. Speziell ist ein S_{k}/(S_{1} × … × S_{1})–Shuffle nichts anderes als eine Permutation, und für das iterierte Shuffleprodukt von k Linearformen α_{1}, …, α_{k} ∈ V^{∗} erhält man die ”Gramsche“ Permanente:

(α_{1} · . . . · α_{k})(v_{1}, …, v_{k}) = ∑_{σ∈S_{k}} α_{1}(v_{σ(1)}) · . . . · α_{k}(v_{σ(k)}) =: per ( \begin{matrix}α_{1}(v_{1}) & ⋯ & α_{k}(v_{1}) \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ α_{1}(v_{k}) & ⋯ & α_{k}(v_{k}) \end{matrix} )

Auf der symmetrischen Algebra Sym V^{∗} operieren nun V^{∗} und V durch die graduierten Operatoren des Shuffleprodukts α· mit α ∈ V^{∗} und der Kontraktion v⌟ mit v ∈ V, die durch Einsetzen als erstes Argument (v⌟ψ)(v_{1}, …, v_{k}) := ψ(v, v_{1}, …, v_{k}) definiert werden kann. Durch Entwickeln der Gramschen Permanente nach der ersten Zeile erhält man die explizite Formel:

v⌟(α_{1} · . . . · α_{k}) := ∑_{ν=1}^{k} α_{ν}(v)(α_{1} · . . . · α̂_{ν} · . . . · α_{k})

Insbesondere ist v⌟ eine Derivation der symmetrischen Algebra, und folgerichtig gilt die Kommutatorrelation [v⌟, α·] = α(v). Mit Hilfe dieser Operatoren kann man den bosonischen Zahloperator als Summe ∑ de_{ν} · e_{ν}⌟ über ein duales Basenpaar {e_{ν}} und {de_{ν}} von V und V^{∗} definieren. Auf V^{∗} ist er die Identität nach Definition und als Derivation operiert er auf Sym^{k}V^{∗} durch Multiplikation mit k, bestimmt also die Graduierung der symmetrischen Algebra. Durch Iteration erhält man so die ”Taylorformeln“ für ψ ∈ Sym^{k}V^{∗}:

ψ = \frac{1}{k!} ∑_{ν_{1},...,ν_{k}} ψ(e_{ν_{1}}, …, e_{ν_{k}}) de_{ν_{1}} · . . . · de_{ν_{k}}

= ∑_{s_{1}+···+s_{n}=k} \frac{1}{s_{1}! · . . . · s_{n}!} ψ(\underbrace{e_{1}, …, e_{1}}_{s_{1}}, …, \underbrace{e_{n}, …, e_{n}}_{s_{n}}) de_{1}^{s_{1}} · . . . · de_{n}^{s_{n}}

Also wird die symmetrische Algebra von den Linearformen erzeugt, die Monome de_{1}^{s_{1}}·. . .·de_{n}^{s_{n}} mit s_{1}+⋯+s_{n} = k sind eine Basis von Sym^{k}V^{∗}. Insbesondere ist die Dimension von Sym^{k}V^{∗} gerade \binom{n−1+k}{k}. Außerdem erlaubt dies die Definition einer kanonischen Paarung

⟨α_{1} · . . . · α_{k}, v_{1} · . . . · v_{k}⟩ := (α · . . . · α_{k})(v_{1}, …, v_{k})

die Sym^{k}V mit dem Dualraum (Sym^{k}V^{∗})^{∗} und das direkte Produkt Sym V := ∐_{ν≥0} Sym^{ν}V mit dem Dualraum der symmetrischen Algebra identifiziert. Sym V trägt deshalb neben der Algebrastruktur auch eine Komultiplikation Δ als Adjungierte des Shuffleprodukts. Sie läßt sich auf zerlegbaren Elementen offensichtlich mit der Formel

Δ(v_{1} · . . . · v_{r}) = ∑_{k+l=r} ∑_{{σ}} v_{σ(1)} · . . . · v_{σ(k)} ⊗ v_{σ(k+1)} · . . . · v_{σ(k+l)}

berechnen, wobei die innere Summe über ein vollständiges Repräsentantensystem {σ} der Rechtsnebenklassen S_{k+l}/(S_{k} × S_{l}) geht. Insbesondere ist die Komultiplikation auch der eindeutig bestimmte Homomorphismus Δ : Sym V ⟶ Sym V ⊗ Sym V von Algebren mit Δv = v ⊗ 1 + 1 ⊗ v für alle v ∈ V. Ihre charakteristische Eigenschaft kann man ebenfalls der expliziten Formel entnehmen:

(α⌟ ⊗ 1) ∘ Δ = Δ ∘ α⌟ = (1 ⊗ α⌟) ∘ Δ für alle α ∈ V^{∗}

Von Interesse sind allerdings hauptsächlich die graduierten Versionen der Komultiplikation Δ_{k,l} : Sym^{k+l}V ⟶ Sym^{k}V ⊗ Sym^{l}V, die ebenfalls als Komultiplikationen bezeichnet werden. Alle diese Abbildungen sind injektiv, denn unter der symmetrischen Multiplikation m : Sym^{k}V ⊗ Sym^{l}V ⟶ Sym^{k+l}V gilt offenbar m ∘ Δ = \binom{k+l}{k}.

Alle bis jetzt eingeführten Definitionen machen neben der symmetrischen Algebra mit geeigneten Vorzeichen auch für die äußere Algebra Λ V^{∗} Sinn. Lediglich bei der Komultiplikation muß man beachten, daß Δ nur für die getwistete Multiplikation auf dem Tensorprodukt Λ V^{∗} ˆ⊗Λ V^{∗} ein Homomorphismus von Algebren wird. Die besondere Eigenschaft der symmetrischen Algebra ist nun, daß man sie mit der Algebra der Polynome über dem Vektorraum V identifizieren kann:

Definition A.1 (Multilinearformen und Polynome) Für eine k–Multilinearform ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} definiert man das zugehörige Polynom ψ[ ·] durch

ψ[x] = \frac{1}{k!}ψ(x, …, x) = ⟨ψ, \frac{1}{k!}x^{k}⟩ x ∈ V

Für allgemeine Elemente von ψ ∈ Sym V^{∗} wird ψ[x] entsprechend durch ψ[x] := ⟨ψ, e^{x}⟩ definiert, wobei die formale Expotentialreihe e^{x} = ∑_{ν≥0} \frac{1}{ν!}x^{ν} als Element des direkten Produkts Sym V zu verstehen ist.

Bemerkung A.2 Etwas ungewohnt gehört nach dieser Definition zu einem Skalarprodukt g ∈ Sym^{2}V^{∗} auf V das Polynom g[x] = \frac{1}{2}g(x, x). Insbesondere wird die Einheitssphäre S_{V} von V durch das Polynom 2g − 1 definiert.

Das Entscheidende an dieser Definition ist, daß die natürliche Multiplikation auf C^{∞}V bzw. ℂ^{∞}V eingeschränkt auf das Bild von Sym V^{∗} mit dem Shuffleprodukt übereinstimmt. Davon kann man sich durch direktes Einsetzen der Definitionen überzeugen, abstrakter ist der Hinweis darauf, daß die Expotentialreihe nicht nur multiplikativ e^{x+y} = e^{x} · e^{y}, sondern auch komultiplikativ Δe^{x} = e^{x} ⊗ e^{x} ist. Benutzt man nun Δ als Adjungierte des Shuffleprodukts, so erhält man:

(ψ · φ)[x] = ⟨ψ · φ, e^{x}⟩ = ⟨ψ ⊗ φ, Δe^{x}⟩ = ⟨ψ ⊗ φ, e^{x} ⊗ e^{x}⟩ = ψ[x]φ[x]

Außerdem erlaubt diese Definition eine neue Interpretation der Operatoren v⌟:

ψ[x + tv] = \frac{1}{k!}ψ(x + tv, …, x + tv) = \frac{1}{k!}ψ(x, …, x) + t\frac{1}{(k − 1)!}(v⌟ψ)(x, …, x) + O(t^{2})

Korollar A.3 (Partielle Ableitungen) Der Operator v⌟ entspricht unter Sym^{k}V^{∗} ⊂ C^{∞}V bzw. ℂ^{∞}V der partiellen Ableitung in Richtung v ∈ V.

Insbesondere ist der Wert der k–Multilinearform ψ auf Vektoren v_{1}, …, v_{k} ∈ V einfach der Wert der iterierten partiellen Ableitung (v_{k}⌟ … v_{1}⌟ψ) = ψ(v_{1}, …, v_{k}) an irgendeiner Stelle. Deshalb ist die Abbildung von Sym V^{∗} nach C^{∞}V bzw. ℂ^{∞}V nicht nur ein Homomorphismus von Algebren, sondern auch injektiv, das heißt eine Einbettung. Aus diesem Grunde heißt Sym^{k}V^{∗} der Raum der homogenen Polynome vom Grad k über V. Explizit kann man die k–Multilinearform ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} mittels der Polarisationsformeln aus dem zugehörigen Polynom ψ[ ·] bestimmen:

Satz A.4 (Polarisationsformeln) Ist V ein Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0, dann spannen die k–ten Potenzen v^{k} der Vektoren v ∈ V den Raum der homogenen Polynome Sym^{k}V vom Grad k über V^{∗} auf. Dual dazu kann man den Wert ψ(v_{1}, …, v_{k}) einer symmetrischen k–Multilinearform ψ ∈ Sym^{k}V^{∗} aus den Werten des zugehörigen Polynoms ψ[·] an gewissen Stellen berechnen:

ψ(v_{1}, …, v_{k}) = ∑_{l=1}^{k}(−1)^{k−l} ∑_{ν_{1}<...<ν_{l}}ψ[v_{ν_{1}} + ⋯ + v_{ν_{l}}] = \frac{1}{2^{k}} ∑_{ϵ_{ν}∈\{±1\}}ϵ_{1} · . . . · ϵ_{k} · ψ[ϵ_{1}v_{1} + ⋯ + ϵ_{k}v_{k}]

Beweis: Zum Beweis betrachte man die Funktion e^{x} − 1 = x + O(x^{2}) für x ∈ ℝ. Für alle x_{1}, …, x_{k} ∈ ℝ gilt dann offensichtlich:

x_{1} · . . . · x_{k} = (e^{x_{1}} − 1) · . . . · (e^{x_{k}} − 1) + O(x^{k+1})
= ∑_{l=0}^{k} ∑_{ν_{1}<...<ν_{l}}(−1)^{k−l}e^{x_{ν_{1}}+···+x_{ν_{l}}} + O(x^{k+1})

Der homogene Teil vom Grad k dieser Gleichung

x_{1} · . . . · x_{k} = \frac{1}{k!} ∑_{l=1}^{k}(−1)^{k−l} ∑_{ν_{1}<...<ν_{l}}(x_{ν_{1}} + ⋯ + x_{ν_{l}})^{k}

ist etwa durch Taylorentwicklung in 0 wohldefiniert. Eine ziemlich ähnliche Gleichung erhält man, wenn man anstatt mit e^{x} −1 mit der Funktion 2 sinh \frac{x}{2} = e^{\frac{x}{2}} −e^{− \frac{x}{2}} = x+O(x^{2}) startet. Beide Gleichungen gelten für alle x_{1}, …, x_{k} ∈ ℝ und sind deswegen schon Polynomidentitäten im Ring ℚ[x_{1}, …, x_{k}]. Als solche gelten sie dann aber bereits für alle Elemente einer Algebra über ℚ, etwa für beliebige v_{1}, …, v_{k} ∈ V in Sym V:

v_{1} · . . . · v_{k} = \frac{1}{k!} ∑_{l=1}^{k}(−1)^{k−l} ∑_{ν_{1}<...<ν_{l}}(v_{ν_{1}} + ⋯ + v_{ν_{l}})^{k}

= \frac{1}{2^{k}k!} ∑_{ϵ_{ν}∈\{±1\}}ϵ_{1} · . . . · ϵ_{k} (ϵ_{1}v_{1} + ⋯ + ϵ_{k}v_{k})^{k}

Diese Gleichungen stellen das Monom v_{1} · . . . · v_{k} als Linearkombination der k–ten Potenzen dar und beweisen damit die erste Aussage. Die dualen Polarisationsformeln erhält man durch Paaren mit ψ ∈ Sym^{k}V^{∗}. □

Am Schluß dieses Anhangs sei noch auf eine spezielle Eigenart zweidimensionaler Vektorräume über ℂ hingewiesen, die aus der Tatsache folgt, daß der Grundkörper ℂ algebraisch abgeschlossen ist. Zusammen mit der Polarisationsformel impliziert sie die Hermite– Reziprozität A.6. Eine weitere Konsequenz ist übrigens die Existenz der Normalform harmonischer Polynome über ℝ^{3}, die in Satz 7.1 bewiesen wird.

Lemma A.5 (Punkte auf der projektiven Geraden über ℂ) Für einen zweidimensionalen Vektorraum S über ℂ läßt sich jedes homogene Polynom ψ vom Grad k über S als Produkt ψ = α_{1} · . . . · α_{k} von k Linearformen α_{1}, …, α_{k} ∈ S^{∗} schreiben. Diese sind eindeutig bis auf Permutation und Multiplikation mit Skalaren ξ ∈ ℂ^{∗}.

Beweis: Sei ψ ≠ 0 ein beliebiges Polynom vom Grad k und p ∈ S ein Punkt mit ψ[p] ≠ 0. Dann gibt es eine Zerlegung S ≅ ℂp⊕ℂq und eine zugehörige Karte der projektiven Geraden ℙS ≅ ℂP^{1}, die [s] nach z := \frac{dp(s)}{dq(s)} ∈ ℂ schickt. Im unendlich fernen Punkt p mit z = ∞ verschwindet das Polynom ψ nicht und definiert dadurch ein Polynom ψ̃[z] := ψ[zp + q] vom Grad k über ℂ mit Leitkoeffizient ψ[p] ≠ 0, das über dem algebraisch abgeschlossenen Körper ℂ vollständig in Linearfaktoren ψ̃ = c(z − λ_{1}) · . . . · (z − λ_{k}) zerfällt. Folglich ist auch ψ ein Vielfaches des Produkts der Linearformen α_{ν} := (dp − λ_{ν}dq) ∈ S^{∗}. □

Satz A.6 (Hermite–Reziprozität [F&H]) Für einen zweidimensionalen Vektorraum S über ℂ gibt es einen GL S–äquivarianten Isomorphismus von Sym^{k}Sym^{l}S^{∗} und Sym^{l}Sym^{k}S^{∗}. Insbesondere sind beide Räume als GL S– Darstellungen äquivalent. Für höherdimensionale Vektorräume S ist die Abbildung immer noch wohldefiniert, aber im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv.

Beweis: Zunächst gibt es eine natürliche Abbildung von Sym^{k}Sym^{l}S^{∗} nach Sym^{l}Sym^{k}S^{∗}. Bettet man nämlich Sym^{k}Sym^{l}S^{∗} in das iterierte Tensorprodukt (S^{∗⊗l})^{⊗k} ein, das man sich als k × l–Matrix von S–Faktoren vorstelle, dann kann man Zeilen und Spalten vertauschen und demgemäß das Bild eines Elements aus Sym^{k}Sym^{l}S^{∗} nach Sym^{l}Sym^{k}S^{∗} multiplizieren. Diese Abbildung ist GL S–äquivariant und wird im wesentlichen durch die Formel

\frac{1}{k!}(\frac{1}{l!}α_{1}^{l}) · . . . · (\frac{1}{l!}α_{k}^{l}) ⟼ (α_{1} · . . . · α_{k})^{l}

für alle α_{1}, …, α_{k} ∈ S^{∗} charakterisiert, ist aber im allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Falls nun aber S ein zweidimensionaler Vektorraum über ℂ ist, dann spannen die Bilder der (\frac{1}{l!}α_{1}^{l}) · . . . · (\frac{1}{l!}α_{k}^{l}) nach der Polarisationsformel A.4 zusammen mit Lemma A.5 bereits Sym^{l}Sym^{k}S^{∗} auf, die obige Abbildung ist also surjektiv. Weil Sym^{k}Sym^{l}S^{∗} und Sym^{l}Sym^{k}S^{∗} als Vektorräume über ℂ beide Dimension \binom{l+k}{k} haben, erhält man auf diese Weise einen Isomorphismus. □

Faßt man einen zweidimensionalen komplexen Vektorraum S als Darstellung der Gruppe SL S auf, so kann man aus der invarianten, symplektischen Form ω = det auf S übrigens leicht eine SL S–äquivariante Abbildung

ω^{\frac{k(k−1)}{2}} ⌟ : \underbrace{Sym^{k+l−1}S ⊗ … ⊗ Sym^{k+l−1}S}_{k} ⟶ \underbrace{Sym^{l}S ⊗ … ⊗ Sym^{l}S}_{k}

konstruieren, indem man jedes Paar von Faktoren genau einmal mit ω kontrahiert. Nach dem im Beweis der Clebsch–Gordon–Formel angegebenen Argument ist jede einzelne Kontraktion zweier Faktoren mit ω und folglich auch ω^{\frac{k(k−1)}{2}} ⌟ selbst surjektiv. Außerdem antikommutiert es nach Konstruktion mit allen Transpositionen zweier Faktoren und induziert somit surjektive, SL S–äquivariante Abbildungen:

Λ^{k}Sym^{k+l−1}S ⟶ Sym^{k}Sym^{l}S Sym^{k}Sym^{k+l−1}S ⟶ Λ^{k}Sym^{l}S

Somit sind die beiden Vektorräume Λ^{k}Sym^{k+l−1}S und Sym^{k}Sym^{l}S der Dimension \binom{k+l}{k} äquivalent als SL S–Darstellungen [F&H], was sofort die Interpretation der Hermite–Reziprozität als Hodge–Isomorphismus Λ^{k}Sym^{k+l−1}S ≅ Λ^{l}Sym^{k+l−1}S nahelegt. Ein Beispiel für die zweite Abbildung im Fall k = 2 kann man aus der Clebsch–Gordon–Formel B.4 ablesen.

106

Anhang B

Darstellungstheorie von 𝔰𝔩_{2}

In diesem Anhang werden die benötigten Formeln der Darstellungstheorie der Liealgebra 𝔰𝔩_{2} hergeleitet. Nun ist die Theorie der endlich–dimensionalen Darstellungen weithin bekannt, aber in dieser Arbeit werden auch etwas allgemeinere Darstellungen betrachtet:

Definition B.1 (Niedrigstgewichtsdarstellungen) Eine Darstellung der Liealgebra 𝔰𝔩_{2} auf einen möglicherweise unendlich–dimensionalen Vektorraum V heißt Niedrigstgewichtsdarstellung, wenn H diagonalisierbar und Y lokal nilpotent ist, das heißt für alle ψ ∈ V gibt es ein k < ∞ mit Y^{k}ψ = 0.

Satz B.2 (Darstellungstheorie der 𝔰𝔩_{2}) Sei V eine Niedrigstgewichtsdarstellung der Liealgebra 𝔰𝔩_{2}, ψ ∈ V ein Eigenvektor von H zum Eigenwert λ und k ∈ ℕ mit Y^{k+1}ψ = 0. Gilt dann λ ≠ 2, 3, …, 2k, so kann man ψ als Summe in seine isotypischen Komponenten zerlegen:

ψ = ψ_{0} + Xψ_{1} + X^{2}ψ_{2} + ⋯ + X^{k}ψ_{k}

Dabei sind die ψ_{ν} ∈ Kern Y definiert durch

ψ_{ν} := \frac{1}{ν![−λ + 2ν]_{ν}} ∑_{μ=0}^{k−ν} \frac{X^{μ}Y^{μ+ν}}{μ![λ − 2ν − 2]_{μ}} ψ

wobei [x]_{ν} := x(x−1) ⋯ (x−ν +1) = (−1)^{ν}[−x+ν −1]_{ν} das faktorielle Polynom bezeichnet.

Beweis: Mit Hilfe der Kommutatorrelation [Y, X^{μ}] = −μX^{μ−1}(H + μ − 1) überzeugt man sich leicht davon, daß die ψ_{ν} im Kern von Y liegen, denn wendet man Y auf die definierenden Summen an, so werden diese Teleskopsummen, die sich zu 0 addieren. Es ist vielleicht interessanter zu zeigen, daß sich die X^{ν}ψ_{ν} tatsächlich zu ψ summieren. Dazu beginnt man mit der für alle k ≥ 0 gültigen Polynomidentität:

xδ_{k,0} = ∑_{ν+μ=k}(x + μ − ν)\binom{k − x}{μ}\binom{k + x}{ν}

Tatsächlich ist die rechte Seite ein Polynom vom Grad k + 1 in x, das an den 2k + 1 Stellen x = −k, …, k verschwindet, denn bei diesen Werten für x heben sich die Summanden zu ν, μ und μ+x, ν −x gegenseitig weg und alle anderen Summanden verschwinden von alleine. Drückt man die Binominalkoeffizienten durch faktorielle Polynome aus und dividiert durch das Polynom (x − k)(x − k + 1) ⋯ (x + k), so wird aus dieser Identität:

δ_{k,0} = ∑_{ν+μ=k} \frac{1}{ν!μ![x + μ]_{ν} [−x + ν]_{μ}}

Die Stellen x = 1 − k, …, k − 1 sind einfache Pole der rechten Seite. Setzt man speziell x = λ − k − 1 für λ ≠ 2, 3, …, 2k ein und multipliziert mit (−1)^{k}, so erhält man:

δ_{k,0} = ∑_{ν+μ=k} \frac{1}{ν!μ![−λ + 2ν]_{ν} [λ − 2ν − 2]_{μ}} □

Bemerkung B.3 (Eigenwerte der Operatoren Y^{μ}X^{μ}) Ist Satz B.2 auf alle Eigenvektoren ψ von H zu einem bestimmten Eigenwert λ anwendbar, das heißt λ ≠ 2, 3, …, 2k für k minimal mit Y^{k+1}ψ = 0, so sind die Operatoren Y^{ν}X^{ν}, ν ≥ 0, diagonalisierbar auf diesem Eigenraum von H. In diesem Zusammenhang benutzt man eine Formel, die aus der allgemeinen Kommutatorrelation [Y, X^{ν}] = −νX^{ν−1}(H + ν − 1) folgt. Ist nämlich ψ_{ν} ∈ Kern Y ein Eigenvektor von H zum Eigenwert λ − 2ν entsprechend X^{ν}ψ_{ν} ein Eigenvektor zum Eigenwert λ, so gilt für alle μ ≥ 0:

(Y^{μ}X^{μ})X^{ν}ψ_{ν} = −(μ + ν)(λ + μ − ν − 1)(Y^{μ−1}X^{μ−1})X^{ν}ψ_{ν} = …
= (−1)^{μ}[μ + ν]_{μ}[λ + μ − ν − 1]_{μ}X^{ν}ψ_{ν} = [μ + ν]_{μ}[ν − λ]_{μ}X^{ν}ψ_{ν}

Satz B.4 (Clebsch–Gordon–Formel [F&H]) Sei S ein zweidimensionaler Vektorraum über ℂ, aufgefaßt als Darstellung der Liegruppe SL S ≅ SL_{2}ℂ. Dann zerfällt das Tensorprodukt Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S für alle k, l ≥ 0 als SL S–Darstellung in:

Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S = ⨁_{ν=0}^{k∧l} Sym^{k+l−2ν}S

wobei k ∧ l für min{k, l} steht. Insbesondere zerfallen Sym^{2}(Sym^{k}S) und Λ^{2}(Sym^{k}S) in:

Sym^{2}(Sym^{k}S) = ⨁_{ν=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} Sym^{2k−4ν}S Λ^{2}(Sym^{k}S) = ⨁_{ν=0}^{⌊ \frac{k−1}{2} ⌋} Sym^{2k−2−4ν}S

Beweis: Weil S zweidimensional ist, induziert die Determinante eine SL S–invariante symplektische Form ω = det auf S mit zwei zugehörigen, inversen Isomorphismen ♯ : S ⟶ S^{∗}, s ⟼ ω(s, ·) und ♭ : S^{∗} ⟶ S. Für eine ”kanonische“ Basis p, q von S mit ω(p, q) = 1 und dualer Basis dp, dq gilt ω = dp ∧ dq ∈ Λ^{2}S^{∗}. Entsprechend wird der kanonische Bivektor Λ := ω^{♭} = p ∧ q ∈ Λ^{2}S zu ω definiert. ω und Λ induzieren SL S–invariante, diagonale Kontraktions– bzw. Multiplikationsoperatoren ω⌟ := dp⌟ ⊗ dq⌟ − dq⌟ ⊗ dp⌟ und Λ · := p · ⊗q · − q · ⊗p · auf Sym S ⊗ Sym S, die auf Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S die Kommutatorrelation erfüllen:

[Λ ·, −ω⌟] = k + l + 2

Somit erzeugen Λ · und −ω⌟ zusammen mit H := [Λ ·, −ω⌟] = k + l + 2 auf Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S eine 𝔰𝔩_{2}–Algebra. Nach der Projektionsformel B.2 hat deshalb jedes ψ ∈ Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S eine Darstellung der Form

ψ = ψ_{0} + Λ · ψ_{1} + (Λ ·)^{2}ψ_{2} + … + (Λ ·)^{k∧l}ψ_{k∧l}

mit ψ_{ν} ∈ Kern ω⌟. Nach Bemerkung B.3 ist (ω⌟)^{μ}(Λ ·)^{μ} für μ > 0 auf Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S diagonalisierbar mit paarweise verschiedenen Eigenwerten [ν + μ]_{μ} [k + l + 1 + μ − ν]_{μ} > 0 für ν = 0, …, k ∧ l, und die obige Zerlegung von ψ ist gerade die Zerlegung von ψ in Eigenvektoren. Deshalb ist jedes (Λ ·)^{ν}ψ_{ν} eindeutig bestimmt. Weil die Operatoren (ω⌟)^{μ}(Λ ·)^{μ} aber für alle μ > 0 sogar invertierbar sind, ist (Λ ·)^{μ} stets injektiv und (ω⌟)^{μ} entsprechend surjektiv, das heißt auch die ψ_{ν} sind eindeutig.

Es bleibt die Zerlegung von Sym^{k}S ⊗ Sym^{l}S in Eigenräume der Operatoren (ω⌟)^{μ}(Λ ·)^{μ} mit der angegebenen Zerlegung zu identifizieren. Dazu benutzt man die Komultiplikation Δ : Sym^{k+l}S ⟶ Sym^{k}S ⊗Sym^{l}S, die injektiv und SL S–äquivariant nach Konstruktion ist und die Sym^{k+l}S offensichtlich in den Kern von ω⌟ abbildet. Ein Dimensionsvergleich zeigt dann, daß der Kern von ω⌟ isomorph zu Sym^{k+l}S ist. Die Zerlegungen von Sym^{2}(Sym^{k}S) und Λ^{2}(Sym^{k}S) folgen sofort, wenn man k = l setzt und beachtet, daß das Bild der Komultiplikation nach Definition in Sym^{2}(Sym^{k}S) liegt und Λ · den Unterraum Sym^{2}(Sym^{k−1}S) nach Λ^{2}(Sym^{k}S) abbildet und umgekehrt. □

110

Anhang C

Die Standardimmersionen

Die Moduli der Standardimmersionen der Einheitssphären S_{V} von Takahashi sind nach Satz 3.2 als Skalarprodukte auf H^{k}V ein Vielfaches der Einschränkung des Skalarprodukts ⟨ , ⟩_{Sym^{k}V} von Sym^{k}V auf H^{k}V. In diesem Anhang wird dieses Vielfache ohne den Umweg über das L^{2}–Skalarprodukt direkt bestimmt. Die sich dabei ergebenden Konstanten werden in Satz 4.28 bei der Konstruktion der Multiplikation

Ψ : M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{1}} × M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{r}} ⟶ M_{k}^{(d)}ℝ^{n_{1}+···+n_{r}}

auf der disjunkten Vereinigung der Modulräume M_{k}^{(d)}ℝ^{n}, n ≥ 3, benötigt, genau wie zur expliziten Bestimmung der höheren Fundamentalformen der Standardimmersionen. Schließlich kann man den Ansatz dieser Rechnung auch für ein elementares Argument dafür benutzen, daß die homogenen, harmonischen Polynome H^{k}V^{∗}, aufgefaßt als Raum von Funktionen, für ungerades bzw. gerades k die Punkte der Sphäre S_{V} oder des projektiven Raums ℙV trennen. Etwas gewichtiger formuliert ist dies der Satz von Li [Li], daß alle erzeugenden minimalen isometrischen Immersionen der Sphäre S_{V} als Bild eine eingebettete Sphäre oder einen eingebetteten projektiven Raum besitzen. In der Rechnung selbst braucht man im wesentlichen nur die binomische Formel für die faktorielle Polynome [x]_{k} := x(x − 1) … (x − k + 1), die einfach durch Induktion bewiesen werden kann:

Lemma C.1

[x + y]_{k} = ∑_{ν=0}^{k} \binom{k}{ν}[x]_{ν}[y]_{k−ν} k ≥ 0

Satz C.2 (Explizite Form der Standardlösung) Sei V ein euklidischer Vektorraum der Dimension dim V =: n ≥ 2. Der Modul G der Standardimmersion der Einheitssphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert λ_{k}, k ≥ 1, ist das Skalarprodukt

G(·, ·) = k! \frac{n − 1}{λ_{k}} \frac{[\frac{n−4}{2} + k]_{κ}}{[\frac{n−3}{2} + κ]_{κ}} ⟨·, ·⟩_{Sym^{k}V} = (k − 1)! \frac{[\frac{n−4}{2} + k]κ̃}{[\frac{n−1}{2} + κ̃]κ̃} ⟨·, ·⟩_{Sym^{k}V}

eingeschränkt auf H^{k}V, wobei κ := ⌊\frac{k}{2}⌋ und κ̃ := ⌊\frac{k−1}{2}⌋. Mit etwas Geduld kann man sich davon überzeugen, daß beide Darstellungen wegen λ_{k} = k(n + k − 2) übereinstimmen.

Beweis: Die Konstruktion von Takahashi zeigt, daß die Standardlösung ein Vielfaches der zum L^{2}–Skalarprodukt auf H^{k}V^{∗} dualen Metrik auf H^{k}V ist. Das L^{2}–Skalarprodukt ist aber SO V invariant, also nach dem Lemma von Schur ein Vielfaches der Einschränkung von ⟨ , ⟩_{Sym^{k}V^{∗}} auf H^{k}V^{∗}. Infolgedessen ist auch die Standardlösung ein Vielfaches der Metrik ⟨ , ⟩_{Sym^{k}V} eingeschränkt auf H^{k}V. Um dieses Vielfache zu bestimmen, muß man zunächst die Diracschen Deltafunktionale δ_{p} ∈ Sym^{k}V für p ∈ V auf den Raum H^{k}V^{∗} einschränken, oder alternativ orthogonal auf H^{k}V projezieren. Gemäß den Konventionen aus Anhang A entsprechen diese Deltafunktionale unter der kanonischen Paarung von Sym V mit Sym V^{∗} den formalen Expotentialsummen δ_{p} := ∑_{ν≥0} \frac{1}{ν!}p^{ν}. Anstatt nun die orthogonale Projektion direkt auszurechnen, führt man wie im Kapitel 4 die Operatorenalgebra H, M und −K auf Sym V für den dualen euklidischen Vektorraum V^{∗} ein, und benutzt dann die Projektionsformel der Darstellungstheorie von 𝔰𝔩_{2} aus Satz B.2:

(δ_{p})_{0} = ∑_{ν=0}^{κ}(−1)^{ν} \frac{M^{ν}K^{ν}}{ν! [\frac{n}{2} + k − 2]_{ν}} δ_{p} mit κ := ⌊\frac{k}{2}⌋

Diese Projektion ist selbstadjungiert bezüglich ⟨ , ⟩_{Sym^{k}V} und wegen Kδ_{p} = \frac{⟨p, p⟩}{2}δ_{p} folgt:

⟨(δ_{p})_{0}, δ_{p}⟩_{Sym^{k}V} = ∑_{ν=0}^{κ} \frac{(−1)^{ν}}{ν! [\frac{n−4}{2} + k]_{ν}} ⟨K^{ν}δ_{p}, K^{ν}δ_{p}⟩ = ∑_{ν=0}^{κ} \frac{(−1)^{ν}}{4^{ν}ν![\frac{n−4}{2} + k]_{ν}} \frac{⟨p, p⟩^{k}}{(k − 2ν)!}

Der schwierigste Schritt besteht nun darin, eine explizite Formel für diese merkwürdige Summe zu finden. Je nachdem ob k gerade (−) oder ungerade (+) ist, gilt zunächst die folgende Identität:

\frac{k!}{4^{ν}ν!(k − 2ν)!} = \frac{κ!}{ν!(κ − ν)!} \frac{[κ ∓ \frac{1}{2}]_{κ}}{[κ − ν ∓ \frac{1}{2}]_{κ−ν}} = \binom{κ}{ν}[κ ∓ \frac{1}{2}]_{ν}

Die binomische Formel C.1 für die faktoriellen Polynome [x]_{ν} = (−1)^{ν}[−x+ν −1]_{ν} impliziert:

∑_{ν=0}^{κ} \frac{(−1)^{ν}}{4^{ν}ν!(k − 2ν)![\frac{n−4}{2} + k]_{ν}} = \frac{1}{k!} ∑_{ν=0}^{κ}(−1)^{ν}\binom{κ}{ν}\frac{[κ ∓ \frac{1}{2}]_{ν}[\frac{n−4}{2} + k − ν]_{κ−ν}}{[\frac{n−4}{2} + k]_{κ}}

= \frac{(−1)^{κ}}{k![\frac{n−4}{2} + k]_{κ}} ∑_{ν=0}^{κ} \binom{κ}{ν}[κ ∓ \frac{1}{2}]_{ν}[−\frac{n−1}{2} − κ ± \frac{1}{2}]_{κ−ν}

= \frac{(−1)^{κ}}{k![\frac{n−4}{2} + k]_{κ}} [−\frac{n−1}{2}]_{κ} = \frac{[\frac{n−3}{2} + κ]_{κ}}{k![\frac{n−4}{2} + k]_{κ}}

Mit diesem Ergebnis vereinfacht sich die obige Darstellung von ⟨(δ_{p})_{0}, δ_{p}⟩ zu:

⟨(δ_{p})_{0}, δ_{p}⟩ = \frac{[\frac{n−3}{2} + κ]_{κ}}{k! [\frac{n−4}{2} + k]_{κ}} ⟨p, p⟩^{k}

Nun muß für einen Einheitsvektor ⟨p, p⟩ = 1 in V für die Standardlösung G(δ_{p}, δ_{p}) = \frac{n−1}{λ_{k}} gelten. Diese Überlegung bestimmt den Faktor in der ersten behaupteten Formel für G. Die zweite Darstellung folgt mit dem gleichen Argument, zunächst gilt:

⟨(Xδ_{p})_{0}, Y δ_{p}⟩ = ∑_{ν=0}^{κ} \frac{(−1)^{ν}}{ν! [\frac{n−4}{2} + k]_{ν}} ⟨K^{ν}(Xδ_{p}), K^{ν}(Y δ_{p})⟩

Nun sei ⟨X, p⟩ = 0 = ⟨Y, p⟩ vorausgesetzt. Ist dann k gerade, so verschwindet der ν = κ– Summand, so daß man κ in dieser Formel durch κ̃ = ⌊\frac{k−1}{2}⌋ ersetzen darf. Wenn man dann das vorherige Summationsergebnis einfach für k − 1 und n + 2 anwendet, so erhält man:

⟨(Xδ_{p})_{0}, Y δ_{p}⟩ = ∑_{ν=0}^{κ̃} \frac{(−1)^{ν}}{4^{ν}ν! [\frac{n−2}{2} + (k − 1)]_{ν}} \frac{⟨X, Y ⟩⟨p, p⟩^{k−1}}{(k − 1 − 2ν)!}

= \frac{[\frac{n−1}{2} + κ̃]κ̃}{(k − 1)! [\frac{n−4}{2} + k]κ̃} ⟨p, p⟩^{k−1}⟨X, Y ⟩ □

Satz C.3 (Satz von Li [Li]) Das Bild jeder erzeugenden minimalen isometrischen Immersion der Sphäre S_{V} zum k–ten Eigenwert λ_{k} ist für gerade k diffeomorph zum reell–projektiven Raum ℙV und für ungerade k zur Sphäre S_{V}.

Beweis: Aufgrund ihrer universellen Eigenschaft liegt allen erzeugenden minimalen isometrischen Immersionen dieselbe differenzierbare Abbildung zugrunde, die p ∈ S_{V} auf das Diracsche Deltafunktional δ_{p} ∈ E_{λ}^{∗} schickt. Man muß also zeigen, daß dieses Funktional auf jedem Eigenraum H^{k}V^{∗} den Punkt p bis aufs Vorzeichen eindeutig bestimmt. Zu diesem Zweck betrachte man die durch die Einheitssphäre S_{V^{∗}} in V^{∗} parametrisierte Familie (\frac{1}{k!}α^{k})_{0} harmonischer Polynome auf V, die wieder durch die Projektionsformel B.2 definiert werden. Wie zuvor ergibt dies für ein Polynom dieser Familie und p ∈ S_{V} wegen ⟨α, α⟩ = 1 = ⟨p, p⟩:

⟨(\frac{1}{k!}α^{k})_{0}, δ_{p}⟩ = ∑_{ν=0}^{⌊ \frac{k}{2} ⌋} \frac{(−1)^{ν}}{4^{ν}ν! (k − 2ν)! [\frac{n−4}{2} + k]_{ν}} ⟨α, p⟩^{k−2ν}

Die rechte Seite ist auf jeden Fall ein Polynom vom Grad k in ⟨α, p⟩ mit Leitkoeffizient \frac{1}{k!}. Somit sind die Niveaumengen von δ_{p} in der Parametermenge S_{V^{∗}} dieser Familie die Schnitte von S_{V^{∗}} mit höchstens k affinen Hyperflächen modelliert nach {p}^{⊥}, bestimmen somit {p}^{⊥} und folglich auch ℝp. □

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