Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

Diracoperatoren auf Symmetrischen Räumen

vom Rang 1

Diplomarbeit von Gregor Weingart

27. März 1995

Inhaltsverzeichnis

1 Symmetrische Räume 1 1.1 Konstruktion Symmetrischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Geometrische Diracoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Beispiele für Symmetrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Geometrische Cliffordbündel 11 2.1 Äußere Algebren und Cliffordalgebren . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Euklidische Liealgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Die linearen Diracoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Die Eigenwerte der linearen Operatoren 21 3.1 Lineare Eigenwerte und Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Die linearen Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1 Die Operatoren auf ℝH^{n+1} . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Der Operator auf den Spinoren des ℂH^{n+1} . . . . . . . . 26 3.2.3 Der Operator auf den Multivektoren des ℂH^{n+1} . . . . . 27 3.2.4 Der Operator auf den Spinoren des ℍH^{n+1} . . . . . . . . 29 3.2.5 Der Operator auf den Multivektoren des ℍH^{2} . . . . . . . 34

4 Das Symbol der Diracoperatoren 36 4.1 Die Zerlegung des Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Modelle der irreduzibelen Darstellung π_{η} . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3 Einbettungen der Darstellungen π_{η} . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Eigenschnitte des Symbols 48 5.1 Gemeinsame Eigenvektoren von D_{(1)} und AD_{(2)} . . . . . . . . . 49 5.2 Die Fourierkoeffizienten des Symbols . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.1 Die Fourierkoeffizienten des Kerns (E = 0) . . . . . . . 56 5.2.2 Die ”eindimensionalen“ Fourierkoeffizienten (c = 0) … 57

6 Fourierblöcke der Diracoperatoren 59

1 Symmetrische Räume

Riemannsche Symmetrische Räume sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten, in denen die Punktspiegelung x ↦ −x in jedem Tangentialraum sich zu einer global definierten Isometrie fortsetzen läßt. Die Isometriegruppe einer solchen Mannigfaltigkeit operiert dann transitiv und ist eine endlichdimensionale Liegruppe G, so daß jeder Symmetrische Raum ein homogener Raum G/K ist. Im folgenden wird diese Konstruktion für Symmetrische Räume vom nichtkompakten Typ skizziert, die Quotienten von halbeinfachen, nichtkompakten Liegruppen G sind. Dabei erhält man eine Beschreibung aller geometrischen, das heißt allein durch die Riemannsche Struktur definierten Vektorbündel. Einige dieser Bündel tragen eine Cliffordstruktur und ermöglichen so die Definition von elliptischen, formal selbstadjungierten Differentialoperatoren, den geometrischen Diracoperatoren. Zum Schluß werden noch einige Beispiele für Symmetrische Räume konstruiert, namentlich die hyperbolischen Räume, die bereits alle Symmetrischen Räume vom Rang 1 mit Ausnahme der Cayleyebene enthalten.

1.1 Konstruktion Symmetrischer Räume

Sei G eine nichtkompakte, halbeinfache Liegruppe mit endlichem Zentrum, 𝔤 die Liealgebra der linksinvarianten Vektorfelder mit nichtausgearteter Killingform:

B : 𝔤 × 𝔤 → ℝ, B(X, Y) = tr adX ∘ adY

Sei K eine maximale, kompakte Untergruppe in G, dann gibt es einen involutiven Automorphismus von G, die Cartaninvolution Θ, so daß K gerade die fixierte Untergruppe von G ist. Die Unteralgebra 𝔨 ist dann der Eigenraum zum Eigenwert 1 des ebenfalls mit Θ bezeichneten Differentials. Dies erhält als ein involutiver Automorphismus von 𝔤 die Killingform, so daß die aufscheinende Zerlegung 𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔭 in Eigenräume zu Eigenwerten ±1 orthogonal ist und die folgenden Relationen erfüllt:

[𝔨, 𝔨] ⊂ 𝔨  [𝔨, 𝔭] ⊂ 𝔭  [𝔭, 𝔭] ⊂ 𝔨

Die Liealgebra 𝔨 einer maximalen, kompakten Untergruppe K ist nun ein maximal negativ definiter Unterraum zur Killingform B, so daß 𝔭 sich als komplementärer maximal positiv definiter Unterraum erweist. Durch B(X, −ΘY) wird deswegen ein Skalarprodukt auf 𝔤 erklärt, bezüglich dessen alle adX, X ∈ 𝔭, symmetrisch operieren. Wählt man dann eine maximal abelsche Unteralgebra 𝔞 von 𝔭, so zerlegt sich die ganze Liealgebra 𝔤 in die Summe der Eigenräume zu den Wurzeln α ∈ 𝔞^{∗}:

𝔤 = ⨁_{α} 𝔤_{α} mit [A, X_{α}] = α(A)X_{α} für alle A ∈ 𝔞, X_{α} ∈ 𝔤_{α}

Die Involution Θ bildet dabei 𝔤_{α} nach 𝔤_{−α} ab, während [𝔤_{α}, 𝔤_{β}] ⊂ 𝔤_{α+β} sofort aus der Jacobiidentität folgt. Die Killingform erfüllt somit B(𝔤_{α}, 𝔤_{β}) = 0 falls α + β ≠ 0. Wählt man nun in 𝔞 einen Vektor A, auf dem keine Wurzel verschwindet, dann ist jede Wurzel entweder positiv α(A) > 0 oder negativ und die Summe

𝔫 = ⨁_{α>0} 𝔤_{α}

ist eine Unteralgebra von 𝔤. Dann ist auch 𝔫 ⊕ 𝔞 eine Unteralgebra nach Konstruktion und diese Unteralgebra erweist sich wie 𝔭 als Komplement von 𝔨 in 𝔤.

Damit hat man die infinitesimale Form der Iwasawazerlegung, deren globale Form

𝔤 = 𝔫 ⊕ 𝔞 ⊕ 𝔨 G = NAK

für die 𝔞 und 𝔫 entspechenden Untergruppen A bzw. N ein Diffeomorphismus mit dem direkten Produkt N × A × K ist. Der Quotient G/K, diffeomorph zu NA, erweist sich nun als Symmetrischer Raum. Zunächst betrachte man dazu einmal das Differential der Projektion in einem Punkt g ∈ G. Ein linksinvariantes Vektorfeld X ∈ 𝔤 bestimmt dort den Tangentialvektor \frac{d}{dt}ge^{tX} mit Projektion \frac{d}{dt}ge^{tX}K. Der Kern des Differentials ist damit 𝔨 und der Tangentialraum an G/K kann im Punkt gK mit 𝔤/𝔨 identifiziert werden. Ändert man jedoch g in gk, k ∈ K, so ändert sich auch diese Identifizierung in:

\frac{d}{dt}ge^{tX}K = \frac{d}{dt}gk(k^{−1}e^{tX}k)k^{−1}K = \frac{d}{dt}gke^{tAd_{k^{−1}} X}K

Somit beschreiben X in g und Ad_{k^{−1}}X in gk denselben Tangentialvektor in gK. Ein Vektorfeld auf G/K entspricht also einer Funktion s : G → 𝔤/𝔨 invariant unter der K-Darstellung:

ΓT (G/K) = C^{∞}(G, 𝔤/𝔨)_{K} mit (k ∗ s)(g) := Ad_{k} s(gk)

Hier operiert K wegen Ad_{K}𝔨 ⊂ 𝔨 vermöge Ad auf 𝔤/𝔨. Man kann also G als K-Prinzipalbündel auf G/K auffassen, das eine Reduktion des Rahmenbündels ist, weil man das Tangentialbündel als assoziiertes Vektorbündel erhalten kann. Wählt man einen Punkt o in G/K und einen Rahmen {E_{s}} in o, so kann man die Einbettung G ↪ GL(G/K) direkt durch g → g_{∗}{E_{s}} beschreiben. Die orthogonale Projektion pr_{𝔭} ist nun wohldefiniert auf 𝔤/𝔨, so daß man für alle κ > 0 eine positiv definite Metrik

⟨, ⟩ : 𝔤/𝔨×𝔤/𝔨 → ℝ mit ⟨X +𝔨, Y +𝔨⟩ = κB(pr_{p}X, pr_{𝔭}Y) = \frac{1}{2}κB(X −ΘX, Y)

definieren kann. Die Invarianz der Killingform stellt sicher, daß K orthogonal operiert, so daß man eine Riemannsche Metrik auf G/K erhält durch:

⟨s, s′⟩(gK) = ⟨s(g), s(g)⟩ für alle s, s′ ∈ ΓT (G/K) = C^{∞}(G, 𝔤/𝔨)_{K}

Die Cartaninvolution Θ definiert dann globale Isometrien in jedem Punkt gK durch g̃K → gΘ(g^{−1}g̃)K, deren Differential im Fixpunkt gK gerade die Punktspiegelung am Ursprung ist. Somit ist G/K ein Symmetrischer Raum. Auf G hat man in leichter Abwandlung der Maurer-Cartan-Form eine 𝔨wertige Linearform, die einfach jedes linksinvariante Vektorfeld X ∈ 𝔤 orthogonal auf 𝔨 projeziert ω(X) = pr_{𝔨}X. Dann verschwindet für jedes X ∈ 𝔨 und jedes Vektorfeld s ∈ C^{∞}(G, 𝔤/𝔨)_{K} der Ausdruck:

(∇s)_{g}(X) = (ds + (ad ∘ ω)s)_{g} (X)
:= \frac{d}{dt}s(ge^{tX}) + ad_{ω_{g}( \frac{d}{dt} ge^{tX})}s(g)
= \frac{d}{dt}Ad_{e^{−tX}} s(g) + ad_{X}s(g)

Deswegen ist (∇s_{′}s)(g) = (∇s)_{g}(s(g)) für je zwei Vektorfelder s, s′ wohldefiniert und ist selbst ein Vektorfeld. Ad_{k^{−1}} ist nämlich ein Automorphismus von 𝔤 und kommutiert mit pr_{𝔨}. Sind dann X und Ad_{k^{−1}}X Repräsentanten von s′(g) bzw. s′(gk) in 𝔤, so folgt:

(∇s_{′}s)(gk) = \frac{d}{dt}s(gke^{tAd_{k^{−1}} X}) + ad_{pr𝔨Ad_{k^{−1}} X}Ad_{k^{−1}}s(g)
= \frac{d}{dt}s(ge^{tX}k) + Ad_{k^{−1}}ad_{pr𝔨X}s(g)
= Ad_{k^{−1}}(∇s_{′}s)(g)

Es wird sich zeigen, daß ∇ der Levi-Cività-Zusammenhang auf G/K ist. Die Iwasawazerlegung definiert nun einen Schnitt des K-Prinzipalbündels G, das Tangentialbündel ist trivial. Speziell kann man die konstanten Vektorfelder in dieser Trivialisierung betrachten:

X(nak) = Ad_{k^{−1}}X ∈ C^{∞}(G, 𝔤/𝔨) für beliebiges X ∈ 𝔤/𝔨

Diese Vektorfelder operieren auf den Funktionen C^{∞}G/K ≅ C^{∞}NA genau wie ihre Repräsentant in 𝔫 ⊕ 𝔞, aufgefaßt als linksinvariantes Vektorfeld auf NA:

(Xf)(nak) = \frac{d}{dt}f(nake^{tAd_{k^{−1}} X}) = \frac{d}{dt}f(nae^{tX}k)

Der Symmetrische Raum G/K ist deshalb sogar isometrisch zum Gruppenraum NA, ausgestattet mit der linksinvarianten Metrik ⟨, ⟩ auf 𝔫⊕𝔞×𝔫⊕𝔞. Der Kommutator zweier konstanter Vektorfelder ist deswegen das konstante Vektorfeld, das zum Kommutator ihrer Repräsentanten in 𝔫 ⊕ 𝔞 gehört. Bezeichnet man mit pr_{𝔫⊕𝔞} die 𝔤/𝔨 mit 𝔫 ⊕ 𝔞 identifizierende Projektion in 𝔤, so verkürzt sich der Ausdruck für den Zusammenhang zweier konstanter Vektorfelder zu:

∇XY ≡ [pr_{𝔨}pr_{𝔫⊕𝔞}X, Y] mod 𝔨

Die Metrizität dieses Zusammenhangs ist klar, weil die Killingform invariant unter der adjungierten Darstellung von 𝔨 ist, die mit pr_{𝔭} kommutiert. Nun folgt aber auch die Torsionsfreiheit, denn mit

[pr_{𝔨}X, Y] ≡ [pr_{𝔨}X, pr_{𝔭}Y] ≡ [X, pr_{𝔭}Y] mod 𝔨

folgt für X, Y ∈ 𝔫 ⊕ 𝔞:

∇XY − ∇Y X ≡ [pr_{𝔨}X, Y] − [pr_{𝔨}Y, X] ≡ [X, Y] mod 𝔨

Damit ist ∇ der Levi-Cività-Zusammenhang auf G/K. Insbesondere gilt ∇A ≡ 0 für A ∈ 𝔞 ⊂ 𝔭 ∩ 𝔫 ⊕ 𝔞 wegen pr_{𝔨}A = 0. Für den Riemannschen Krümmungstensor erhält man also für A ∈ 𝔞 und N ∈ 𝔫 den Ausdruck

R_{A,N}N = ∇A(...) − ∇N ∇A(...) − ∇[A, N]N
≡ −[pr_{𝔨}[A, N], N] mod 𝔨

und da A ∈ 𝔞 senkrecht auf 𝔨 steht, folgt die Gleichheit:

⟨R_{A,N}N, A⟩ = −κB([pr_{𝔨}[A, N], N], A)
= κB(pr_{𝔨}[A, N], [A, N])
= −κB(pr_{𝔭}[A, N], [A, N])
= −⟨[A, N], [A, N]⟩
= −⟨[A, [A, N]], N⟩

Dabei verschwindet κB auf 𝔫 × 𝔫, da 𝔫 ganz im Raum der positiven Wurzeln liegt, und deswegen gilt:

κB([A, N], [A, N]) = 0 = κB(pr_{𝔨}[A, N], [A, N]) + κB(pr_{𝔭}[A, N], [A, N])

Diese Aussage beschreibt die Schnittkrümmung der linksinvarianten Metrik ⟨, ⟩ im Rang 1 Fall vollständig, denn man kann 𝔞 ⊂ 𝔭 immer so wählen, daß A ein beliebiger Einheitstangentialvektor ist. Ein dazu orthogonaler Einheitstangentialvektor wird dann im Rang 1 Fall durch ein N ∈ 𝔫 repräsentiert. Ad_{A}^{2} ist nun auf 𝔫 ⊕ 𝔞 selbstadjungiert bezüglich ⟨, ⟩ und nimmt die Eigenwerte α(A)^{2} und 4α(A)^{2} an, so daß das Rayleighprinzip die folgende Abschätzung für die Schnittkrümmung ergibt:

−4α(A)^{2} ≤ ⟨R_{A,N}N, A⟩ ≤ −α(A)^{2}

1.2 Geometrische Diracoperatoren

Auf dem K-Prinzipalbündel G mit Zusammenhang ω kann man nun die Konstruktion des Tangentialbündels verallgemeinern und zu jeder Linksdarstellung ∗ : K → Aut V von K ein assoziiertes Vektorbündel 𝔙 = G ×_{∗} V mit Zusammenhang konstruieren. Die Schnitte von 𝔙 sind dann die Funktionen aus C^{∞}(G, V), die invariant unter der K-Linksdarstellung sind

(k · ψ)(g) := k ∗ ψ(gk)

also ψ(gk) = k^{−1} ∗ ψ(g) erfüllen, so daß die formale Multiplikation ”g ∗ ψ(g)“, die im Falle des Tangentialbündels durchaus Sinn macht, konstant auf den K-Orbiten ist. Das Bündel ist damit bereits auf G/K definiert und hat zu V isomorphe Fasern. Der Zusammenhang wird nun für einen Schnitt ψ ∈ C^{∞}(G, V)_{K} wie vorher definiert durch:

∇ψ = dψ + ω ∗ ψ

Trivialisiert man durch Wahl einer Untergruppe NA, so kann man V als Raum der konstanten, das heißt eigentlich NA-invarianten Schnitte auffassen. Der Raum aller Schnitte erscheint dann als topologisches Tensorprodukt C^{∞}NA⊗V. Der Zusammenhang ist bereits auf den konstanten Schnitten definiert:

∇Xv = (pr_{𝔨}pr_{𝔫⊕𝔞}X) ∗ v für alle X ∈ 𝔤/𝔨 und v ∈ V

Diese Formeln machen nun auch für eine infinitesimale Darstellung V von 𝔨 Sinn, sie beschreiben dann einfach ein triviales Bündel auf NA mit einem nichttrivialen Zusammenhang ∇. Tatsächlich aber hängt dieses Bündel nicht von der Trivialisierung ab! Eine Darstellung der Liealgebra 𝔨 gehört nämlich stets zu einer tatsächlichen Darstellung einer geeigneten, etwa der universellen Überlagerungsgruppe K̂ von K, die gleichzeitig eine zentrale Erweiterung von K ist, denn der Kern Z der Projektion ist ein diskreter Normalteiler in K̂. Er kann mit der Decktransformationsgruppe identifiziert werden. Da nun G zu K homotop ist, gibt es aber eine Überlagerung Ĝ von G, ebenfalls zentrale Erweiterung und mit derselben Decktransformationsgruppe Z, so daß das volle Urbild von K in Ĝ mit K̂ isomorph ist. Deswegen erhält man den Symmetrischen Raum auch als:

G/K = Ĝ/K̂

Nach Voraussetzung hat man eine nun wohldefinierte Darstellung ˆ∗ von K̂ auf V und somit ein assoziiertes Bündel 𝔙. Trivialisiert man nun das K̂-Prinzipalbündel Ĝ mit der gelifteten Einbettung NA ↪ Ĝ der einfach zusammenhängenden Untergruppe NA von G, so erhält man wieder die obige Darstellung der Schnitte und des Zusammenhangs auf 𝔙. So erhält man auch für infinitesimale Darstellungen wohldefinierte assoziierte Vektorbündel auf G/K, die ganz allgemein Spinorbündel genannt werden. Die wichtigsten Beispiele sind die automorphen Formen zu rationalem Gewicht auf SL_{2}ℝ/SO_{2}ℝ, die zu endlichen Überlagerungen von SO_{2}ℝ = S^{1} gehören, und die eigentlichen Spinorbündel der Spindarstellungen von 𝔰𝔬 𝔤/𝔨. Ernsthafte Schwierigkeiten können erst auftreten, wenn man Quotienten Γ\G/K Symmetrischer Räume betrachtet, weil dann die globale Trivialisierung fortfällt. Im allgemeinen sind die Schnitte eines Bündels auf dem Quotienten nämlich einfach die Γ-invarianten Schnitte auf G/K, das heißt die Γ-linksin- und Krechtsäquivarianten Funktionen _{Γ}C^{∞}(G, V)_{K} auf G, was bei einer infinitesimalen Darstellung keinen Sinn macht, weil die Schnitte Funktionen auf Ĝ sind. Invarianz unter dem vollen Urbild Γ̂ von Γ in Ĝ hingegen ist eine zu starke Bedingung, denn Γ̂ enthält auch den Kern Z der Projektion von Ĝ nach G. Z liegt nun im Zentrum von Ĝ und Z-Linksinvarianz ist damit im allgemeinen nicht zu vereinbaren mit der Aktion von Z ⊂ K̂ von rechts. Im allgemeinen Fall kommt man deshalb nur weiter mit einem Schnitt der exakten Sequenz:

1 ⟶ Z ⟶ Γ̂ ⟶ Γ ⟶ 1

Verschiedene Schnitte definieren im allgemeinen nichtisomorphe Bündel auf dem Quotienten und unter Umständen findet man überhaupt keine Schnitte. Die Wahl eines Schnittes definiert deshalb eine weitere Struktur auf dem Quotienten, die Spinstruktur. Zwei verschiedene Spinstrukturen s, s′ : Γ → Γ̂ unterscheiden sich dann um den Homomorphismus s^{−1} · s′ : Γ → Z. Die s(Γ)-invarianten Schnitte, das heißt die Schnitte von 𝔙 auf dem Quotienten mit der Spinstruktur s erscheinen dann auf dem Quotienten mit der Spinstruktur s′ als als mehrwertige Schnitte, deren stetige Fortsetzung entlang geschlossener Kurven durch obigen Homomorphismus bestimmt wird. Das eigentliche Thema dieser Arbeit sind nun Vektorbündel 𝔙, assoziiert an Darstellungen V von K oder 𝔨, ausgestattet mit einer invarianten Metrik, die wie im Fall 𝔤/𝔨 mit ⟨, ⟩ bezeichnet werde, und einer äquivarianten Cliffordmultiplikation

· : 𝔤/𝔨 × V → V, (X, v) ↦ X · v

mit den Eigenschaften

•Cliffordregel: X · Y · v + Y · X · v = −2⟨X, Y ⟩v
•Metrizität: ⟨X · v, w⟩ = −⟨v, X · w⟩

für alle X, Y ∈ 𝔤/𝔨 und alle v, w ∈ V. Die Äquivarianz garantiert, daß sich die Cliffordmultiplikation auf Schnitte der assoziierten Vektorbündel T G/K und 𝔙 fortsetzten läßt via (X · ψ)(g) = X(g) · ψ(g) für X ∈ C^{∞}(G, 𝔤/𝔨)_{K} und ψ ∈ C^{∞}(G, V)_{K}. Aus demselben Grund trägt 𝔙 eine Metrik und den oben definierten metrischen Zusammenhang. Auf einem solchen Cliffordbündel 𝔙 ist ein formal selbstadjungierter Differentialoperator, der Diracoperator, durch

Dψ = ∑ E_{s} · ∇E_{s}ψ für eine lokale ONB E_{s} und ψ ∈ C^{∞}(G, V)_{K}

definiert, so daß für alle f ∈ C^{∞}G/K gilt:

D(fψ) = ∑ E_{s} · (E_{s}f)ψ + E_{s} · f∇E_{s}ψ = (grad f) · ψ + fDψ

Das Symbol von D ist für einen Kotangentialvektor df also gerade die Cliffordmultiplikation mit grad f = df^{♭}, die aber nach Cliffordregel invertierbar ist für df ≠ 0. Somit ist D elliptisch. Die obige Formel weist auch den richtigen Weg, wenn man 𝔙 durch Wahl einer Untergruppe NA trivialisiert. Man summiert dann zweckmäßigerweise über eine ONB konstanter Schnitte von T G/K. Dann wird evident, daß D die konstanten Schnitte V von 𝔙 auf sich abbildet und auf C^{∞}(G, V)_{K} ≅ C^{∞}NA ⊗ V gilt

D(f ⊗ v) = grad f · v + f ⊗ Dv

wo grad f als Element von C^{∞}NA ⊗ 𝔤/𝔨 aufgefaßt wird.

Mit Hilfe dieser Trivialisierung kann man nun zeigen, daß D formal selbstadjungiert ist. Sei dazu E_{s} eine ONB konstanter Vektorfelder und der Weylvektor definiert durch

R := \frac{1}{2} ∑_{s} ∇E_{s}E_{s} = −\frac{1}{2} ∑_{s,t}⟨E_{s}, ∇E_{s}E_{t}⟩E_{t}

was nicht von der Wahl der ONB abhängt. Die zweite Gleichung zeigt, daß div X = −2⟨R, X⟩ für jedes konstante Vektorfeld X. Der formal adjungierte Operator zu ∇E_{s} ist deshalb wie in jedem Vektorbündel mit metrischem Zusammenhang −∇E_{s} + 2⟨R, E_{s}⟩, so daß

(∑ E_{s} · ∇E_{s})^{∗} = ∑(−∇E_{s} + 2⟨R, E_{s}⟩)(−E_{s})
= ∑(∇E_{s}E_{s} · +E_{s} · ∇E_{s} − 2⟨R, E_{s}⟩E_{s}·)
= ∑ E_{s} · ∇E_{s} + 2R · −2R·

D formal selbstadjungiert ist. Das gleiche Argument zeigt aber auch, daß D im allgemeinen nicht selbstadjungiert auf den konstanten Schnitten V ist. Der tatsächlich adjungierte Operator zu ∇E_{s} auf V ist nämlich −∇E_{s}, weil der Zusammenhang metrisch ist, und D +2R· somit adjungiert zu D. Im Fall R ≠ 0 ist die Volumenform auf G/K jedoch gerade das totale Differential:

d(−\frac{R}{2⟨R, R⟩} ⊥ vol) = −(div \frac{R}{2⟨R, R⟩})vol = vol

so daß kein Widerspruch besteht. Eine kleine Modifikation scheint angebracht, die obige Rechnung zeigt nämlich auch, daß der modifizierte lineare Operator D_{lin} = D + R· : V → V auf den konstanten Schnitten selbstadjungiert und somit orthogonal diagonalisierbar ist. Das Studium seiner Eigenwerte und Eigenvektoren auf V ist der erste Schritt, um das Spektrum des Operators D zu verstehen.

1.3 Beispiele für Symmetrische Räume

Eine Klasse von Beispielen für Symmetrische Räume stellen die hyperbolischen Räume dar, die einheitlich konstruiert werden können. Diese Beispiele umfassen bereits alle nichtkompakten Symmetrischen Räume vom Rang 1 bis auf eine Ausnahme, die Cayleyebene, deren Konstruktion wesentlich schwieriger ist. Dazu betrachte man einen Körper 𝕂 = ℝ, ℂ oder ℍ und den Rechtsvektorraum 𝕂^{s+t} der Spaltenvektoren, auf dem die Matrizen M_{s+t,s+t}𝕂 in üblicher Weise von links operieren und sich so - und nur so - mit den 𝕂-linearen Abbildungen identifizieren lassen. Auf diesem Vektorraum hat man standardmäßig eine hermitesche Bilinearform der Signatur (s, t) definiert durch:

⟨x, y⟩ := x^{H} ( \begin{matrix}1_{s} & 0 \\ 0 & −1_{t} \end{matrix} ) y für x, y ∈ 𝕂^{s+t}

Hier bezeichnet die Konjugation x ↦ x^{H} die Transposition von Matrizen, gefolgt von der - in ℝ trivialen - Konjugation x ↦ x̄ in 𝕂. Alle Matrizen werden im folgenden entsprechend der Summe 𝕂^{s+t} = 𝕂^{s} ⊕ 𝕂^{t} wie oben zerlegt. Zunächst betrachte man die Gruppe aller 𝕂-linearen Abbildungen M aus M_{s+t,s+t}𝕂, die diese Bilinearform erhalten, das heißt:

M^{H} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ) M = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} )

Das Zentrum dieser Gruppen ist besonders im Fall 𝕂 = ℂ zu groß und man stellt je nach Körper noch zusätzliche Bedingungen um zu einfachen, zusammenhängenden Untergruppen G_{s,t}𝕂 zu kommen:

•G_{s,t}ℝ: die Gruppe SO_{s,t} der Matrizen mit Determinate 1

•G_{s,t}ℂ: die Gruppe SU_{s,t} der Matrizen mit komplexer Determinante 1

•G_{s,t}ℍ: die Gruppe Sp_{s,t} der Matrizen mit reeller Determinante 1

Die Liealgebra 𝔤_{s,t}𝕂 dieser Gruppen ist dann der Vektorraum aller Matrizen der Form:

( \begin{matrix}k_{1} & p \\ p^{H} & k_{2} \end{matrix} ) mit {k_{1} = −k_{1}^{H} ∈ M_{s,s}𝕂 \atop k_{2} = −k_{2}^{H} ∈ M_{t,t}𝕂} und p ∈ M_{s,t}𝕂

Der Realteil der Spur verschwindet stets, nur im Fall 𝕂 = ℂ erhält man also die Spurfreiheit tr k_{1} = −tr k_{2} als zusätzliche Bedingung. Nun ist die Bilinearform positiv definit auf 𝕂^{s} ⊕ 0, negativ definit auf 0 ⊕ 𝕂^{t}, deshalb bilden die Abbildungen in G_{s,t}𝕂 , die obige Zerlegung von 𝕂^{s+t} respektieren, kompakte Untergruppen

•K_{s,t}ℝ: die Untergruppe S(O_{s} × O_{t})
•K_{s,t}ℂ: die Untergruppe S(U_{s} × U_{t})
•K_{s,t}ℍ: die Untergruppe Sp_{s} × Sp_{t}

mit zugehörigen Unteralgebren

𝔨 = ( \begin{matrix}k_{1} & 0 \\ 0 & k_{2} \end{matrix} ) mit {k_{1} = −k_{1}^{H} \atop k_{2} = −k_{2}^{H}}

und für 𝕂 = ℂ zusätzlich tr k_{1} = −tr k_{2}. Die Matrizen M dieser Untergruppen kommutieren nach Definition mit ({1 \atop 0} {0 \atop −1}), erfüllen deshalb M^{H}M = 1 und sind somit fix unter der Cartaninvolution:

Θ : G → G, M ↦ M^{−H} mit Differential Θ : 𝔤 → 𝔤, M ↦ −M^{H}

Der Eigenraum zum Eigenwert −1 in 𝔤 ist dann das Komplement 𝔭 zu 𝔨:

𝔭 = ( \begin{matrix}0 & p \\ p^{H} & 0 \end{matrix} ) mit p ∈ M_{s,t}

Nun kann man sich überlegen, daß die Dimension eines maximal abelschen Unterraums in 𝔭 das Minimum von s und t sein muß, also sind

𝕂H^{n+1} = G_{n+1,1}𝕂/K_{n+1,1}𝕂

Symmetrische Räume vom Rang 1. Um die Struktur dieser Räume näher zu beschreiben, zerlege man die Matrizen der Summe 𝕂^{n+1} ⊕ 𝕂 = 𝕂 ⊕ 𝕂^{n} ⊕ 𝕂 entsprechend noch weiter. Ein maximal abelscher Unterraum in 𝔭 ist dann:

𝔞 = ( \begin{matrix}0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \end{matrix} ) für a ∈ ℝ

In dieser Darstellung von 𝔞 ordne die Linearform α jeder Matrix in 𝔞 die Koordinate a zu. Der Vektorraum aller Matrizen zerfällt dann in die direkte Summe von Eigenräumen unter ad 𝔞:

Eigenwert 0  Eigenwert ±α  Eigenwert ±2α

( \begin{matrix}m_{1} & 0 & m_{3} \\ 0 & m_{2} & 0 \\ m_{3} & 0 & m_{1} \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & m_{1} & 0 \\ m_{2} & 0 & ∓m_{2} \\ 0 & ±m_{1} & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}m_{1} & 0 & ∓m_{1} \\ 0 & 0 & 0 \\ ±m_{1} & 0 & −m_{1} \end{matrix} )

Zu positiven Eigenwerten gehören in 𝔤 also die Matrizen:

\underline{𝔫_{α} :} ( \begin{matrix}0 & x^{H} & 0 \\ −x & 0 & x \\ 0 & x^{H} & 0 \end{matrix} )_{x∈𝕂^{n}}  \underline{𝔫_{2α} :} ( \begin{matrix}z̄ & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \\ z̄ & 0 & z \end{matrix} )_{z∈Im 𝕂}

Gemäß der Jacobiidentität kann dann die einzige nichttriviale Klammer in 𝔫 := 𝔫_{α} ⊕ 𝔫_{2α} der Kommutator von x ∈ 𝔫_{α} und y ∈ 𝔫_{α} in 𝔫_{2α} sein:

[( \begin{matrix}0 & x^{H} & 0 \\ −x & 0 & x \\ 0 & x^{H} & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & y^{H} & 0 \\ −y & 0 & y \\ 0 & y^{H} & 0 \end{matrix} )] = ( \begin{matrix}∗ & ∗ & x^{H}y − y^{H}x \\ ∗ & ∗ & ∗ \\ ∗ & ∗ & ∗ \end{matrix} )

Die Metrik auf 𝔫 ⊕ 𝔞 ist durch die Killingform und die orthogonale Projektion auf 𝔭 gegeben. Die Killingform auf 𝔤 zu bestimmen ist etwas umständlich, aber da G sich als einfach erweist, kann man auch die Bilinearform \frac{1}{2}Re tr XY nehmen, denn sie ist invariant, weil der Kommutator zweier Elemente in 𝕂 in Im 𝕂 liegt, und damit Vielfaches der Killingform. Das Skalarprodukt ist dann:

⟨X, Y ⟩ = \frac{1}{2}Re tr (X − ΘX)Y

Weil 𝔞 auf 𝔫 ⊕ 𝔞 symmetrisch operiert, ist die Zerlegung in Eigenräume notwendigerweise orthogonal und das Skalarprodukt verschwindet bis auf:

⟨a_{1}, a_{2}⟩ = a_{1}a_{2}
⟨x_{1}, x_{2}⟩ = \frac{1}{2}Re(tr b_{1}b_{2}^{H} + b_{1}^{H}b_{2}) = Re b_{1}^{H}b_{2}
⟨z_{1}, z_{2}⟩ = \frac{1}{2}Re(z_{1}z̄_{2} + z̄_{1}z_{2}) = Re z̄_{1}z_{2}

Damit nimmt die kurze Wurzel α auf einen orthonormalen Vektor den Wert 1 an, die Schnittkrümmung liegt deshalb zwischen -1 und -4. Die Metrik entspricht damit den Standardmetriken auf ℝ, 𝕂^{n} und Im 𝕂. Für spätere Rechnungen sei deshalb die Standard-ONB A, X_{s}^{μ}, s = 1, …, n und Z^{ν} eingeführt, wo μ bzw. ν eine ONB-Basis von 𝕂 bzw. Im 𝕂 durchlaufen, etwa 1 plus i, j, k für ℍ, wobei im ℂH^{n+1} für X_{s}^{1}, X_{s}^{i} und Z^{i} nur X_{s}, Y_{s} bzw. Z geschrieben wird. In dieser Basis lauten die Strukturgleichungen:

\begin{aligned}⟨A, A⟩ & = & 1 & [A, X_{s}^{μ}] & = & X_{s}^{μ} \\ ⟨X_{s}^{μ}, X_{t}^{ν}⟩ & = & δ_{s,t}Re μ̄ν & [A, Z^{ν}] & = & 2Z^{ν} \\ ⟨Z^{μ}, Z^{ν}⟩ & = & Re μ̄ν & [X_{s}^{μ}, X_{t}^{ν}] & = & 2δ_{s,t}Z^{Im μ̄ν} \end{aligned}

Alle Matrizen in 𝔫 = 𝔫_{α} ⊕ 𝔫_{2α} haben nun gemeinsam, daß ihre oberen und unteren Zeilen gleich, ihre linken und rechten Spalten aber invers zueinander sind. Deswegen gibt es nur ein nichttriviales Produkt unter Matrizen in 𝔫

( \begin{matrix}0 & x^{H} & 0 \\ −x & 0 & x \\ 0 & x^{H} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & y^{H} & 0 \\ −y & 0 & y \\ 0 & y^{H} & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−x^{H}y & 0 & x^{H}y \\ 0 & 0 & 0 \\ −x^{H}y & 0 & x^{H}y \end{matrix} )

und das Produkt einer solchen Matrix mit einer Matrix aus 𝔫 verschwindet ebenfalls. Deshalb bricht die Expotentialreihe für Matrizen aus 𝔫 sofort ab:

exp ( \begin{matrix}−z & x^{H} & z \\ −x & 0 & x \\ −z & x^{H} & z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 − z − \frac{1}{2}x^{H}x & x^{H} & +z + \frac{1}{2}x^{H}x \\ −x & 1 & x \\ −z − \frac{1}{2}x^{H}x & x^{H} & 1 + z + \frac{1}{2}x^{H}x \end{matrix} )

Mit den gleichen Argumenten kann man auch das Produkt zweier solcher Matrizen als Summen der Form 1 + z + x − \frac{1}{2}x^{H}x einfach bestimmen und erhält einen Spezialfall der Campbell-Baker-Hausdorff-Formel:

exp X exp Y = exp(X + Y + \frac{1}{2}[X, Y])

Damit kann man auf 𝔫 ein Gruppengesetz einführen

• : 𝔫 × 𝔫 → 𝔫 (X, Y) ↦ X • Y mit X • Y = X + Y + \frac{1}{2}[X, Y]

so daß die Expotentialabbildung wie oben angegeben nicht nur ein Diffeomorphismus auf N ⊂ G sondern auch ein Homomorphismus von Gruppen ist und N mit 𝔫 identifiziert.

2 Geometrische Cliffordbündel

Die Trivialisierung NAK des K-Prinzipalbündels G trivialisiert wie gesehen auch alle geometrischen Vektorbündel auf G/K, die also nur durch den Vektorraum der NA-linksinvarianten ”konstanten“ Schnitte und die darauf gegebene Darstellung der Liealgebra 𝔨 vollständig beschrieben werden. Man kann nun insbesondere diejenigen geometrischen Vektorbündel betrachten, die auf jeder Riemannschen Mannigfaltigkeit definiert werden können, solange keine topologischen Hindernisse auftreten. In diesen Bündeln zieht man eine Darstellung von 𝔰𝔬 𝔰, 𝔰 = 𝔤/𝔨 über die definierende Darstellung ad : 𝔨 → 𝔰𝔬 𝔰 des Tangentialbündels nach 𝔨 zurück. Es werden so zunächst zwei geometrische Vektorbündel konstruiert, das Bündel der Multivektoren, die mit Hilfe der Riemannschen Metrik mit den Differentialformen identifiziert werden können, und das Bündel der prinzipalen Spinoren, das im obigen Sinne im allgemeinen die Wahl einer Spinstruktur erfordert. Der Vektorraum der konstanten Schnitte ist in beiden Fällen Λ𝔰, auf dem 𝔰𝔬 𝔰 bzw. 𝔨 im ersten Fall einfach durch Derivationen operiert. Die Konstruktion der zweiten Darstellung benötigt eine veränderte Algebrastruktur auf Λ𝔰, die Cliffordalgebra Cℓ 𝔰. Dabei wird auch eine Cliffordmultiplikation mit Vektoren aus 𝔰 erklärt, die 𝔰𝔬 𝔰-äquivariant für beide Darstellungen auf Λ𝔰 ist, so daß beide Bündel Cliffordbündel sind. Danach wird 𝔰 mit 𝔫 ⊕ 𝔞 identifiziert, so daß man zusätzlich die Struktur einer Liealgebra auf 𝔰 erhält. Damit kann man das Bild der Zusammenhangsformen in 𝔰𝔬 𝔰 bestimmen, denn diese induzieren den Levi-Cività-Zusammenhang auf G/K bzw. auf der dazu isometrischen Liegruppe NA. Schließlich wird der lineare Diracoperator auf dem endlichdimensionalen Vektorraum der konstanten Schnitte für beide Bündel berechnet.

2.1 Äußere Algebren und Cliffordalgebren

Auf der Äußeren Algebra Λ𝔰 eines euklidischen Vektorraumes 𝔰 ist ein Skalarprodukt ⟨, ⟩ definiert, daß auf zerlegbaren Elementen gleichen Grades durch die Gramsche Determinante gegeben ist:

⟨A_{1} ∧ … ∧ A_{k}, B_{1} ∧ … ∧ B_{k}⟩ = det ( \begin{matrix}⟨A_{1}, B_{1}⟩ & ⟨A_{2}, B_{1}⟩ & ⋯ & ⟨A_{k}, B_{1}⟩ \\ ⟨A_{1}, B_{2}⟩ & ⟨A_{2}, B_{2}⟩ & ⋯ & ⟨A_{k}, B_{2}⟩ \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ ⟨A_{1}, B_{k}⟩ & ⟨A_{2}, B_{k}⟩ & ⋯ & ⟨A_{k}, B_{k}⟩ \end{matrix} )

Damit wird Λ𝔰 mit seinem Dual Λ𝔰^{∗} identifiziert, den man andererseits als Vektorraum der alternierenden Formen auf 𝔰 auffassen kann. Die einem Multivektor A_{1} ∧ … ∧ A_{k} zugeordnete Form ist dabei:

(A_{1} ∧ … ∧ A_{k})(X_{1}, …, X_{k}) = ⟨A_{1} ∧ … ∧ A_{k}, X_{1} ∧ … ∧ X_{k}⟩

Die Adjungierte X ⊥, X ∈ 𝔰, der äußeren Multiplikation X∧ entspricht unter dieser Identifizierung also dem Einsetzen des Vektors X an die erste Argumentstelle. Zu dieser Interpretation paßt auch, daß 1 senkrecht auf Bild X∧ steht und damit X ⊥ 1 = 0 gilt. Ansonsten erhält man eine explizite Formel, wenn man obige Determinante etwa nach einer Spalte entwickelt

X ⊥ A_{1} ∧ … ∧ A_{k} = ∑_{s}(−1)^{s−1}⟨X, A_{s}⟩A_{1} ∧ … ∧ Â_{s} ∧ … ∧ A_{k}

wobei die markierten Faktoren Â_{s} hier und im folgenden weggelassen werden. Analog kann man durch Entwickeln obiger Determinante in Shuffles Formeln für die Adjungierte ω ⊥ der äußeren Multiplikation mit homogenen Multivektoren herleiten, etwa für ω ∈ Λ^{2}𝔰:

ω ⊥ A_{1} ∧ … ∧ A_{k} = ∑_{s<t}(−1)^{s+t−1}⟨ω, A_{s} ∧ A_{t}⟩A_{1} ∧ … ∧ Â_{s} ∧ … ∧ Â_{t} ∧ … ∧ A_{k}

Für zerlegbare Multivektoren gilt natürlich (X_{1} ∧ … ∧ X_{k}) ⊥= X_{k} ⊥ … X_{1} ⊥, was dem Einsetzen der X_{1}, …, X_{k} in dieser Reihenfolge an die ersten k Argumentstellen entspricht. Dann gilt für Vektoren (X ∧ Y) ⊥= Y ⊥ X ⊥= −X ⊥ Y ⊥ und somit (X ⊥)^{2} = 0. Die explizite Formel zeigt, daß X ⊥ eine Superderivation von Λ𝔰 ist:

X ⊥ (𝒜 ∧ ℬ) = (X ⊥ 𝒜) ∧ ℬ + (−1)^{|A|}𝒜 ∧ (X ⊥ ℬ)

Dieser Superfaktor hebt sich in der Kombination X∧X ⊥ wieder auf, man erhält eine Derivation. Speziell für die Summe über eine ONB E_{s} ist dann ∑ E_{s}∧E_{s} ⊥ eine Derivation, die auf 𝔰 die Identität ist und folglich Λ^{k}𝔰 mit k multipliziert, obige Summe wird deswegen fermionischer Zahloperator genannt und realisiert die Algebragraduierung auf der Äußeren Algebra. Nach Definition sind dann X∧ und X ⊥ graduierte Operatoren auf Λ𝔰 vom Grad 1 bzw. -1. Insbesondere bestimmt jeder Bivektor 𝒜 ∈ Λ^{2}𝔰 einen Endomorphismus von 𝔰:

𝒜 : 𝔰 → 𝔰 X ↦ X ⊥ 𝒜

Umgekehrt läßt sich für jeden Endomorphismus 𝒜 von 𝔰 die Bilinearform ⟨𝒜(·), ·⟩ genau dann zu einer Linearform auf Λ^{2}𝔰 fortsetzen, wenn 𝒜 ∈ 𝔰𝔬 𝔰 ist, genau dann gibt es also 𝒜 ∈ Λ^{2}𝔰, so daß für alle X, Y ∈ 𝔰 gilt:

⟨𝒜(X), Y ⟩ = ⟨𝒜, X ∧ Y ⟩ = ⟨X ⊥ 𝒜, Y ⟩

Also sind Λ^{2}𝔰 und 𝔰𝔬 𝔰 kanonisch isomorph. Die Lieklammer ist der Kommutator der zugehörigen Endomorphismen, das heißt für Bivektoren:

[A_{1} ∧ A_{2}, B_{1} ∧ B_{2}] = ⟨A_{1}, B_{1}⟩A_{2} ∧ B_{2} − ⟨A_{1}, B_{2}⟩A_{2} ∧ B_{1}

−⟨A_{2}, B_{1}⟩A_{1} ∧ B_{2} + ⟨A_{2}, B_{2}⟩A_{1} ∧ B_{1} Neben X∧ und X ⊥ kann man auch deren Differenz X· = X∧−X ⊥ betrachten, die nach Definition schiefadjungiert ist. Benutzt man X ⊥ als Superderivation, so erkennt man die definierende Eigenschaft der Cliffordmultiplikation:

X · Y · +Y · X· = −X ⊥ Y ∧ −Y ∧ X ⊥ −Y ⊥ X ∧ −X ∧ Y ⊥
= −⟨X, Y ⟩ + Y ∧ X ⊥ −Y ∧ X ⊥ −⟨Y, X⟩ + … − …
= −2⟨X, Y ⟩

Insbesondere ist X· invertierbar und (X·)^{−1} = −\frac{X·}{∥X∥^{2}} Die Operatoren X· erzeugen eine Algebra von Operatoren auf Λ𝔰, die Cliffordalgebra Cℓ 𝔰. Eine Basis von Cℓ 𝔰 bilden die Polynome in einer ONB von 𝔰, in denen jeder Basisvektor höchstens einmal vorkommt, und in dieser Basis sieht man sofort, daß

Cℓ 𝔰 → Λ𝔰 𝒳 ↦ 𝒳 · 1

ein natürlicher Isomorphismus von Cℓ 𝔰 mit Λ𝔰 ist. Im folgenden wird die Cliffordalgebra deshalb als Vektorraum mit Skalarprodukt mit Λ𝔰 identifiziert. Nur die Multiplikation ”·“ ist dann anders, so daß die direkte Identifizierung A_{1} ∧ … ∧ A_{k} = A_{1} · . . . · A_{k} nur dann gelingt, wenn die A_{s} alle orthogonal zueinander sind! Damit kann man nun den Funktor Λ, der einem Vektorraum seine Äußere Algebra zuordnet, zu einem Funktor Cℓ umschreiben. Allerdings ist die Fortsetzung Cℓ f eines Morphismus f nur dann ein Algebrahomomorphismus, wenn f eine Isometrie ist! In der komplexifizierten Cliffordalgebra ℂℓ 𝔰 = Cℓ 𝔰⊗ℂ definiert zum Beispiel die Einschränkung von Cℓ i einen linearen Isomorphismus der obigen ”negativen“ mit einer ”positiven“ Cliffordalgebra, die oft bevorzugt wird, da in ihr die Vektoren X⋆ = X ∧ +X ⊥ selbstadjungierte Operatoren sind. Nun ist (−id) eine Isometrie von 𝔰 und der zugehörige Algebrahomomorphismus Cℓ (−id) definiert neben der ℤ-Graduierung als Vektorraum, die Cℓ 𝔰 von Λ𝔰 erbt, noch eine ℤ_{2}-Algebragraduierung nach Eigenräumen,

Cℓ 𝔰 = Cℓ^{even}𝔰 ⊕ Cℓ^{odd}𝔰

die einfach die ℤ-Graduierung mod 2 ist. So entsteht die Struktur einer Superalgebra mit dem Superkommutator:

{𝒜, ℬ} := 𝒜ℬ − (−1)^{|A||B|}ℬ𝒜

Die Supervariante der Jacobiidentität zeigt, daß {X, ·} eine Superderivation von Cℓ 𝔰 ist, die auf 𝔰 mit der Superderivation −2X ⊥ der Äußeren Algebra Λ𝔰 übereinstimmt. Somit gilt für alle 𝒜 ∈ Cℓ 𝔰 und X ∈ 𝔰

X ⊥ 𝒜 = −\frac{1}{2}\{X, 𝒜\}

denn beide Algebren werden bereits durch die ihnen gemeinsamen Mononome A_{1} ∧…∧A_{k} = A_{1} ·. . .·A_{k} in paarweise orthogonalen Vektoren A_{s} aufgespannt.

Die äußere Multiplikation X∧ mit X ∈ 𝔰 kann man entsprechend in einen Superantikommutator umformulieren:

X ∧ 𝒜 = (X · +X ⊥)𝒜 = X𝒜 − \frac{1}{2}(X𝒜 − (−1)^{|A|}𝒜X) =: \frac{1}{2}\{X, 𝒜\}_{+}

Für ein 𝒜, das {X, 𝒜} = 0 für alle X ∈ 𝔰 erfüllt, folgt zum Beispiel 𝒜 ∈ ℝ1 aus ⟨{X, 𝒜}, ℬ⟩ = −2⟨𝒜, X ∧ ℬ⟩. In ähnlicher Weise folgert man, daß 𝒜 ↦ ⟨𝒜, 1⟩ eine Spur auf Cℓ 𝔰 ist, denn für gerades 𝒜 ist ⟨X · 𝒜, 1⟩ = 0 = ⟨𝒜 · X, 1⟩ und sonst formuliert man 2⟨X ∧ 𝒜, 1⟩ = 0 um zu:

⟨X · 𝒜, 1⟩ = −(−1)^{|𝒜|} ⟨𝒜 · X, 1⟩

Zum Beispiel gilt für ein ω ∈ 𝔰𝔬 𝔰 und alle X ∈ 𝔰 wie gehabt \{\frac{1}{2}ω, X\} = X ⊥ ω, und mit der Jacobiidentität - hier ohne Superfaktoren - folgt

\{\{\frac{1}{2}ω_{1}, \frac{1}{2}ω_{2}\}, X\} = \{\frac{1}{2}[ω_{1}, ω_{2}], X\}

oder die Gleichheit

\{\frac{1}{2}ω_{1}, \frac{1}{2}ω_{2}\} = \frac{1}{2}[ω_{1}, ω_{2}]

modulo ℝ1. Aber beide Seiten stehen senkrecht auf ℝ1, die linke als Kommutator, die rechte als Element von Λ^{2}𝔰. Die Abbildung Λ^{2}𝔰 → Cℓ^{even} 𝔰, ω ↦ \frac{1}{2}ω ist somit ein Liealgebrahomomorphismus. Mit A · B = A ∧ B − ⟨A, B⟩ nach Definition läßt sich das auch einfach nachrechnen. Man kann nun auch einen bemerkenswerten linearen Isomorphismus zwischen der oben erwähnten ”positiven“ und der hier benutzten ”negativen“ Cliffordalgebra angeben, der belegt, daß beide vollkommen gleichberechtigt sind. Denn nach Definition wird die positive Algebra erzeugt durch die Operatoren:

X ⋆ 𝒜 = (X ∧ +X ⊥)𝒜
= \frac{1}{2}\{X, 𝒜\}_{+} − \frac{1}{2}\{X, 𝒜\}
= (−1)^{|𝒜|} 𝒜 · X

Iteriert man diese Formel, so gelangt man in Λ𝔰 zur Gleichung:

X_{1} ⋆ … ⋆ X_{k} = (−1)^{\frac{k}{2} (k−1)}X_{k} · . . . · X_{1}

Weil die X⋆ nach Definition selbstadjungiert sind, erweist sich nun auch die Cliffordmultiplikation mit X ∈ 𝔰 von rechts als schiefsymmetrisch, denn haben 𝒜 und ℬ gleiche Parität, so gilt trivialerweise ⟨𝒜X, ℬ⟩ = 0 = −⟨𝒜, ℬX⟩ und sonst folgt die Schiefsymmetrie aus:

⟨X ⋆ 𝒜, ℬ⟩ − ⟨𝒜, X ⋆ ℬ⟩ = 0 = (−1)^{|𝒜|} ⟨𝒜X, ℬ⟩ − (−1)^{|ℬ|} ⟨𝒜, ℬX⟩

Schreibt man A ∧ B ∈ Λ^{2}𝔰 wie oben als Superantikommutator \frac{1}{2}(AB − BA), erkennt man, daß Links- und Rechtsmultiplikation und damit auch Kommutator mit ω ∈ 𝔰𝔬 𝔰 schiefsymmetrisch sind. So erhält man zwei orthogonale Linksdarstellungen × von 𝔰𝔬 𝔰 auf Cℓ 𝔰:

•die Spinordarstellung: ω × 𝒜 = \frac{1}{2}ω · 𝒜
•die Standarddarstellung: ω × 𝒜 = \{\frac{1}{2}ω, 𝒜\}

Im ersten Fall ist × nämlich gerade der oben beschriebene Homomorphismus von Liealgebren, während man im zweiten Fall noch die Jacobiidentität bemühen muß, um zu zeigen, daß × eine Darstellung ist. Weil die Multiplikationen mit \frac{1}{2}ω von rechts und X· von links offenbar vertauschen, vertragen sich beide Darstellungen mit der Cliffordmultiplikation:

ω × (X𝒜) = \{\frac{1}{2}ω, X\}𝒜 + X(ω × 𝒜)

Deswegen hat man auf den zugehörigen trivialen Vektorbündeln mit der Metrik und dem induzierten Zusammenhang die Struktur von Cliffordbündeln, auf denen die Diracoperatoren definiert, elliptisch und formal selbstadjungiert sind. Das nächste Ziel ist es, die Wirkung dieser beiden Differentialoperatoren auf linksinvarianten Schnitten zu beschreiben. Jede Darstellung der Cliffordalgebra Cℓ 𝔰 auf einem Vektorraum V mit Metrik ⟨, ⟩, bezüglich der jedes X ∈ 𝔰 schiefadjungiert operiert, ermöglicht die Konstruktion weiterer orthogonaler Darstellungen von 𝔰𝔬 𝔰, die sich nach Konstruktion ebenfalls mit der Cliffordmultiplikation vertragen. Auf diese Weise erhält man die Familie der Spinorbündel mit zugehörigen Diracoperatoren. Die Bedingung an die Metrik stellt dann sicher, daß eine solche Darstellung nach Komplexifizierung äquivalent zu einer orthogonalen Summe von minimalen Linksidealen in ℂℓ 𝔰 ist. Insofern ist die Linksdarstellung von Cℓ 𝔰 auf ℂℓ 𝔰 die prinzipale Spinordarstellung. Fragt man nach Eigenwerten und Eigenspinoren, so reicht es vollkommen aus, sich nur auf dieses Spinorbündel zu konzentrieren, denn multipliziert man ein Element eines Linksideals aufgefaßt als konstanten Schnitt von links mit einem solchen Eigenspinor, so erhält man Eigenspinoren im zugehörigen Spinorbündel. Lediglich die Multiplizitäten erfordern darüber hinausgehende Überlegungen. Um minimale Linksideale der komplexifizierten Cliffordalgebra zu beschreiben, wähle man eine orthogonale komplexe Struktur J auf 𝔰 oder einer Hyperebene {E_{0}}^{⊥}, ∥ E_{0} ∥= 1, falls 𝔰 gerade bzw. ungerade Dimension 2N oder 2N +1 hat. Dann gibt es in 𝔰 bzw. {E_{0}}^{⊥} ON-Basen der Form E_{1}, JE_{1}, …, E_{N}, JE_{N}. Die ”holomorphen“ Volumenformen

vol = (E_{1} − iJE_{1}) · · · · · (E_{N} − iJE_{N})

oder im Fall ungerader Dimension

vol_{±} = (E_{0} ± i)(E_{1} − iJE_{1}) · · · · · (E_{N} − iJE_{N})

sind dann unabhängig von der Wahl einer ONB dieser Form und erzeugen minimale Linksideale in ℂℓ 𝔰, die als Vektorräume isomorph sind zu der Äußeren Algebra oder Cliffordalgebra der isotropen Unterräume ”antiholomorpher“ Vektoren, aufgespannt von den E_{s} + iJE_{s} ( Fulton & Harris [2] ). Ist die Dimension von 𝔰 gerade, so kann man dieses Linksideal ferner in die zwei Halbspinräume ℂℓ^{even}𝔰·vol und ℂℓ^{odd}𝔰·vol der links- bzw. rechtshändigen Spinoren unterteilen; bei ungerader Dimension scheitert diese Unterscheidung an E_{0} · vol_{±} = ±i vol_{±}. Der Diracoperator bildet dann die linkshändigen Spinoren in die rechtshändigen ab und umgekehrt. Er wurde von Dirac um 1932 bschrieben und ist damit der Urvater aller anderen Diracoperatoren. Eine genaue Übersicht der irreduzibelen Spinorbündel findet sich zum Beispiel in Lawson & Michelsohn [7].

2.2 Euklidische Liealgebren

Nun sei 𝔰 nicht nur Euklidischer Vektorraum wie bisher, sondern trage auch die Struktur einer Liealgebra mit Klammer [,] : Λ^{2}𝔰 → 𝔰, X ∧ Y ↦ [X, Y]. Alle Informationen über das Verhältnis von Metrik und Klammer sind dann in der Koklammer Δ : 𝔰 → Λ^{2}𝔰, Z ↦ ΔZ, der Adjungierten zur Klammer, enthalten:

⟨ΔZ, X ∧ Y ⟩ = ⟨Z, [X, Y]⟩  bzw.  X ⊥ ΔZ = ⟨Z, [X, ·]⟩^{♭}

Δ ist offenbar linear und hat eine Expansion in eine ONB von Λ^{2}𝔰 der Form:

ΔZ = ∑_{s<t}⟨Z, [E_{s}, E_{t}]⟩E_{s} ∧ E_{t} = \frac{1}{2} ∑_{s,t}⟨Z, [E_{s}, E_{t}]⟩E_{s} ∧ E_{t}

In Algebren 𝔰 = 𝔫 ⊕ 𝔞, die wie oben beschrieben zu einem symmetrischen Raum gehören, summiert man zweckmäßigerweise über eine ONB A_{s}, N_{γ}, die an die orthogonale Zerlegung in Eigenräume zu positiven Wurzeln von 𝔞 adaptiert ist. Dann kann man die Koklammer für Z_{α} ∈ 𝔫_{α} wie folgt zerlegen:

ΔZ_{α} = ∑_{s,γ}⟨Z_{α}, [A_{s}, N_{γ}]⟩A_{s} ∧ N_{γ} + ∑_{γ<δ}⟨Z_{α}, [N_{γ}, N_{δ}]⟩N_{γ} ∧ N_{δ}
= ∑_{s,γ=α} γ(A_{s})A_{s} ∧ ⟨Z_{α}, N_{γ}⟩N_{γ} + Δ_{𝔫}Z_{α}
= α^{♭} ∧ Z_{α} + Δ_{𝔫}Z_{α}

Dabei ist 𝔫 eine euklidische Unteralgebra mit eigener Koklammer Δ_{𝔫}, die aber im Rang 1 Fall nur auf 𝔫_{(2)} ungleich 0 ist wegen [𝔫, 𝔫] ⊂ 𝔫_{(2)}.

Diese Überlegung ermöglicht es, die Koklammer auf 𝔰 schnell zu bestimmen:

\underline{ℝH^{n+1} :} ΔA = 0
ΔX_{s} = A ∧ X_{s}  s = 1, …, n
\underline{ℂH^{n+1} :} ΔA = 0
ΔX_{s} = A ∧ X_{s}  s = 1, …, n
ΔY_{s} = A ∧ Y_{s}
ΔZ = 2A ∧ Z + 2 ∑_{s} X_{s} ∧ Y_{s}

\underline{ℍH^{n+1} :} ΔA = 0
ΔX_{s}^{λ} = A ∧ X_{s}^{λ}  s = 1, …, n, λ = 1, i, j, k
ΔZ^{λ} = 2A ∧ Z^{λ} + ∑_{s,μ} X_{s}^{μ} ∧ X_{s}^{μλ} λ = i, j, k

Der scheinbare Unterschied zwischen ℂH^{n+1} und ℍH^{n+1} verschwindet, wenn man auf dem ℍH^{n+1} noch weiter addiert, zum Beispiel:

ΔZ^{i} = 2A ∧ Z^{i} + 2 ∑_{s}(X_{s}^{1} ∧ X_{s}^{i} − X_{s}^{j} ∧ X_{s}^{k})

Nun ist auf einer euklidischen Liealgebra der Levi-Cività-Zusammenhang durch die Koszulformel definiert mit den Eigenschaften:

•Metrizität: ⟨∇ZX, Y ⟩ + ⟨X, ∇ZY ⟩ = 0
•Torsionsfreiheit: ∇XY − ∇Y X = [X, Y]

Die Metrizität impliziert, daß ∇Z : X ↦ ∇ZX in 𝔰𝔬 𝔰 liegt, also durch die Zusammenhangsform ωZ ∈ Λ^{2}𝔰 beschrieben werden kann:

∇ZX = X ⊥ ωZ wobei ⟨ωZ, X ∧ Y ⟩ = ⟨∇ZX, Y ⟩

Eine explizite Formel für die ωZ läßt sich angeben, wenn man die Koszulformel umformuliert. Dazu definiert man zunächst zwei Elemente der Äußeren Algebra Λ𝔰, die auch später immer wieder auftreten werden und dann die Vorfaktoren rechtfertigen:

•Koszultrivektor: Ω = \frac{1}{4} ∑ E_{s} ∧ ΔE_{s}
•Weylvektor: R = \frac{1}{2} ∑ ∇E_{s}E_{s} = \frac{1}{2} ∑ E_{s} ⊥ ωE_{s}

Der Koszultrivektor repräsentiert bis auf einen Faktor die 3-Form, die durch Alternieren aus der Trilinearform ⟨X, [Y, Z]⟩ entsteht:

3 · Alt (⟨X, [Y, Z]⟩) = ⟨X, [Y, Z]⟩ + ⟨Y, [Z, X]⟩ + ⟨Z, [X, Y]⟩
= ∑(⟨E_{s}, X⟩⟨ΔE_{s}, Y ∧ Z⟩ + ⟨E_{s}, Y ⟩⟨ΔE_{s}, Z ∧ X⟩
+⟨E_{s}, Z⟩⟨ΔE_{s}, X ∧ Y ⟩)
= ∑⟨ΔE_{s}, E_{s} ⊥ (X ∧ Y ∧ Z)⟩
= ⟨4Ω, X ∧ Y ∧ Z⟩

womit die Koszulformel sich umschreiben läßt zu:

⟨ωZ, X ∧ Y ⟩ = ⟨∇ZX, Y ⟩
= \frac{1}{2}(⟨X, [Y, Z]⟩ − ⟨Z, [X, Y]⟩ + ⟨Y, [Z, X]⟩)
= −⟨Z, [X, Y]⟩ + \frac{1}{2}(⟨X, [Y, Z]⟩ + ⟨Y, [Z, X]⟩ + ⟨Z, [X, Y]⟩)
= ⟨−ΔZ, X ∧ Y ⟩ + ⟨2Ω, X ∧ Y ∧ Z⟩
= ⟨−ΔZ + Z ⊥ 2Ω, X ∧ Y ⟩

Insbesondere kann man den Weylvektor auch schreiben als

R = \frac{1}{2} ∑ E_{s} ⊥ (−ΔE_{s} + E_{s} ⊥ 2Ω) = −\frac{1}{2} ∑ E_{s} ⊥ ΔE_{s}

Im Fall 𝔰 = 𝔫 ⊕ 𝔞 ist 𝔫 strikt positiv, orthogonal graduiert, und deswegen gilt N_{γ} ⊥ Δ_{𝔫}N_{γ} = 0 für N_{γ} ∈ 𝔫_{γ}. Somit ist für die euklidische Liealgebra 𝔫 selbst R_{𝔫} = 0, und obige Zerlegung der Koklammer Δ auf 𝔰 führt zu

R = −\frac{1}{2} ∑ N_{γ} ⊥ (γ^{♭} ∧ N_{γ}) = \frac{1}{2} ∑_{γ>0} γ^{♭}

das heißt R entspicht der halben Summe aller positiven Wurzeln. Auch den Koszultrivektor kann man in diesem Fall leichter beschreiben, wegen Δ = 0 auf 𝔞 braucht man nur über eine ONB von 𝔫 zu summieren und alle Terme der Form γ^{♭}∧N_{γ} ∧N_{γ} fallen weg, so daß Ω = Ω_{𝔫}! In den obigen Beispielen berechnet man dann:

\begin{matrix}\underline{ℝH^{n+1} :} & R = \frac{n}{2}A & Ω = 0 \\ \underline{ℂH^{n+1} :} & R = (n + 1)A & Ω = \frac{1}{2} ∑_{s} Z ∧ X_{s} ∧ Y_{s} \\ \underline{ℍH^{n+1} :} & R = (2n + 3)A & Ω = \frac{1}{4} ∑_{s,μ,λ} Z^{λ} ∧ X_{s}^{μ} ∧ X_{s}^{μλ} \end{matrix}

2.3 Die linearen Diracoperatoren

Als erstes Beispiel betrachte man den linearen Diracoperator D_{Λ}, der zur Standarddarstellung von 𝔰𝔬 𝔰 auf den Multivektoren Λ𝔰 gehört. Dazu formuliere man zunächst den Superkommutator mit X ·Y in der Cliffordalgebra um zu einem Operator auf Λ𝔰, indem man 𝒜 · X · Y = (−1)^{|𝒜|} (X ⋆ 𝒜) · Y = −Y ⋆ X ⋆ 𝒜 benutzt:

{XY, } = X · Y · +Y ⋆ X⋆ = ... = 2Y ∧ X ⊥ −2X ∧ Y ⊥

Nach kleiner Umstellung folgt:

X\{\frac{1}{2}Y Z, \} = − (X ∧ Y ∧ Z ⊥ +Z ∧ X ∧ Y ⊥) + (⟨X, Y ⟩Z ⊥ −⟨Z, X⟩Y ⊥)
+ (Z ∧ X ⊥ Y ⊥ +Y ∧ Z ⊥ X ⊥)

so daß man erhält:

−X\{\frac{1}{2}Y Z, \} + Y \{\frac{1}{2}ZX, \} + Z\{\frac{1}{2}XY, \}

= −2Y ∧ Z ∧ X ⊥ +2X ∧ Y ⊥ Z ⊥ −2⟨X, Y ⟩Z ⊥ +2⟨Z, X⟩Y ⊥
= −2(Y ∧ Z) ∧ X ⊥ −2X ∧ (Y ∧ Z) ⊥ −2(X ⊥ (Y ∧ Z)) ⊥

Damit kann man nun den Operator D_{Λ} zusammensummieren:

D_{Λ} = ∑_{s} E_{s}\{\frac{1}{2}ωE_{s}, \}

= \frac{1}{2} ∑_{s,t,r}⟨ωE_{s}, E_{t} ∧ E_{r}⟩E_{s}\{\frac{1}{2}E_{t}E_{r}, \}

= \frac{1}{4} ∑_{s,t,r}(−⟨ΔE_{s}, E_{t} ∧ E_{r}⟩ + ⟨ΔE_{t}, E_{r} ∧ E_{s}⟩ + ⟨ΔE_{r}, E_{s} ∧ E_{t}⟩)E_{s}\{\frac{1}{2}E_{t}E_{r}, \}

= \frac{1}{4} ∑_{s,t,r}⟨ΔE_{s}, E_{t} ∧ E_{r}⟩(−E_{s}\{\frac{1}{2}E_{t}E_{r}, \} + E_{t}\{\frac{1}{2}E_{r}E_{s}, \} + E_{r}\{\frac{1}{2}E_{s}E_{t}, \})

= −\frac{1}{2} ∑_{s,t,r}⟨ΔE_{s}, E_{t} ∧ E_{r}⟩((E_{t}∧E_{r})∧E_{s} ⊥+E_{s}∧(E_{t}∧E_{r})⊥+E_{s} ⊥(E_{t}∧E_{r}))
= − ∑_{s}(ΔE_{s} ∧ E_{s} ⊥ +E_{s} ∧ ΔE_{s} ⊥) + 2R ⊥

In der dritten Zeile wurde dabei die Koszulformel verwendet. Die in dieser Gleichung aufscheinenden Summen

d = − ∑_{s} ΔE_{s} ∧ E_{s} ⊥ sowie d^{∗} = − ∑_{s} E_{s} ∧ ΔE_{s} ⊥

sind jedermann in etwas anderer Form bekannt. Benutzt man nämlich die Formel für die ΔE_{s} ⊥, ΔE_{s} ∈ Λ^{2}𝔰, so erkennt man in

d^{∗}(A_{1} ∧ … ∧ A_{k})

= − ∑_{s,t<r}(−1)^{t+r−1}⟨ΔE_{s}, A_{t} ∧ A_{r}⟩E_{s} ∧ A_{1} ∧ … ∧ Â_{t} ∧ … ∧ Â_{r} ∧ … ∧ A_{k}
= ∑_{t<r}(−1)^{t+r}[A_{t}, A_{r}] ∧ A_{1} ∧ … ∧ Â_{t} ∧ … ∧ Â_{r} ∧ … ∧ A_{k}

den Randoperator der Liealgebrahomologie und somit in seinen offensichtlich adjungierten Operator

d(A_{1} ∧ … ∧ A_{k}) = − ∑_{s,t}(−1)^{t−1}⟨E_{s}, A_{t}⟩ΔE_{s} ∧ A_{1} ∧ … ∧ Â_{t} ∧ … ∧ A_{k}
= − ∑_{t}(−1)^{t−1}ΔA_{t} ∧ A_{1} ∧ … ∧ Â_{t} ∧ … ∧ A_{k}

das äußere Differential auf linksinvarianten Differentialformen. Der linearisierte Diracoperator ist also im wesentlichen der Operator d + d^{∗}, dessen Kern mit der Liealgebrahomologie identifiziert werden kann. Im Falle einer Liealgebra 𝔰 = 𝔫 ⊕ 𝔞 wie oben kommt es nun zu einer erheblichen Vereinfachung dieser Darstellung des Diracoperators. Zunächst braucht man wegen ΔA = 0, A ∈ 𝔞 nur über eine ONB E_{γ} von 𝔫 summieren, die adaptiert an die orthogonale Zerlegung in Wurzelräume ist. Die Koklammer zerlegt sich dann wie gehabt und es folgt:

D_{Λ} = − ∑_{γ}((γ^{♭} ∧ E_{γ} + Δ_{𝔫}E_{γ}) ∧ E_{γ} ⊥+E_{γ} ∧ (γ^{♭} ∧ E_{γ} + Δ_{𝔫}E_{γ})⊥) + 2R⊥
= − ∑_{γ}(γ^{♭} ∧ E_{γ} ∧ E_{γ} ⊥ +E_{γ} ∧ E_{γ} ⊥ γ^{♭} ⊥) + 2R ⊥ −

− ∑_{γ}(Δ_{𝔫}E_{γ} ∧ E_{γ} ⊥ +E_{γ} ∧ Δ_{𝔫}E_{γ} ⊥)

Weil γ^{♭} ⊥, γ^{♭} ∈ 𝔞 mit E_{γ} ∧E_{γ} ⊥, E_{γ} ∈ 𝔫 kommutiert, kann man die erste Summe auch schreiben als

∑_{γ} γ^{♭} ⋆ E_{γ} ∧ E_{γ} ⊥

Dieser Operator ist ähnlich wie der fermionische Zahloperator gebaut und ⋆- multipliziert einen Multivektor 𝒜 ∧ 𝒩 ∈ Λ𝔰 ≅ Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫 mit dem zu seinem Gewicht unter der adjungierten Operation von 𝔞 gehörenden Vektor W ∈ 𝔞, der nur von 𝒩 abhängt W = W_{𝒩} . Die zweite Summe in der Darstellung von D_{Λ} ist wegen R_{𝔫} = 0 der Diracoperator D_{Λ,𝔫} der euklidischen Liealgebra 𝔫. Dieser Operator wirkt nicht auf 𝒜 ∈ Λ𝔞, sondern antikommutiert nur damit aufgrund der E_{γ}∧- bzw. E_{γ} ⊥-Faktoren. Somit gilt

D_{Λ}(𝒜 ∧ 𝒩) = (2R ⊥ −W_{𝒩} ⋆)𝒜 ∧ 𝒩 + (−1)^{|𝒜|} 𝒜 ∧ D_{Λ,𝔫}𝒩

bzw. für den modifizierten linearen Operator D_{Λ,lin} = D_{Λ} + R·

D_{Λ,lin}(𝒜 ∧ 𝒩) = (R − W_{𝒩} ) ⋆ 𝒜 ∧ 𝒩 + (−1)^{|𝒜|} 𝒜 ∧ D_{Λ,𝔫}𝒩

Bemerkenswerterweise tritt ganz natürlich die positive Cliffordmultiplikation auf, obwohl das Problem ursprünglich allein mit der negativen formuliert worden war. Der Übergang zwischen beiden Algebren vertauscht im wesentlichen Links- und Rechtsmultiplikation, so daß dieser Vorgang plausibel wird, wenn man bedenkt, daß der Diracoperator auf Multivektoren auch von rechts mit der Zusammenhangsform multipliziert. Einfacher sind die Rechnungen bei der Spinordarstellung. Hier ist der lineare Diracoperator D_{$} die Linksmultiplikation mit dem Element:

∑ E_{s} · \frac{1}{2}ωE_{s} = \frac{1}{2} ∑ E_{s} · (−ΔE_{s} + E_{s} ⊥ 2Ω)
= \frac{1}{2} ∑(−E_{s} ∧ ΔE_{s} + E_{s} ⊥ ΔE_{s} + E_{s} ∧ E_{s} ⊥ 2Ω)
= −2Ω − R + 3Ω
= Ω − R

In der dritten Zeile tritt der fermionische Zahloperator auf, der hier Λ^{3}𝔰 ∋ Ω mit 3 multipliziert. Der modifizierte lineare Operator D_{$,lin} = D_{$} + R· ist also die Linksmultiplikation mit dem Koszultrivektor Ω.

3 Die Eigenwerte der linearen Operatoren

Die beiden oben beschriebenen Cliffordbündel der Multivektoren und der prinzipalen Spinoren sind auf Symmetrischen Räumen trivial. Der Modul der globalen Schnitte ist somit das Tensorprodukt C^{∞}NA ⊗ Λ𝔰, so daß man den endlichdimensionalen Vektorraum Λ𝔰 mit den konstanten, das heißt eigentlich NA-linksinvarianten Schnitten 1 ⊗ Λ𝔰 identifizieren kann. Die beiden Diracoperatoren D_{Λ} bzw. D_{$} operieren bereits auf den konstanten Schnitten, und lassen sich deshalb wie folgt zerlegen:

D(f ⊗ 𝒳) = grad f · 𝒳 + f ⊗ D𝒳

so daß sie sich nur um den linearen Operator D auf Λ𝔰 unterscheiden, grad f ist hier als Schnitt des Tangentialbündels C^{∞}NA ⊗ 𝔰 zu verstehen. Die Modifikation D + R· des linearen Operators D auf Λ𝔰 ist wie bereits gesehen selbstadjungiert und deswegen orthogonal diagonalisierbar. In Kenntnis seiner Eigenwerte und Eigenvektoren kann man mit der wichtigen Funktion y ∈ C^{∞}NA Eigenschnitte von D konstruieren, die Verallgemeinerungen der Eigenfunktionen y^{z}, z ∈ ℂ, aller G-invarianten, skalaren Differentialoperatoren auf G/K sind. Im skalaren Fall bilden nach Harish-Chandra bereits die Funktionen y^{ir+∥R∥}, r ∈ ℝ, zu allen Spitzen NA des Symmetrischen Raums G/K ein vollständiges Distributionensystem auf C_{0}^{∞}G/K und definieren die unitäre Fouriertransformation von L^{2}G/K in einen L^{2}-Raum über den Parametern ”Spitze × ℝ“. Eine genauere Untersuchung der so konstruierten Eigenschnitte könnte somit zeigen, daß dieses System von Eigenschnitten ebenfalls vollständig ist. Mit diesen Eigenschnitten kann man dann etwa ”Eisensteinreihen“ zum Diracoperator D definieren. Danach werden deshalb die Eigenwerte und Eigenvektoren der modifizierten linearen Operatoren der Spinoren und Multivektoren auf den reell- und komplexhyperbolischen Räumen, sowie der Spinoren auf den quaternional-hyperbolischen Räumen bestimmt. Der Operator der Multivektoren ist in diesen Räumen zu kompliziert, wie man am Beispiel des Spektrum auf der Ebene ℍH^{2} erkennt.

3.1 Lineare Eigenwerte und Spektrum

Sei 𝔙 ein geometrisches Cliffordbündel, assoziiert an eine orthogonale Darstellung von 𝔨 auf einem euklidischen Vektorraum V und mit einer 𝔨-äquivari-anten Cliffordmultiplikation · ausgestattet wie am Ende des ersten Kapitels. Dann gilt für den Zusammenhang ∇ auf 𝔙, daß ∇A = 0 für alle konstanten Schnitte. Deswegen antikommutieren der lineare Operator D : V → V und die Cliffordmultiplikation mit A beinahe:

DAv = ∑ E_{s} · ∇E_{s}(A · v)
= ∑ E_{s} · A · ∇E_{s}v + ∑ E_{s} · (∇E_{s}A) · v
= −ADv − 2∇Av − (∑ E_{s} · [A, E_{s}]) · v

wo der zweite Term verschwindet und man ∇E_{s}A − ∇AE_{s} = −[A, E_{s}] benutzt. Summiert man dann über eine adaptierte ONB E_{α}, so erhält man für die letzte Summe ∑_{α>0} α(A) = 2⟨R, A⟩ = −{R, A}, damit gilt

{D, A} = −{R, A}

und schließlich {D_{lin}, A} = 0 für den modifizierten Operator D_{lin} = D + R·. Nun muß man mindestens eine Funktion auf NA kennen, um Eigenfunktionen des Diracoperators zu bestimmen. Dazu betrachte man die Differentialgleichung dt = ⟨A, ·⟩, t ∈ C^{∞}NA, die wegen d⟨A, ·⟩ = −ΔA = 0 nach dem Lemma von Poincaré eine Lösung t hat, eindeutig bis auf eine Konstante, die man etwa mit t(e) = 0 fixieren kann. Das Gradientenfeld A von t erzeugt dabei die Rechtsoperation von A auf NA, so daß t die Zeit mißt, die man braucht um aus N nach Na, a ∈ A, zu fließen, das heißt t(ne^{sA}) = s. Nützlicher ist t nun in der Form y = e^{t} ∈ C^{∞}NA, was im Poincaréschen Halbraummodell der reellhyperbolischen Räume ℝH^{n+1} ≅ ℝ_{+} × ℝ^{n} gerade die ℝ_{+}-Halbraumkoordinate ist. Nach Konstruktion ist y eine ”Eigenfunktion“ des Gradienten:

grad y = e^{t}grad t = yA mit y(ne^{sA}) = e^{s}

Also gilt A(y^{z+∥R∥}) = (z+ ∥ R ∥)y^{z+∥R∥} und die Zerlegung des Diracoperators führt für einen konstanten Schnitt v ∈ V zu:

D(y^{z+∥R∥}v) = y^{z+∥R∥}((z+ ∥ R ∥)A · v + D_{lin}v − R · v) = y^{z+∥R∥}(zA · v + D_{lin}y)

Für einen Eigenvektor v ∈ V des symmetrischen, das heißt diagonalisierbaren, und mit A antikommutierenden Operators D_{lin} mit D_{lin}v = Ev kann man deshalb die folgende Gleichung hinschreiben:

D(y^{z+∥R∥}\binom{v}{Av}) = y^{z+∥R∥} ( \begin{matrix}E & z \\ −z & −E \end{matrix} ) \binom{v}{Av}

Die in dieser Gleichung aufscheinende Matrix, die den Diracoperator auf dem Spann von y^{z+∥R∥}v und y^{z+∥R∥}Av beschreibt, ist für z ≠ ±E oder E = z = 0 diagonalisierbar mit Eigenwerten ±\sqrt{E^{2} − z^{2}} und Eigenzeilenvektoren

( E ± \sqrt{E^{2} − z^{2}} z) ( \begin{matrix}E & z \\ −z & −E \end{matrix} ) = ±\sqrt{E^{2} − z^{2}} ( E ± \sqrt{E^{2} − z^{2}} z)

was im Fall z = ±E in einem Vektor des eindimensionalen Kerns zusammenfällt, sofern die Matrix nicht bereits völlig verschwindet. Diese Matrix ist typisch für die Beschreibung der Summe zweier antikommutierender Operatoren, und ebenso typisch ist die Form der Eigenwerte und Eigenvektoren, die auch bei ähnlichen, später betrachteten Matrizen zu bemerken ist. Auf diese Weise erhält man Eigenschnitte des Diracoperators in der Form:

y^{z+∥R∥}((E ± \sqrt{E^{2} − z^{2}})v + zAv) zum Eigenwert ± \sqrt{E^{2} − z^{2}}

Weil das Spektrum des mit A antikommutierenden Operators D_{lin} symmetrisch zu 0 liegt, sind die kritischen Werte für z gerade die von Null verschiedenen Eigenwerte von D_{lin}, für andere z sind Schnitte der Form y^{z+∥R∥}v, v ∈ V, stets in Eigenschnitte zerlegbar. Insbesondere gilt dies für die interessantesten Werte z = ir, r ∈ ℝ, weil alle Eigenwerte von D_{lin} reell sind. Ist z ≠ 0 hingegen ein Eigenwert von D_{lin}, so ist y^{z+∥R∥}v nur dann in Eigenschnitte zerlegbar, wenn v in einen Unterraum von V liegt, dessen Kodimension in V die Multiplizität von z ist. Im folgenden werden die Eigenwerte und Eigenvektoren des modifizierten linearen Diracoperators bestimmt, um diese interessante Familie von Eigenschnitten des Diracoperators explizit angeben zu können. Im Falle des prinzipalen Spinorbündels reduziert sich das auf das Problem, die Linksmultiplikation mit dem Koszultrivektor Ω zu diagonalisieren, wozu es im Gegensatz zu Vektoren und Bivektoren keine allgemeine Prozedur zu geben scheint. Noch weiter entfernt scheint ein allgemeines Vorgehen im Fall des Multivektorenbündels zu liegen. Diesen Fall kann man aber noch auf das Studium des linearen Diracoperators D_{Λ,𝔫} der euklidischen Unteralgebra 𝔫 zurückführen, indem man den modifizierten linearen Operators D_{Λ,lin} gemäß Λ𝔰 = Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫 zerlegt:

D_{Λ,lin}𝒜 ∧ 𝒩 = (R − W_{𝒩} ) ⋆ 𝒜 ∧ 𝒩 + (−1)^{|A|}𝒜 ∧ D_{Λ,𝔫}𝒩

wo W_{𝒩} ∈ 𝔞 das Gewicht von 𝒩 unter der adjungierten Operation von 𝔞 ist. D_{Λ,𝔫} ist dabei analog zur Formel für D_{Λ} nur mit Klammer und Koklammer auf 𝔫 konstruiert, beide aber respektieren die adjungierte Operation von 𝔞:

Δ_{𝔫} : 𝔫_{α} → ⨁_{γ+δ=α} 𝔫_{γ} ∧ 𝔫_{δ} und [,] : 𝔫_{γ} ∧ 𝔫_{δ} → 𝔫_{γ+δ}

Der Operator D_{Λ,𝔫} operiert somit bereits auf den verschiedenen Eigenräumen von 𝔞 und ist außerdem selbstadjungiert wegen R_{𝔫} = 0, besitzt also eine vollständige ONB von Eigenvektoren, die auch Eigenvektoren unter 𝔞 sind. Gilt dann für einen solchen Eigenvektor D_{Λ,𝔫}𝒩 = E𝒩 zum Gewicht W = W_{𝒩} etwa W = R, dann sind alle 𝒜∧𝒩 mit homogenen 𝒜 Eigenvektoren von D_{Λ,lin} zum Eigenwert (−1)^{|𝒜|} E. Ansonsten gilt für homogene 𝒜 mit (R − W) ⊥ 𝒜 = 0:

D_{Λ,lin}\binom{𝒜 ∧ 𝒩}{(R − W) ∧ 𝒜 ∧ 𝒩} = ( \begin{matrix}(−1)^{|𝒜|} E & 1 \\ ∥ R − W ∥^{2} & −(−1)^{|𝒜|} E \end{matrix} ) \binom{𝒜 ∧ 𝒩}{(R − W) ∧ 𝒜 ∧ 𝒩}

so daß D_{Λ,lin} in diesem zweidimensionalen Unterraum diagonalisierbar ist mit Eigenwerten ±\sqrt{E^{2}+ ∥ R − W ∥^{2}} und Eigenvektoren:

((−1)^{|𝒜|} E ± \sqrt{E^{2}+ ∥ R − W ∥^{2}})𝒜 ∧ 𝒩 + (R − W) ∧ 𝒜 ∧ 𝒩

Das so konstruierte System von Eigenvektoren von D_{Λ,lin} ist vollständig, da die homogenen Vektoren der Form 𝒜 bzw. (R − W) ∧ 𝒜 mit (R − W) ⊥ 𝒜 = 0 den ganzen Raum Λ𝔞 aufspannen. Um modifizierte lineare Operatoren auf Spinoren zu diagonalisieren, sind einige Rechenhandgriffe für Cliffordalgebren nützlich, die im folgenden erklärt werden. Sie sind hier nur für die negative Cliffordmultiplikation · angegeben, gelten mit geringen Abänderungen aber auch für die positive ⋆. Eine Basis der Cliffordalgebra Cℓ 𝔰 bilden wie erwähnt die Monome in einer ONB E_{s}, in der jeder Basisvektor höchstens einmal vorkommt. Ein solches Monom wird durch eine Teilmenge S ⊂ {1, …, dim 𝔰} und eine Ordnung darauf beschrieben:

E_{S} = E_{s_{1}} · . . . · E_{s_{k}} für S = {s_{1}, … s_{k}}

Zwei solche Monome E_{S} und E_{T} kommutieren oder antikommutieren, je nachdem ob die Differenz | S || T | − | S ∩ T | gerade oder ungerade ist. In der Tat, man muß jeden Vektor E_{s}, s ∈ S, an jedem Vektor E_{t}, t ∈ T, vorbeitauschen und bekommt jedesmal einen Vorzeichenwechsel, es sei denn es ist s = t, was nach Voraussetzung genau | S ∩ T | mal passiert. Quadriert man ein Monom E_{S}, S = {s_{1}, …, s_{k}}, mit k ≥ 1 so erhält man

E_{S} · E_{S} = E_{s_{1}} · . . . · E_{s_{k}} · E_{s_{1}} · . . . · E_{s_{k}}
= (−1)^{k−1}E_{s_{1}} · E_{s_{1}} · E_{s_{2}} · . . . · E_{s_{k}} · E_{s_{2}} · . . . · E_{s_{k}} = …
= (−1)^{\frac{k}{2} (k+1)}

so daß (E_{S})^{2} = 1 oder −1 falls | S |≡ 3, 0 mod 4 bzw. | S |≡ 1, 2 mod 4. Im wesentlichen läuft es auf die dritte binomische Formel hinaus, wenn man diese Gleichung wie folgt schreibt

E_{S} · (E_{S} ± \sqrt{E_{S}^{2}}) = ±\sqrt{E_{S}^{2}}(E_{S} ± \sqrt{E_{S}^{2}}) mit \sqrt{E_{S}^{2}} := i^{\frac{|S|}{2} (|S|+1)}

was eventuell erst in der komplexifizierten Cliffordalgebra ℂℓ 𝔰 Sinn macht. Die E_{S} sind also vollständig diagonalisierbar und

\frac{1}{2 ∥ E_{S} ∥}(E_{S} ± \sqrt{E_{S}^{2}})

sind komplementäre (!) Projektionen auf die Eigenräume zu den Eigenwerten ±\sqrt{E_{S}^{2}}. Wählt man ein s ∈ S aus, so kann man alle Basisvektoren der Cliffordalgebra als E_{T} oder E_{s} · E_{T} mit s ∉ T schreiben und erhält so eine eindeutige Zerlegung der Form:

𝒳 = E_{s} · 𝒳′ + 𝒳“
= E_{S} · (\frac{1}{\sqrt{E_{S\\{s\}}^{2}}} E_{S\\{s\}} · 𝒳′) + 𝒳“

= (E_{S} + \sqrt{E_{S}^{2}})𝒳̃_{+} + (E_{S} − \sqrt{E_{S}^{2}})𝒳̃_{−}

mit eindeutig bestimmten 𝒳′, 𝒳“ bzw. 𝒳̃_{±} aus ℂℓ {E_{s}}^{⊥}, die Ordnung auf S\{s} ist dabei so gewählt, daß E_{S} = E_{s} · E_{S\{s}}. Die Eigenräume der Multiplikation mit E_{S} sind also beide isomorph zu ℂℓ {E_{s}}^{⊥}. Sind E_{S_{i}}, i = 1, …, k nicht notwendigerweise kommutierende Monome, dann kann man das Argument iterieren, wenn man für jedes i ein s_{i} ∈ S_{i} so finden kann, daß s_{i} ∉ S_{j} für alle j > i, und erhält dann eine eindeutige Zerlegung von 𝒳 ∈ ℂℓ 𝔰 in eine Summe von Elementen der Form:

(E_{S_{1}} ± \sqrt{E_{S_{1}}^{2}}) · . . . · (E_{S_{k}} ± \sqrt{E_{S_{k}}^{2}}) · ℂℓ \{E_{s_{1}}, … E_{s_{k}}\}^{⊥}

Die Voraussetzung an die Wahl der s_{i} ist hierbei notwendig. Eine solche Wahl ist zum Beispiel beim dem modifizierten Diracoperator auf den Spinoren der quaternional-hyperbolischen Ebene ℍH^{2} nicht möglich. Obwohl die Monome in diesem Fall alle kommutieren, kann man deshalb mit diesem Argument keine Schlußfolgerung über die Dimension der gemeinsamen Eigenräume ziehen.

3.2 Die linearen Operatoren

3.2.1 Die Operatoren auf ℝH^{n+1}

Der modifizierte lineare Diracoperator auf Spinoren des ℝH^{n+1} ist Linksmultiplikation mit Ω = 0, hat also den Eigenwert 0 der Multiplizität 2^{n+1}. Da die Unteralgebra 𝔫 = 𝔫_{(1)} in diesen Fall trivial ist, verschwinden Klammer und Koklammer und somit auch D_{Λ,𝔫}, so daß der Eigenwert von 𝒜 ∧ 𝒩 unter D_{Λ,lin} allein vom Gewicht W_{𝒩} = kA, 𝒩 ∈ Λ^{k}𝔫 abhängt. Mit R = \frac{n}{2}A erhält man wie oben beschrieben Eigenwerte \frac{n}{2} − k für k = 1, …, n mit Eigenvektoren

𝒩 + A ∧ 𝒩, 𝒩 ∈ Λ^{k}𝔫 und 𝒩 − A ∧ 𝒩, 𝒩 ∈ Λ^{n−k}𝔫

so daß der Eigenraum zum Eigenwert \frac{n}{2} − k die Dimension 2\binom{n}{k} hat.

3.2.2 Der Operator auf den Spinoren des ℂH^{n+1}

Zum Diracoperator der Spinoren auf dem komplex-hyperbolischen Raum ℂH^{n+1} gehört als modifizierter linearer Operator die Linksmultiplikation mit der Summe

Ω = \frac{1}{2} ∑_{s} ZX_{s}Y_{s}

in der die Summanden ZX_{s}Y_{s} wegen 3 · 3 − 1 gerade paarweise kommutieren und alle diagonalisierbar mit Eigenwerten ±1 sind. Ein gemeinsamer Eigenraum aller ZX_{s}Y_{s} ist somit von der Form

(ZX_{1}Y_{1} ± 1) … (ZX_{n}Y_{n} ± 1) Cℓ {X_{1}, …, X_{n}}^{⊥}

mit der Dimension 2^{n+2}. Auf \binom{n}{N} dieser Räume hat Ω dann den Eigenwert \frac{1}{2}(n − 2N) = \frac{n}{2} − N für N = 0, …, n, nämlich genau auf den Räumen, wo der charakterisierende Ausdruck genau N Minuszeichen enthält. Die Multiplizität dieses Eigenwerts ist also \binom{n}{N}2^{n+2}.

3.2.3 Der Operator auf den Multivektoren des ℂH^{n+1}

Auf den Multivektoren der komplex-hyperbolischen Räume muß man zunächst den Diracoperator D_{Λ,𝔫} verstehen:

D_{Λ,𝔫} = −Δ_{𝔫}Z ∧ Z ⊥ −Z ∧ Δ_{𝔫}Z ⊥

wobei Δ_{𝔫}Z = 2X_{1} ∧ Y_{1} + ⋯ + 2X_{n} ∧ Y_{n}. Entscheidend ist dabei eine Kommutatorrelation zwischen Δ_{𝔫}Z∧ und Δ_{𝔫}Z ⊥. Der Kommutator kann nämlich in Summanden 4[Y_{s} ⊥ X_{s} ⊥, X_{t} ∧ Y_{t}∧] zerlegt werden, die aber für s ≠ t verschwinden, weil alle Faktoren antikommutieren. Es bleibt also

[Δ_{𝔫}Z ⊥, Δ_{𝔫}Z∧] = 4 ∑_{s}[Y_{s} ⊥ X_{s} ⊥, X_{s} ∧ Y_{s}∧]
= 4 ∑_{s}(⟨X_{s}, X_{s}⟩Y_{s} ⊥ Y_{s} ∧ −⟨Y_{s}, Y_{s}⟩X_{s} ∧ X_{s} ⊥)
= 4n − 4 ∑_{s}(X_{s} ∧ X_{s} ⊥ +Y_{s} ∧ Y_{s} ⊥)

Die zweite Summe ist der fermionische Zahloperator in Λ𝔫_{(1)}. Iteriert man diesen Kommutator, so findet man für 𝒩 ∈ Λ^{d}𝔫_{(1)} ∩ Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ und k ≥ 0:

Δ_{𝔫}Z ⊥ (Δ_{𝔫}Z∧)^{k+1}𝒩 = 4(n − 2k − d)(Δ_{𝔫}Z∧)^{k}𝒩 + Δ_{𝔫}Z ∧ Δ_{𝔫}Z ⊥ (Δ_{𝔫}Z∧)^{k}𝒩
= ... = 4(k + 1)(n − d − k)(Δ_{𝔫}Z∧)^{k}𝒩

Das kleinste k, für das (Δ_{𝔫}Z∧)^{k+1}𝒩 verschwinden kann, ist deswegen k = n − d und man erhält eine Kette von Vektoren ungleich 0:

{𝒩 \atop in Λ^{d}𝔫_{(1)}}  {Δ_{𝔫}Z ∧ 𝒩 \atop in Λ^{d+2}𝔫_{(1)}}  {(Δ_{𝔫}Z∧)^{2}𝒩 \atop in Λ^{d+4}𝔫_{(1)}}  ⋯  {(Δ_{𝔫}Z∧)^{n−d}𝒩 \atop in Λ^{2n−d}𝔫_{(1)}}

Jeder Unterraum Λ^{d}𝔫_{(1)} läßt sich nun orthogonal zerlegen in seinen Schnitt mit Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ und Bild Δ_{𝔫}Z∧, weil die Δ_{𝔫}Z∧ und Δ_{𝔫}Z ⊥ graduiert und adjungiert sind. In diesem Sinne kann man also ein 𝒩 ∈ Λ^{d}𝔫_{(1)} zerlegen in 𝒩_{0} + Δ_{𝔫}Z ∧ 𝒩′ und dann mit 𝒩′ so fortfahren, um schließlich die Darstellung

𝒩 = 𝒩_{0} + Δ_{𝔫}Z ∧ 𝒩_{1} + (Δ_{𝔫}Z∧)^{2}𝒩_{2} + ⋯

mit 𝒩_{s} ∈ Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ ∩Λ^{d−2s}𝔫_{(1)} zu erhalten. Diese Darstellung ist eindeutig, denn wendet man (Δ_{𝔫}Z ⊥)^{k} darauf an, erhält man nach obiger Formel ein bestimmtes Vielfaches von 𝒩_{k} als die eindeutige Komponente in Kern Δ_{𝔫}Z ⊥. Diese Eindeutigkeit impliziert für 𝒩 mit Δ_{𝔫}Z ∧ 𝒩 = 0 aber (Δ_{𝔫}Z∧)^{s+1}𝒩_{s} = 0 für alle s und damit 𝒩_{s} = 0 falls s > d − n. Für d ≤ n ist deshalb die Abbildung Δ_{𝔫}Z∧ : Λ^{d−2}𝔫_{(1)} → Λ^{d}𝔫_{(1)} injektiv, das heißt:

dim Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ ∩Λ^{d}𝔫_{(1)} = \binom{2n}{d} − \binom{2n}{d − 2} für d ≤ n

Außerdem ist (Δ_{𝔫}Z∧)^{n−d} ein Isomorphismus von Λ^{d}𝔫_{(1)} nach Λ^{2n−d}𝔫_{(1)}, in Graden d > n existiert daher kein nichttriviales 𝒩 ∈ Kern Δ_{𝔫}Z ⊥.

Die Multivektoren der Form (Δ_{𝔫}Z∧)^{k}𝒩 mit 𝒩 ∈ Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ ∩Λ^{d}𝔫_{(1)} mit d = 0, …, n und k = 0, …, n − d spannen also Λ𝔫_{(1)}. Zu einem solchen Multivektor hat man dann für jedes k = 0, …, n − d − 1 Eigenvektoren von D_{Λ,𝔫} der Form

2\sqrt{(k + 1)(n − k − d)}Z ∧ (Δ_{𝔫}Z∧)^{k}𝒩 ± (Δ_{𝔫}Z∧)^{k+1}𝒩

zum Eigenwert ∓2\sqrt{(k + 1)(n − d − k)} und zusätzlich zwei Eigenvektoren 𝒩 und Z ∧ (Δ_{𝔫}Z∧)^{n−d}𝒩 zum Eigenwert 0. Weist man den beiden letzten Fällen k = −1 bzw. k = n − d zu, so ist das nicht nur konsistent mit der Formel für den Eigenwert, sondern auch mit der Formel für den Vektor W = (d + 2k + 2)A zum Gewicht unter der adjungierten Operation von 𝔞. Die Eigenvektoren von D_{Λ,lin} kann man nun wie oben beschrieben direkt angeben. Obwohl sie dann etwas kompliziert aussehen, ist der Eigenwert wegen R = (n + 1)A einfach

E = ±\sqrt{(∓2\sqrt{(k + 1)(n − k − d)})^{2}+ ∥ R − (d + 2k + 2)A ∥^{2}}
= ±\sqrt{4(k + 1)(n − d − k) + ((n − d − k) − (k + 1))^{2}}
= ±(n − d + 1)

Für festes 𝒩 ∈ Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ ∩Λ^{d}𝔫_{(1)} erhält man so zu diesem Eigenwert jeweils einen Eigenvektor für k = −1 und k = n − d und jeweils zwei für alle k = 0, …, n − d − 1. Die Dimension des zugehörigen Eigenraums ist also

2(n − d + 1)(\binom{2n}{d} − \binom{2n}{d − 2})

Die folgende Tabellle beschreibt das Spektrum auf den ℂH^{n+1} für 1 ≤ n ≤ 6:

[figure: 0; ℂH^{2}:; 2; 4; -2; 4; 1; 4; -1; 4; Anzahl; gesamt; 16; 0; ℂH^{3}:; 3; 6; -3; 6; 2; 16; -2; 16; 1; 10; -1; 10; Anzahl; gesamt; 64; 0; ℂH^{4}:; 4; 8; -4; 8; 3; 36; -3; 36; 2; 56; -2; 56; 1; 28; -1; 28; Anzahl; gesamt; 256; 0; ℂH^{5}:; 5; 10; -5; 10; 4; 64; -4; 64; 3; 162; -3; 162; 2; 192; -2; 192; 1; 84; -1; 84; Anzahl; gesamt; 1024; 0; ℂH^{6}:; 6; 12; -6; 12; 5; 100; -5; 100; 4; 352; -4; 352; 3; 660; -3; 660; 2; 660; -2; 660; 1; 264; -1; 264; Anzahl; gesamt; 4096; 0; ℂH^{7}:; 7; 14; -7; 14; 6; 144; -6; 144; 5; 650; -5; 650; 4; 1664; -4; 1664; 3; 2574; -3; 2574; 2; 2288; -2; 2288; 1; 858; -1; 858; Anzahl; gesamt; 16384]

Um irgendeinen Eigenvektor explizit hinschreiben zu können, muß man nun noch den Raum Kern Δ_{𝔫}Z ⊥ ∩Λ^{d}𝔫_{(1)} kennen. Ohne Beweis sei hier vermerkt, daß dieser Raum von Multivektoren der Form

(X_{s_{1}} ∧ Y_{s_{1}} − X_{s_{2}} ∧ Y_{s_{2}}) ∧ … ∧ (X_{s_{2t+1}} ± Y_{s_{2t+1}}) ∧ … ∧ (X_{s_{d}} ± Y_{s_{d}})

mit paarweise verschiedenen s_{1}, …, s_{d} aufgespannt wird.

3.2.4 Der Operator auf den Spinoren des ℍH^{n+1}

Auf dem ℍH^{n+1} ist der modifizierte lineare Operator zu Spinoren die Linksmultiplikation mit

Ω = \frac{1}{2} ∑_{s}(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} − Z^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} + Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j} − Z^{j}X_{s}^{k}X_{s}^{i} + Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k} − Z^{k}X_{s}^{i}X_{s}^{j})

In dieser Summe kommutieren alle Summanden, die zu gleichem s oder gleichem Z^{μ} gehören, alle anderen Summanden antikommutieren. Glücklicherweise kommutieren aber die Volumenelemente Z^{i}Z^{j}Z^{k} von 𝔫_{(2)} und X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} mit s = 1, …, n der n orthogonalen Kopien von ℍ in 𝔫_{(1)} mit allen Summanden von Ω und untereinander. Sie erfüllen außerdem die wichtigen Gleichungen

(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i})(Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j})(Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k}) = (Z^{i}Z^{j}Z^{k})(X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k})

und zum Beispiel

(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i})(X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k}) = −Z^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k}

sowie ähnliche Formeln für j und k. Weil die X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} untereinander kommutieren und diagonalisierbar mit Eigenwerten ±1 sind, kann man D_{$,lin} auf den gemeinsamen Eigenräumen der Dimension 2^{3n+4} betrachten. Auf einem solchen gemeinsamen Eigenraum operiert −Z^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} gemäß der zweiten Gleichung wie ±Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i}, und ebenso operieren −Z^{j}X_{s}^{k}X_{s}^{i} und −Z^{k}X_{s}^{i}X_{s}^{j} wie ±Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j} bzw. ±Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k}, so daß sich D_{$,lin} auf die Linksmultiplikation mit

∑_{s}(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} + Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j} + Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k})

reduziert, wo die Summe nur noch über die s geht, für die der Eigenwert unter X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} gerade 1 ist. Interessant ist deshalb nur das Neuspektrum des Operators D_{$,lin} auf dem gemeinsamen Eigenraum Cℓ_{neu}𝔰 zum gemeinsamen Eigenwert 1, auf allen anderen gemeinsamen Eigenräumen geht die Summe nicht mehr über alle s, und Eigenvektoren lassen sich in Analogie zum Neuspektrum auf einem kleineren ℍH^{k+1}, k < n konstruieren:

Spektrum von D_{$,lin} auf ℍH^{n+1} = ⨁_{k=0}^{n} 2^{3(n−k)}\binom{n}{k}Neuspektrum auf ℍH^{k+1}

In dieser Formel enthält das Neuspektrum auf ℍH^{1} den 16-fachen Eigenwert 0.

Auf Cℓ_{neu}𝔰 kann man nun zunächst die kommutierenden Summanden Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} von Ω und Z^{i}Z^{j}Z^{k} diagonalisieren, ein gemeinsamer Eigenraum hat dann Dimension 2^{2n+3}. Weil die Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j} aber mit den Z^{i}X_{t}^{1}X_{t}^{i}, t ≠ s antikommutieren induzieren sie Isomorphismen zwischen diese gemeinsame Eigenräumen. Für ein Monom 𝒵_{S} := (Z^{j}X_{s_{1}}^{1}X_{s_{1}}^{j}) ⋯ (Z^{j}X_{s_{k}}^{1}X_{s_{k}}^{j}), S = {s_{1}, …, s_{k}} ⊂ {1, …, n} und einen Eigenvektor 𝒩 zum gemeinsamen Eigenwert ±1 aller Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} gilt etwa

(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i})(𝒵_{S}𝒩) = \{ \begin{matrix}±(−1)^{|S|} & für s ∉ S \\ − ± (−1)^{|S|} & für s ∈ S \end{matrix} \} (𝒵_{S}𝒩)

Ersetzt man S durch sein Komplement S^{c}, so vertauschen sich die beiden Fälle und man bekommt einen zusätzlichen (−1)^{n}-Faktor. Deshalb haben 𝒵_{S}𝒩 und 𝒵_{S^{c}}𝒩 für ungerades n gleiche, für gerades n genau entgegengesetzte Eigenwerte unter allen Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i}. Für gerades n ist deshalb jeder gemeinsame Eigenraum der Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} Bild des gemeinsamen Eigenraums zum gemeinsamen Eigenwert 1, jedes Element von Cℓ_{neu}𝔰 hat also in diesem Fall eine eindeutige Darstellung als Summe von Elementen der Form

𝒵_{S}(Z^{i}X_{1}^{1}X_{1}^{i} + 1) ⋯ (Z^{i}X_{n}^{1}X_{n}^{i} + 1)(Z^{i}Z^{j}Z^{k} ±_{z} 1)
(X_{1}^{1}X_{1}^{i}X_{1}^{j}X_{1}^{k} + 1) ⋯ (X_{n}^{1}X_{n}^{i}X_{n}^{j}X_{n}^{k} + 1)Cℓ {X_{s}^{i}, X_{s}^{k}, Z^{k}}^{⊥}

Die technische Voraussetzung an Existenz und Eindeutigkeit dieser Darstellung ist hier erfüllt, weil die X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k} mit allen anderen Faktoren kommutieren und deshalb genausogut an erster Stelle geschrieben werden könnten. Für ungerades n kommutiert (Z^{i}X_{1}^{1}X_{1}^{i}) ⋯ (Z^{i}X_{n}^{1}X_{n}^{i}) mit allen Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j}, das Produkt der Eigenwerte der Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} bleibt also unter Multiplikation mit allen 𝒵_{S} konstant. Deswegen erhält man nur eine eindeutige Darstellung als Summe von

𝒵_{S}(Z^{i}X_{1}^{1}X_{1}^{i} ±_{x} 1) ⋯ (Z^{i}X_{n}^{1}X_{n}^{i} ±_{x} 1)(Z^{i}Z^{j}Z^{k} ±_{z} 1)
(X_{1}^{1}X_{1}^{i}X_{1}^{j}X_{1}^{k} + 1) ⋯ (X_{n}^{1}X_{n}^{i}X_{n}^{j}X_{n}^{k} + 1)Cℓ {X_{s}^{i}, X_{s}^{k}, Z^{j}, Z^{k}}^{⊥}

Ein gemeinsamer Eigenraum der Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} ist nämlich in diesem Fall als Bild entweder des gemeinsamen Eigenraums zum gemeinsamen Eigenwert +1 oder −1. Dann ist aber die Zweideutigkeit S ↔ S^{c} zu beachten. Als Mengen haben nun S und S^{c} ungleiche Parität, multipliziert man deshalb 𝒵_{S} und 𝒵_{S^{c}} aus, dann ist eins ein Element in Cℓ {X_{s}^{i}, X_{s}^{k}, Z^{j}, Z^{k}}^{⊥} und das andere ein Element in Z^{j}·Cℓ {X_{s}^{i}, X_{s}^{k}, Z^{j}, Z^{k}}^{⊥}; diese beiden Räume spannen wieder Cℓ {X_{s}^{i}, X_{s}^{k}, Z^{k}}^{⊥} auf. Auf einem gemeinsamen Eigenraum der X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k}, der Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} und Z^{i}Z^{j}Z^{k} operiert nun Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k} wie ±Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j}, denn die erste der oben angegebenen Gleichungen kann man auch schreiben als

(Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k}) = (Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j})(Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i})(Z^{i}Z^{j}Z^{k})(X_{s}^{1}X_{s}^{i}X_{s}^{j}X_{s}^{k})

Insbesondere gilt für Vektoren 𝒵_{S}𝒩, in dem 𝒩 wie oben Eigenvektor aller (Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i})· zum Eigenwert ±_{x}1, von (Z^{i}Z^{j}Z^{k})· zum Eigenwert ±_{z}1 ist:

(Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k})(𝒵_{S}𝒩) = \{ \begin{matrix}±_{x} ±_{z} (−1)^{|S|} & für s ∉ S \\ − ±_{x} ±_{z}(−1)^{|S|} & für s ∈ S \end{matrix} \} (Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j})(𝒵_{S}𝒩)

und somit für ±_{z} ±_{x} (−1)^{|S|} = 1:

Ω(𝒵_{S}𝒩) = ±_{z}(n − 2 | S |)(𝒵_{S}𝒩) + 2 ∑_{s∉S}(𝒵_{S∪{s}}𝒩)

sowie für ±_{z} ±_{x} (−1)^{|S|} = −1:

Ω(𝒵_{S}𝒩) = − ±_{z} (n − 2 | S |)(𝒵_{S}𝒩) + 2 ∑_{s∈S}(𝒵_{S\{s}}𝒩)

Schränkt man sich also auf gemeinsame Eigenräume der Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} und Z^{i}Z^{j}Z^{k} ein, dann operieren die Summanden Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} von D_{$,lin} natürlich als Skalare, und die Beiträge der Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j}- und Z^{k}X_{s}^{1}X_{s}^{k}-Summanden heben sich entweder auf oder sind bereits gleich; im letzteren Fall wird der gemeinsame Beitrag durch die obigen Formeln beschrieben. Damit ist der entscheidende Schritt zur Diagonalisierung von D_{$,lin} getan. Neben den Monomen 𝒵_{S} muß man nun aber auch deren Summen betrachten, das heißt die von den Z^{j}X_{s}^{1}X_{s}^{j} erzeugte, 2^{n}-dimensionale Unteralgebra von Cℓ 𝔰. Um obige Formeln für alle Elemente dieser Algebra zu formulieren, benötigt man noch die Graduierung dieser Algebra nach | S |, sowie die beiden graduierten Operatoren vom Grad 1 bzw. −1

Δ_{E}(𝒵_{S}) = ∑_{s∉S} 𝒵_{S∪{s}} und Δ_{V} (𝒵_{S}) = ∑_{s∈S} 𝒵_{S\{s}}

die man als Summen bosonischer Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren auf der Potenzmenge auffassen kann. Die Bezeichnung soll an die enge Verwandtschaft dieser Operatoren mit Δ_{𝔫}Z∧ und Δ_{𝔫}Z ⊥ auf dem ℂH^{n+1} erinnern, obwohl es keine offensichtlichen Zusammmenhänge gibt. Weil die 𝒵_{S} eine ONB dieser Unteralgebra bilden, sind Δ_{E} und Δ_{V} adjungiert zueinander, so daß man die oben ausgeführte Argumentation einfach übernehmen kann. Die einzige Kommutatorrelation

[Δ_{V} , Δ_{E}]𝒵_{S} = ∑_{s∉S} ∑_{t∈S∪{s}} 𝒵_{(S∪{s})\{t}} − ∑_{t∈S} ∑_{s∉S\{t}} 𝒵_{(S\{t})∪{s}}
= (n − 2 | S |)𝒵_{S}

zeigt also für ein 𝒵 ∈ Kern Δ_{V} vom Grad d zunächst

Δ_{V} Δ_{E}^{k+1}𝒵 = (n − 2d − 2k)Δ_{E}^{k}𝒵 + Δ_{E}Δ_{V} Δ_{E}^{k}𝒵 = … = (k + 1)(n − 2d − k)Δ_{E}^{k}𝒵 Danach folgert man, daß sich jedes Element der Unteralgebra in eindeutiger Weise schreiben läßt als Summe von Elementen der Form Δ_{E}^{k}𝒵 mit d = 0, …, ⌊\frac{n}{2}⌋, k = 0, …, n − 2d und 𝒵 ∈ Kern Δ_{V} vom Grad d - diese Bedingungen an die 𝒵 werden auf einem Unterraum der Dimension \binom{n}{d}−\binom{n}{d−1} erfüllt, der aufgespannt wird von der Elementen der Form

(Z^{j}X_{s_{1}}^{1}X_{s_{1}}^{j} − Z^{j}X_{s_{2}}^{1}X_{s_{2}}^{j}) · . . . · (Z^{j}X_{s_{2d−1}}^{1}X_{s_{2d−1}}^{j} − Z^{j}X_{s_{2d}}^{1}X_{s_{2d}}^{j})

mit paarweise verschiedenen s_{1}, …, s_{2d}. Die Zahlen \binom{n}{d}−\binom{n}{d−1} sind Verallgemeinerungen der Catalánzahlen und zählen die Pfade auf dem Koordinatengitter, die stets nach oben oder rechts gehend vom Punkt (0, 0) zum Punkt (n − d, d) gelangen, ohne jemals die Diagonale zu überqueren. Diese Analogie kann man nutzen, um aus den oben angegebenen Elementen eine Basis dieses Unterraums auszuwählen. Für ein 𝒵 in Kern Δ_{V} vom Grad d = 0, …, ⌊\frac{n}{2}⌋, ein k = 0, …, n − 2d − 1 und einen Eigenvektor 𝒩 von allen Z^{i}X_{s}^{1}X_{s}^{i} und Z^{i}Z^{j}Z^{k} zum Eigenwert ±_{x}1 bzw. ±_{z}1 mit ±_{z} ±_{x} (−1)^{k+d} = 1 kann man nun die Linksmultiplikation mit Ω auf dem von Δ_{E}^{k}𝒵 · 𝒩 und Δ_{E}^{k+1}𝒵 · 𝒩 erzeugten 2-dimensionalen Unterraum schreiben als

Ω\binom{Δ_{E}^{k}𝒵 · 𝒩}{Δ_{E}^{k+1}𝒵 · 𝒩} = ( \begin{matrix}±_{z}(n − 2d − 2k) & 2 \\ 2(k + 1)(n − 2d − k) & ∓_{z}(n − 2d − 2k − 2) \end{matrix} ) \binom{Δ_{E}^{k}𝒵 · 𝒩}{Δ_{E}^{k+1}𝒵 · 𝒩}

Die Eigenwerte dieser Matrix sind

E = ±_{z}1 ± \sqrt{1 + (n − 2d − 2k)(n − 2d − 2k + 2) + 4(k + 1)(n − 2d − k)}
= ±_{z}1 ± (n − 2d + 1)

mit zugehörigen Eigenvektoren:

(±_{z}(\frac{n − 1}{2} − k − d) ± (\frac{n + 1}{2} − d))Δ_{E}^{k}𝒵 · 𝒩 + Δ_{E}^{k+1}𝒵 · 𝒩

Wegen \frac{n+1}{2} − d > 0 läßt sich ein Δ_{E}^{k}𝒵 · 𝒩 als Linearkombination der so konstruierten Eigenvektoren darstellen, wenn entweder k oder k−1 alle oben genannten Bedingungen erfüllt. Das ist nur für k = 0 oder k = n − 2d unter Umständen nicht der Fall, unter der Bedingung ±_{z} ±_{x} (−1)^{d} = −1 bzw. ±_{z} ±_{x} (−1)^{n−d} = 1 erhält man dann zusätzliche Eigenvektoren

𝒵 · 𝒩 und Δ_{E}^{n−2d}𝒵 · 𝒩

zum Eigenwert ∓_{z}(n − 2d). Die oben gefundenen Eigenwerte schreibt man also besser als ∓_{z}(n − 2d) und ±_{z}(n − 2d + 2).

Für ungerades n ist es nun einfach, die Multiplizitäten dieser beiden Eigenwerte zu bestimmen, weil man ±_{x} stets geeignet wählen kann. Deshalb gibt es zu jedem 0 ≤ k < n − 2d je einen Eigenvektor zu den Eigenwerten ∓_{z}(n − 2d) und ±_{z}(n−2d+2), sowie zwei zusätzliche Eigenvektoren zum Eigenwert ∓_{z}(n−2d), mit den Wahlmöglichkeiten der 𝒩 und 𝒵 insgesamt also:

2^{2n+2}(n − 2d)(\binom{n}{d} − \binom{n}{d−1}) ; 2^{2n+2}(n − 2d + 2)(\binom{n}{d} − \binom{n}{d−1}) mal den Eigenwert {±_{z}(n − 2d + 2) \atop ∓_{z}(n − 2d)}

für d = 0, …, ⌊\frac{n}{2}⌋. Dasselbe Ergebnis erhält man nach einigen Fallunterscheidungen auch für gerades n. Das Neuspektrum liegt also in den Eigenräumen unter Z^{i}Z^{j}Z^{k} nicht mehr symmetrisch zum Ursprung, diese Symmetrie stellt sich erst wieder ein, wenn man noch über ±_{z} summiert. Dann wird das Ergebnis aber noch komplizierter, so daß hier darauf verzichtet wird. Stattdessen ist für 1 ≤ n ≤ 6 das Neuspektrum des linearen Operators auf den Spinoren des ℍH^{n+1} in folgendem Diagramm dargestellt:

[figure: 0; ℍH^{2}:; 2^{4}; fach; 3; 1; -3; 1; 1; 3; -1; 3; Anzahl; gesamt; 8·2^{4}; ℍH^{3}:; 2^{6}; fach; 4; 2; -4; 2; 2; 4; -2; 4; 0; 4; Anzahl; gesamt; 16·2^{6}; 0; ℍH^{4}:; 2^{8}; fach; 5; 3; -5; 3; 3; 7; -3; 7; 1; 6; -1; 6; Anzahl; gesamt; 32·2^{8}; ℍH^{5}:; 2^{10}; fach; 6; 4; -6; 4; 4; 12; -4; 12; 2; 12; -2; 12; 0; 8; Anzahl; gesamt; 64·2^{10}; 0; ℍH^{6}:; 2^{12}; fach; 7; 5; -7; 5; 5; 19; -5; 19; 3; 25; -3; 25; 1; 15; -1; 15; Anzahl; gesamt; 128·2^{12}; ℍH^{7}:; 2^{14}; fach; 8; 6; -8; 6; 6; 28; -6; 28; 4; 48; -4; 48; 2; 36; -2; 36; 0; 20; Anzahl; gesamt; 256·2^{14}]

Die Multiplizitäten summieren sich jeweils zu 2^{3n+4}, der Dimension von Cℓ_{neu}𝔰. Das gesamte Spektrum auf ℍH^{n+1} enthält dann das Neuspektrum von ℍH^{k+1} genau 2^{3(n−k)}\binom{n}{k} mal, das Neuspektrum auf ℍH^{1} enthält dabei nach Definition nur 0 mit Multiplizität 16.

3.2.5 Der Operator auf den Multivektoren des ℍH^{2}

Das Studium des Diracoperators auf den Multivektoren der quaternional-hyper-bolischen Ebene ℍH^{2} zeigt die im allgemeinen Fall zu erwartenden Probleme und gibt außerdem Gelegenheit, das Vorgehen auf den komplex-hyperbolischen Räumen ℂH^{n+1} in einen allgemeineren Rahmen zu stellen. Bei den Multivektoren ist das eigentliche Problem der Operator:

D_{Λ,𝔫} = − ∑_{ν=i,j,k}(Δ_{𝔫}Z^{ν} ∧ Z^{ν} ⊥ +Z^{ν} ∧ Δ_{𝔫}Z^{ν} ⊥)

Die von den Δ_{𝔫}Z^{ν}∧ und Δ_{𝔫}Z^{ν} ⊥ erzeugte Operatorenalgebra ist nun selbstadjungiert, und Λ𝔫_{(1)} erweist sich deshalb als orthogonale Summe irreduzibeler Darstellungen dieser Algebra:

Λ𝔫_{(1)} = 1_{i} ⊕ 1_{j} ⊕ 1_{k} ⊕ 5 ⊕ 8

Ist V eine dieser Darstellungen, dann operiert D_{Λ,𝔫} bereits in Λ𝔫_{(2)} ⊗ V und respektiert dabei das Gewicht unter der adjungierten Operation von 𝔞. Deshalb kann man Λ𝔫_{(2)} ⊗V noch weiter in die orthogonale Summe der Eigenräume zum Gewicht ⟨kA, ·⟩ - kurz k - zerlegen, und D_{Λ,𝔫} dann auf jedem dieser Unterräume getrennt betrachten. Mit R = 5A erhält man dann auch die Eigenwerte von D_{Λ,lin} auf den zugehörigen Unterräumen von Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫_{(2)} ⊗ V. Die Darstellungen 1_{i}, 1_{j} und 1_{k} sind eindimensional und werden von X^{1}X^{i} + X^{j}X^{k}, X^{1}X^{j} + X^{k}X^{i} bzw. X^{1}X^{k} + X^{i}X^{j} aufgespannt. Sie bilden den gemeinsamen Kern aller Operatoren Δ_{𝔫}Z^{ν}∧ und Δ_{𝔫}Z^{ν} ⊥. Somit verschwindet auch D_{Λ,𝔫} auf Λ𝔫_{(2)} ⊗ (1_{i} ⊕ 1_{j} ⊕ 1_{k}). Dieser Unterraum enthält Vektoren vom Gewicht 2, 4, 6 und 8, sodaß für das Spektrum von D_{Λ,lin} auf dem zugehörigen Unterraum von Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫 folgt:

[figure: 0; -3; 6; -1; 18; 1; 18; 3; 6]

Die Darstellung 8 ist der achtdimensionale Unterraum Λ^{odd}𝔫_{(1)}. Λ𝔫_{(2)} ⊗ 8 enthält Vektoren vom Gewicht 1, 3, 5, 7 und 9, und bis auf den 24-dimensionalen Unterraum zum Gewicht 5 sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von D_{Λ,𝔫} leicht zu bestimmen. Auf dem zugehörigen Unterraum von Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫 hat D_{Λ,lin} dann die Eigenwerte

[figure: 0; -4; 32; -2; 32; 2; 32; 4; 32]

Die Darstellung 5 ist fünfdimensional und wird von den Vektoren 1, X^{1}X^{i}X^{j}X^{k} und X^{1}X^{i} − X^{j}X^{k}, X^{1}X^{j} − X^{k}X^{i} sowie X^{1}X^{k} − X^{i}X^{j} aufgespannt, Λ𝔫_{(2)} ⊗ 5 enthält dann Vektoren vom Gewicht 0, 2, 4, 6, 8 und 10. Auf dem zugehörigen Unterraum von Λ𝔞 ⊗ Λ𝔫 hat D_{Λ,lin} dann die Eigenwerte:

[figure: 0; -5; 6; -\sqrt{17}; 24; -1; 10; 1; 10; ^{\sqrt{17}}; 24; 5; 6]

Dabei sind die Eigenwerte ±\sqrt{17} eine Überraschung, denn alle anderen Eigenwerte modifizierter linearer Operatoren in dieser Arbeit sind (halb-)ganzzahlig. Eigenvektoren zu diesen Eigenwerten kommen etwa von den Eigenvektoren von D_{Λ,𝔫} zum Eigenwert ∓2\sqrt{2} und Gewicht 2 her:

\sqrt{2}Z^{i} ± (X^{1}X^{i} − X^{j}X^{k})

In den höherdimensionalen quaternional-hyperbolischen Räumen ℍH^{n+1}, n > 1, kann man Λ𝔫_{(1)} mit dem n-fachen Tensorprodukt von Λ𝔫_{(1)} zu n = 1 identifizieren. Die Operatoren Δ_{𝔫}Z^{ν}∧ und Δ_{𝔫}Z^{ν} ⊥ sind dann einfach die als Derivationen auf dieses Tensorprodukt fortgesetzten Operatoren Δ_{𝔫}Z^{ν}∧ und Δ_{𝔫}Z^{ν} ⊥ zu n = 1. Die Darstellungen 1_{i}, 1_{j}, 1_{k}, 5 und 8 bzw. ihre n-fachen Tensorprodukte spielen deshalb auch bei der Diagonalisierung von D_{Λ,𝔫} auf den ℍH^{n+1}, n > 1, eine Rolle. Die Vielzahl unterschiedlicher, irreduzibeler Darstellungen, die in diesen Tensorprodukten zu erwarten sind, sollte das Hauptproblem bei der Diagonalisierung von D_{Λ,𝔫} zu sein.

4 Das Symbol der Diracoperatoren

Geometrische Diracoperatoren auf Symmetrischen Räumen sind die Summe ihres modifizierten linearen Operators und ihres ”Symbols“. Dieser Differentialoperator erster Ordnung hängt nur von der Cliffordmultiplikation des Bündels ab und realisiert in der Zerlegung C^{∞}(NA, Λ𝔰) = C^{∞}NA⊗Λ𝔰 die Multiplikation mit dem Gradienten:

D_{Symbol} = ∑_{𝔰} E_{s} ⊗ E_{s} · −1 ⊗ R·

E_{s} durchläuft dabei eine ONB von 𝔰 und −1⊗R· hebt den Korrektursummanden im modifizierten linearen Operator auf. Weil die Cliffordmultiplikationen auf den Spinoren und den Multivektoren übereinstimmen, haben beide zugehörigen Diracoperatoren dasselbe Symbol D_{Symbol}. Die Gruppenmultiplikation ermöglicht es nun, C^{∞}NA vermöge des Diffeomorphismus N × A → NA als geeignet vervollständigtes Tensorprodukt C^{∞}N ⊗ C^{∞}A darzustellen. Auf einem Symmetrischen Raum vom Rang 1 führt diese Separation der Variablen zu einer Zerlegung des Symbols in eine gewichtete Summe von paarweise antikommutierenden Operatoren

D_{Symbol} = D_{(0)} + yD_{(1)} + y^{2}D_{(2)}

in der D_{(1)} und D_{(2)} nur noch auf C^{∞}N ⊗ Λ𝔰 operieren. In diesem Sinne sind sie dann aber Linearkombinationen von Operatoren X ⊗ X· für linksinvariante Vektorfelder X auf N. Faßt man diese Vektorfelder nun als die inifinitesimalen Generatoren der regulären Rechtsdarstellung von N auf L^{2}N auf, so kann man D_{(1)} und D_{(2)} zu jeder unitären Darstellung π von N auf π ⊗Λ𝔰 definieren. Jede unitäre Darstellung läßt sich aber als direktes Integral von irreduzibelen Darstellungen auffassen, so daß es genügt, sich diese beiden Operatoren in einfachen Modellen L_{N^{+}}^{2}N solcher Darstellungen π_{η} anzuschauen.

4.1 Die Zerlegung des Symbols

Nach Definition ist das Symbol die Summe über eine beliebige ONB von 𝔰, die man insbesondere auch angepaßt an die orthogonale Zerlegung 𝔞 ⊕ 𝔫_{(1)} ⊕ 𝔫_{(2)} wählen kann:

D_{Symbol} = ∑_{𝔞} E_{s} ⊗ E_{s} · + ∑_{𝔫_{(1)}} E_{s} ⊗ E_{s} · + ∑_{𝔫_{(2)}} E_{s} ⊗ E_{s} · −1 ⊗ R ·
= (A− ∥ R ∥) ⊗ A · + ∑ E_{(1)} ⊗ E_{(1)} · + ∑ E_{(2)} ⊗ E_{(2)}·

Problematisch an dieser Darstellung ist, daß die Differentialoperatoren A, E_{(1)} und E_{(2)} nicht kommutieren. Man kann dieses Problem umgehen, wenn man die Variablen separiert mit Hilfe des Diffeomorphismus N × A ≅ NA, (n, a) ↦ na, so daß nach geeigneter Komplettierung gilt C^{∞}NA = C^{∞}N ⊗ C^{∞}A. Mit dieser Zerlegung erhält man mit A = 1 ⊗ A kommutierende X̃ := X ⊗ 1, X ∈ 𝔫, zu denen auf NA die Vektorfelder gehören:

(X̃f)(na) = \frac{d}{dt}f(ne^{tX}a) = \frac{d}{dt}f(nae^{tAd_{a^{−1}} X}) = (Ad_{a^{−1}}Xf)(na)

Für X_{α} ∈ 𝔫_{α} gilt nun:

Ad_{e^{−tA}}X_{α} = e^{α(−tA)}X_{α} = (e^{t})^{−α(A)}X

Obige Gleichung läßt sich deshalb mit der Funktion y wie im dritten Kapitel y(ne^{tA}) = e^{t} auf ganz NA umformulieren zu

X̃_{α} = y^{−α(A)}X_{α}

was man in obige Zerlegung des Symbols einsetzen kann, um

D_{Symbol} = D_{(0)} + yD_{(1)} + y^{2}D_{(2)}

zu erhalten, wobei:

D_{(0)} := (A− ∥ R ∥) ⊗ A ·
D_{(1)} := ∑ Ẽ_{(1)} ⊗ E_{(1)} ·
D_{(2)} := ∑ Ẽ_{(2)} ⊗ E_{(2)}·

Als Differentialoperatoren auf N kommutieren nun die in 𝔫 zentralen Ẽ_{(2)} mit allen Ẽ_{(1)}. Deshalb kommutieren die Differentialoperatoren in den verschiedenen Summanden, wohingegen die Cliffordmultiplikationen antikommutieren, so daß die D_{α} paarweise antikommutieren. Weil D_{(1)} und D_{(2)} beide mit dem Operator A der Cliffordmultiplikation mit dem konstanten Vektorfeld A antikommutieren, ist es für praktische Zwecke günstiger, das Paar kommutierender Operatoren D_{(1)} und AD_{(2)} zu betrachten. Die von NA zurückgezogene Volumenform ist nun nicht die Volumenform auf dem Produkt N × A. Nach Konstruktion entsprechen nämlich die Vektorfelder X ∈ 𝔫_{α} auf N × A den Vektorfeldern X̃ = y^{−α(A)}X auf NA. Deswegen nimmt die Volumenform auf NA auf dem Bild einer positiv orientierten ONB von Vektorfeldern A, E_{s} auf N ×A den Wert y^{−2∥R∥} an. Die L^{2}-Norm einer Funktion f auf NA berechnet sich daher nach partieller Integration auf N × A durch:

∥ f ∥_{L^{2}NA}^{2}= ∫_{A} ∥ f(− · a) ∥_{L^{2}N}^{2} y^{−2∥R∥} \frac{dy}{y} mit \frac{dy}{y} = ⟨A, ·⟩

Diese Formel überträgt sich sofort auf alle die Vektorbündel, deren konstante Schnitte auch über NA konstantes Skalarprodukt haben. Insbesondere gilt sie für alle hier betrachteten Cliffordbündel. Betrachtet man die vorausgehende Herleitung, so erscheint es vielleicht einfacher, den anderen Diffeomorphismus A × N ≅ AN, (a, n) ↦ an zu benutzen, um die Variablen zu separieren. In der Tat fallen dann die y-Faktoren weg, aber dafür wirkt das linksinvariante Vektorfeld A nicht mehr ausschließlich auf dem C^{∞}A-Faktor. Außerdem wird es so schwieriger, zu lokal Symmetrischen Räumen Γ\G/K überzugehen, deren Enden diffeomorph zu Enden der Quotienten Γ_{N} \NA, Γ_{N} = Γ ∩ N der Spitzen NA von Γ\G/K sind. Inspiriert durch Weitzenböckformel ziehe man nun den skalaren Laplaceoperator auf Funktionen zum Vergleich heran:

Δ := ∑(E_{s}^{2} − ∇E_{s}E_{s})
= (A^{2} − 2R) + ∑_{𝔫_{(1)}} E_{(1)}^{2} + ∑_{𝔫_{(2)}} E_{(2)}^{2}

Separiert man nun wieder die Variablen, ersetzt also die linksinvarianten Vektorfelder X ∈ 𝔫 auf NA durch die nur auf N definierten Differentialoperatoren X̃ auf C^{∞}N, so folgt

Δ = (A^{2} − 2R) + y^{2}Δ_{(1)} + y^{4}Δ_{(2)}

mit

Δ_{(1)} = ∑_{𝔫_{(1)}} Ẽ_{(1)}^{2} und Δ_{(2)} = ∑_{𝔫_{(2)}} Ẽ_{(2)}^{2}

Als Differentialoperatoren auf N erfüllen die Ẽ die Liealgebra 𝔫. Deswegen kommutieren die Ẽ_{(1)} mit den zentralen Ẽ_{(2)} und somit auch Δ_{(1)} und Δ_{(2)}. Gemeinsame Eigenfunktionen dieser kommutierenden Operatoren werden etwa in Klingholz [5] beschrieben. Vergleicht man sie mit den den Quadraten der antikommutierenden Operatoren D_{(1)} und D_{(2)}

D_{(1)}^{2} = ∑_{𝔫_{(1)},s,t} Ẽ_{s}Ẽ_{t} ⊗ E_{s} · E_{t} ·
= − ∑_{𝔫_{(1)},s} Ẽ_{s}^{2} ⊗ 1 + ∑_{𝔫_{(1)},s<t}[Ẽ_{s}, Ẽ_{t}] ⊗ E_{s} · E_{t} ·
= − ∑_{𝔫_{(1)},s} Ẽ_{s}^{2} ⊗ 1 + ∑_{𝔫_{(2)},r} ∑_{𝔫_{(1)},s<t} Ẽ_{r} ⊗ ⟨E_{r}, [E_{s}, E_{t}]⟩E_{s} · E_{t} ·
= − ∑_{𝔫_{(1)}} Ẽ_{(1)}^{2} ⊗ 1 + ∑_{𝔫_{(2)}} Ẽ_{(2)} ⊗ Δ_{𝔫}E_{(2)}
und D_{(2)}^{2} = − ∑_{𝔫_{(2)}} Ẽ_{(2)}^{2} ⊗ 1

sieht man sofort die Ähnlichkeit D_{(2)}^{2} = −Δ_{(2)} ⊗ 1 und D_{(1)}^{2} = −Δ_{(1)} ⊗ 1 + · · ·. Der störende zweite Summand erfordert es, gemeinsame Eigenfunktionen der Δ_{(1)} und Δ_{(2)} nur mit dazu passenden 𝒩 ∈ Λ𝔰 zu tensorieren, stellt dann aber kein Problem dar. Daher werden zunächst, Klingholz [5] folgend, gemeinsame Eigenfunktionen der Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)} beschrieben. Wesentlich ist dabei die Beobachtung, daß sich die Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)} bereits für jede unitäre Darstellung π von N definieren lassen, weil die linksinvarianten Vektorfelder die infinitesimalen Generatoren der regulären Rechtsdarstellung von N auf L^{2}N sind. Eine unitäre Äquivalenz bildet entsprechende Generatoren aufeinander ab und somit auch die abgeleiteten Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)}. Also genügt es, diese beiden Operatoren in einfachen Modellen aller Äquivalenzklassen irreduzibeler, unitärer Darstellungen zu betrachten. Die Unterscheidung zwischen den linksinvarianten Vektorfeldern X ∈ 𝔫 auf NA und den zugehörigen Differentialoperatoren X̃ auf N, deren Wirkung auf den Funktionen auf NA erst durch die Separation der Variablen erklärt wird, spielt dabei keine Rolle mehr und wird im folgenden fallengelassen. Diese Äquivalenzklassen lassen sich nach Kirillov ( siehe [4] oder [10] ) für die einfach zusammenhängende, nilpotente Liegruppe N nach den Orbiten der koadjungierten Darstellung auf 𝔫^{∗} parametrisieren. Um diese Orbiten zu bestimmen, identifiziert man N zunächst über die Expotentialabbildung mit der Liealgebra 𝔫, auf der das Gruppengesetz die im ersten Kapitel angegebene Form

A • B = A + B + \frac{1}{2}[A, B] für alle A, B ∈ 𝔫 = N

der Campbell-Baker-Hausdorff-Formel hat. Dann ist A^{−1} = −A und ganz allgemein ist t ↦ tA, A ∈ 𝔫 eine Einparameteruntergruppe. Schließlich ist der Gruppenkommutator gleich der Lieklammer.

Deswegen sind adjungierte und koadjungierte Darstellung durch

Ad_{A}X = X + [A, X] und (Ad_{A}^{∗}η)(X) = η(Ad_{A^{−1}}X) = η(X − [A, X])

gegeben, doppelte Klammern sind in 𝔫 immer 0 und fallen bei diesen und ähnlichen Rechnungen sofort heraus. Zerlegt man nun η ∈ 𝔫^{∗} gemäß 𝔫 = 𝔫_{(1)} ⊕ 𝔫_{(2)} in η = η_{(1)} + η_{(2)}, dann gehört zu η_{(2)} der Vektor Z^{η} ∈ 𝔫_{(2)} mit:

η[A, B] = ⟨Z^{η}, [A, B]⟩ = ⟨A ⊥ Δ_{𝔫}Z^{η}, B⟩ für alle A, B ∈ 𝔫

Im Falle η_{(2)} ≠ 0 bildet Δ_{𝔫}Z^{η}, in dieser Weise als Endomorphismus von 𝔫 aufgefaßt, 𝔫_{(1)} in sich ab und ist als Endomorphismus von 𝔫_{(1)} invertierbar! Auf den quaternional-hyperbolischen Räumen zum Beispiel bildet Δ_{𝔫}Z^{i} den Vektor X_{s}^{μ} auf 2X_{s}^{μi} ab und Δ_{𝔫}Z^{j} sowie Δ_{𝔫}Z^{k} wirken analog. Insbesondere antikommutieren diese drei Endomorphismen, so daß mit der Linearität der Koklammer

(Δ_{𝔫}Z^{η})^{2} = −4 ∥ η_{(2)} ∥ auf 𝔫_{(1)}

folgt, was auch in den komplex-hyperbolischen Räumen gültig bleibt. Somit ist η[·, ·] für η_{(2)} ≠ 0 eine symplektische Form auf 𝔫_{(1)}, so daß es genau einen Vektor O ∈ 𝔫_{(1)} gibt, der η[O^{−1}, ·] = η_{(1)} zunächst auf 𝔫_{(1)}, dann aber auch auf ganz 𝔫 erfüllt, denn beide Linearformen verschwinden auf 𝔫_{(2)}. Mit diesem Vektor gilt Ad_{O^{−1}}^{∗}η = η_{(2)}. Mehr kann man nicht erreichen, weil der Anteil η_{(2)} bereits durch die Einschränkung von η auf 𝔫_{(2)} festgelegt und die adjungierte Darstellung dort trivial ist. Ist hingegen η_{(2)} = 0, so folgt für alle A ∈ N stets Ad_{A}^{∗}η = η − η_{(2)}[A, ·] = η. Somit gibt es in 𝔫^{∗} nur zwei verschiedene Typen von Orbiten, die Fixpunkte η = η_{(1)} derjenigen Linearformen, die auf 𝔫_{(2)} verschwinden, und die nichttrivialen Orbiten η_{(2)} + 𝔫_{(1)}^{∗}, η_{(2)} ≠ 0 aller Linearformen, die eingeschränkt auf 𝔫_{(2)} übereinstimmen, dort aber nicht identisch 0 sind.

4.2 Modelle der irreduzibelen Darstellung π_{η}

Die unitäre Darstellung π_{η}, η ∈ 𝔫^{∗} wird nach Kirillov von einer eindimensionalen Darstellung einer Untergruppe N^{+} von N induziert, deren Liealgebra 𝔫^{+} ⊂ 𝔫 eine Polarisierung von η ist, das heißt zugleich maximal isotroper Unterraum der Bilinearform η[·, ·]. Die Existenz einer Polarisierung ist nun für allgemeine Liegruppen nicht gesichert, kann aber für nilpotente Gruppen bewiesen werden. Dazu verallgemeinert man das in den hier betrachten Fällen 𝔫 = 𝔫_{(1)} ⊕ 𝔫_{(2)} einfache Argument, daß die symplektische Form η[·, ·], η_{(2)} ≠ 0 auf 𝔫_{(1)} stets maximale isotrope Unterräume, sogenannte Lagrangeunterräume 𝔫_{(1)}^{+} besitzt, und daß dann 𝔫^{+} = 𝔫_{(2)} ⊕ 𝔫_{(1)}^{+} maximal isotrope Unterräume und Unteralgebren sind, weil 𝔫_{(2)} im Kern von η[·, ·] liegt und bereits alle Klammern enthält. Für η_{(2)} = 0 ist offenbar bereits 𝔫 eine Polarisierung. Unter der Identifizierung von N mit 𝔫 wird aus einer Unteralgebra 𝔫^{+} die zugehörige Untergruppe N^{+} = 𝔫^{+} zur Multiplikation •. Auf N^{+} ist dann A ↦ e^{2πiη(A)} ein unitärer Charakter, weil 𝔫^{+} isotrop bezüglich η[·, ·] ist. Dahinter steckt das allgemeinere Argument, daß für eine linksinvariante Differentialform η ∈ (𝔫^{+})^{∗} auf einer Liegruppe N^{+} eine Lösung ϕ ∈ C^{∞}N^{+} der Differentialgleichung dϕ = η, ϕ(1) = 0 einen unitären Charakter e^{2πiϕ} definiert. Damit eine solche Lösung aber existiert, muß η zumindest geschlossen sein, das heißt dη = −η[·, ·] = 0. Zu diesem Charakter gehört eine eindimensionale unitäre Darstellung, die man nach N induziert, in dem man Funktionen

L_{N^{+}}^{2}N = {v : N → ℂ : v(A^{+} • B) = e^{2πiη(A^{+})}v(B) für alle A^{+} ∈ N^{+}}

betrachtet, die bezüglich des bis auf einen skalaren Faktor eindeutigen N-rechts-invarianten Maßes auf dem Quotienten N^{+}\N quadratintegrabel sind, in dem Sinne, daß das Betragsquadrat einer solchen Funktion eine wohldefinierte Funktion auf dem Quotienten ist. Die unitäre Darstellung π_{η} ist dann in dem Modell L_{N^{+}}^{2}N die Rechtstranslation von N. Die induzierte Darstellung L_{N^{+}}^{2}N ist also auf dem Hilbertraum der quadratintegrabelen Schnitte des zur eindimensionalen unitären Darstellung von N^{+} und dem prinzipalen N^{+}-Bündel N assoziierten Bündels auf dem Quotienten N^{+}\N definiert. Die ganze Konstruktion ist ein Spezialfall der geometrischen Quantisierung, die geeigneten Poissonunteralgebren von C^{∞}M einer symplektischen Mannigfaltigkeit M unitäre Darstellungen auf dem Hilbertraum ”polarisierter“ Schnitte eines Geradenbündels auf M zuordnet, das sind Schnitte, die in gewissen Richtungen einer Differentialgleichung genügen. Die symplektische Mannigfaltigkeit M ist hier der Orbit von η, den man als Quotient N_{η}\N von N zur Standgruppe N_{η} von η realisieren kann, und der deswegen ein wohldefiniertes Geradenbündel trägt, das an das prinzipale N_{η}-Bündel N und die unitäre Darstellung e^{2πiη} der Standgruppe assoziiert ist. L_{N^{+}}^{2}N ist dann der Raum der entlang der N^{+}-Richtungen polarisierten Schnitte. Bei den Linearformen η ∈ 𝔫^{∗} mit η_{(2)} = 0 ist bereits N^{+} = N eine Polarisierung, und das Modell L_{N^{+}}^{2}N der zugehörigen unitären Darstellung ist der eindimensionale Raum der Vielfachen des zugehörigen Charakters e^{2πiη} auf N. Alle Generatoren X ∈ 𝔫 operieren deshalb als Skalar 2πiη(X), so daß auch die abgeleiteten Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)} sowie D_{(1)} und AD_{(2)} auf π bzw. π_{η} ⊗Λ𝔰 eine ganz einfache Form haben. Deshalb sei im folgenden η_{(2)} ≠ 0 vorausgesetzt. Die zugehörigen Darstellungen spielen nur in den komplex- und quaternional-hyperbolischen Räumen eine Rolle, weil bereits 𝔫_{(2)} = {0} in den reell-hyperbolischen Räumen verschwindet. In diesen Fällen läßt sich das Modell L_{N^{+}}^{2}N der irreduzibelen Darstellung π_{η} besser nach Wahl von Repräsentanten für die Nebenklassen N^{+}\N verstehen. Dazu genügt die Wahl eines komplementären Unterraums 𝔫^{−} = N^{−} von 𝔫^{+} in 𝔫 oder äquivalent von 𝔫_{(1)}^{+} in 𝔫_{(1)}, denn additive und multiplikative Zerlegung von N entsprechen sich eineindeutig:

𝔫 = 𝔫^{+}⊕𝔫^{−} ergibt A^{+}+A^{−} = A = (A^{+}−\frac{1}{2}[A^{+}, A^{−}])•A^{−} in N = N^{+}•N^{−}

Zwei solche komplementäre Unterräume 𝔫^{+} und 𝔫^{−} von 𝔫 haben in den komplexund quaternional-hyperbolischen Räumen ℂH^{n+1} und ℍH^{n+1} die Dimension n + 1 und n bzw. 2n + 3 und 2n. Die Rechtsoperation von B ∈ N auf dem Quotienten N^{+}\N ist einfach die Translation N^{+} • A^{−} • B = N^{+} • (A^{−} + B^{−}) mit B^{−}, so daß das Volumenmaß auf dem Euklidischen Vektorraum 𝔫^{−} bereits ein N-invariantes Maß ist. Beschränkt man sich im folgenden auf ebenfalls isotrope Komplemente 𝔫^{−}, die für die symplektische Form η[·, ·] stets existieren, so gilt für eine N^{+}-linksäqui-variante Funktion v auf N

v(A) = v((A^{+} − \frac{1}{2}[A^{+}, A^{−}]) • A^{−}) = e^{2πiη(A^{+}− \frac{1}{2} [A^{+},A^{−}])}v(A^{−})

was L_{N^{+}}^{2}N und L^{2}𝔫^{−} explizit identifiziert. In diesem Sinne operieren N und 𝔫 auf dem Raum L_{N^{+}}^{2}N als

(Bv)(A^{−}) = v(A^{−} • B) = v(B^{+} + \frac{1}{2}[A^{−}, B] + A^{−} + B^{−})
= e^{2πiη(B^{+}+ \frac{1}{2} [A^{−},B]− \frac{1}{2} [B^{+},A^{−}+B^{−}])}v(A^{−} + B^{−})
= e^{2πiη(B^{+}− \frac{1}{2} [B^{+},B^{−}]+[A^{−},B^{+}])}v(A^{−} + B^{−})

bzw.

(Xv)(A^{−}) = 2πiη(X^{+} + [A^{−}, X^{+}])v(A^{−}) + \frac{∂v}{∂X^{−}} (A^{−})

wobei \frac{∂v}{∂X^{−}} die Ableitung der auf dem Vektorraum 𝔫^{−} definierten Funktion v in Richtung X^{−} ∈ 𝔫^{−} ist. Sowohl der Diracoperator D_{(1)} als auch der Laplaceoperator Δ_{(1)} summieren nun die infinitesimalen Generatoren der unitären Darstellung π_{η} über eine ONB von 𝔫_{(1)}. Diese Generatoren operieren aber in besonders einfacher Weise, wenn sie aus 𝔫^{+} oder 𝔫^{−} kommen. Glücklicherweise ist in allen hier betrachteten Fällen das orthogonale Komplement von 𝔫^{+} in 𝔫 isotrop, und kann deshalb als 𝔫^{−} dienen. Denn als Endomorphismus von 𝔫_{(1)} erhält Δ_{𝔫}Z^{η} im wesentlichen die Metrik ⟨·, ·⟩:

⟨Δ_{𝔫}Z^{η}(X), Δ_{𝔫}Z^{η}(Y)⟩ = −⟨(Δ_{𝔫}Z^{η})^{2}(X), Y ⟩ = 4 ∥ η_{(2)} ∥ ⟨X, Y ⟩

bis auf diesen Faktor also auch die symplektische Form η[·, ·] = ⟨Δ_{𝔫}Z^{η}(·), ·⟩. Das Bild des maximal isotropen Unterraums 𝔫_{(1)}^{+} unter Δ_{𝔫}Z^{η} ist damit isotrop und liegt im orthogonalen Komplement 𝔫^{−}, muß also aus Dimensionsgründen bereits ganz 𝔫^{−} sein. Zu einer ONB X_{s}^{−} von 𝔫^{−} kann man nun eine passende ONB X_{s}^{+} von 𝔫_{(1)}^{+} definieren durch:

X_{s}^{+} = \frac{1}{2 ∥ η_{(2)} ∥}Δ_{𝔫}Z^{η}(X_{s}^{−})

Dann gilt zum Beispiel wegen Δ_{𝔫}Z^{η}(X_{s}^{+}) = −2 ∥ η_{(2)} ∥ X_{s}^{−}

Δ_{𝔫}Z^{η} = 2 ∥ η_{(2)} ∥ ∑_{s} X_{s}^{−} ∧ X_{s}^{+}

denn in jeder ONB E_{s} von 𝔫_{(1)} hat man die Expansion:

Δ_{𝔫}Z^{η} = \frac{1}{2} ∑_{s,t}⟨Δ_{𝔫}Z^{η}, E_{s} ∧ E_{t}⟩E_{s} ∧ E_{t} = \frac{1}{2} ∑_{s} E_{s} ∧ Δ_{𝔫}Z^{η}(E_{s})

Die Generatoren X_{s}^{+} operieren dann auf L_{N^{+}}^{2}N durch Multiplikation mit der Funktion x_{s}(A^{−}) = ⟨X_{s}^{−}, A^{−} − O^{−}⟩, wobei O ∈ 𝔫_{(1)} wie oben der eindeutig bestimmte Vektor ist, der η[O^{−1}, ·] = η_{(1)} erfüllt:

2πiη(X_{s}^{+} + [A^{−}, X_{s}^{+}]) = 2πiη[A^{−} + O^{−1}, X_{s}^{+}]
= −2πi⟨Δ_{𝔫}Z^{η}(X_{s}^{+}), A^{−} − O^{−}⟩
= 4πi ∥ η_{(2)} ∥ x_{s}(A^{−})

Somit definieren die affinen, orthogonalen Koordinaten x_{s} auf 𝔫^{−} mit Ursprung in O^{−} eine Isometrie des L^{2}ℝ^{dim 𝔫^{−}} mit dem Modell L_{N^{+}}^{2}N ≅ L^{2}𝔫^{−} der unitären Darstellung π_{η}, unter der die Generatoren X_{s}^{+} in die Multiplikation mit den Ortskoordinaten 4πi ∥ η_{(2)} ∥ x_{s} übergehen, während die X_{s}^{−} wegen \frac{∂x_{s}}{∂X_{t}^{−}} =

δ_{s,t} den partiellen Ableitungen \frac{∂}{∂x_{s}} entsprechen. Die Operatoren Δ_{(1)} und D_{(1)} lassen sich also auf π_{η} bzw. π_{η} ⊗ Λ𝔰 beschreiben durch:

Δ_{(1)} = ∑_{s}(\frac{∂^{2}}{∂x_{s}^{2}} − 16π^{2} ∥ η_{(2)} ∥^{2} x_{s}^{2})

und

D_{(1)} = ∑_{s}(\frac{∂}{∂x_{s}} ⊗ X_{s}^{−} · +4πi ∥ η(2) ∥ x_{s} ⊗ X_{s}^{+}·)

Die Operatoren Δ_{(2)} und D_{(2)} sind einfacher, weil jeder Generator Z aus 𝔫_{(2)} nach Definition der Darstellung π_{η} als Skalar 2πiη(Z) operiert:

Δ_{(2)} = −4π^{2} ∥ η_{(2)} ∥^{2} und D_{(2)} = 2πi ⊗ Z^{η}·

4.3 Einbettungen der Darstellungen π_{η}

Der Raum der quadratintegrabelen Funktionen auf N ist nach Kirillov nun das direkte Integral

L^{2}N = ∫ _{N \𝔫^{∗}}^{⊕} π_{η} Plancherel(dη)

der unitären irreduzibelen Darstellungen π_{η} von N. Das Plancherelmaß hat keine Atome, so daß keine Darstellung π_{η} tatsächlich ein direkter Summand in L^{2}N ist. Deshalb läßt sich ein Vektor v einer irreduzibelen Darstellung π_{η} höchstens in einem verallgemeinerten Sinn als Element von L^{2}N auffassen, er ist ja etwa im Modell L_{N^{+}}^{2}N eine Funktion auf N, die aber von der Polarisierung N^{+} abhängt. Über die explizite Form der Transformation in dieses direkte Integral scheint dementsprechend wenig bekannt zu sein. Ganz anders liegt der Fall bei den quadratintegrabelen Funktionen auf Quotienten Γ\N, Γ ⊂ N bezüglich diskreter, kokompakter Untergruppen Γ. Die reguläre Rechtsdarstellung von N auf L^{2} Γ\N läßt sich hier in die orthogonale Summe irreduzibeler Darstellungen zerlegen:

L^{2} Γ\N = ⨁_{η∈ N \𝔫^{∗}} π_{η}^{⊕Plancherel_{Γ}(η)}

Alle Darstellungen π_{η} mit Plancherel_{Γ}(η) ≠ 0 werden dadurch - eventuell sogar mehrfach - zu direkten Summanden in L^{2} Γ\N, und die Vektoren v ∈ π_{η} werden dadurch zu Funktionen F v ∈ L^{2} Γ\N. Keine Darstellung kann aber unendlich oft in L^{2} Γ\N erscheinen, weil etwa der skalare Laplaceoperator unter diesen Voraussetzungen diskretes Spektrum mit endlichen Multiplizitäten hat. Die zentrale Untergruppe Γ_{(2)} = Γ ∩ N_{(2)} operiert nun trivial in L^{2} Γ\N und damit auch in allen Darstellungen π_{η}, die als direkte Summanden in L^{2} Γ\N in Frage kommen. Deshalb ist es wichtig zu wissen, daß Γ_{(2)} ein Gitter in der Vektorgruppe N_{(2)} = 𝔫_{(2)} ist. Zunächst ist nämlich [𝔫_{(1)}, 𝔫_{(1)}] → 𝔫_{(2)} surjektiv, weil die adjungierte Abbildung 𝔫_{(2)}^{∗} → 𝔫_{(1)}^{∗} ⊗ 𝔫_{(1)}^{∗} der Linearform η_{(2)} ≠ 0 die symplektische Form η_{(2)}[·, ·] zuordnet und folglich injektiv ist. Die orthogonale Projektion Γ_{(1)} der kokompakten Untergruppe Γ ⊂ 𝔫 auf 𝔫_{(1)} spannt 𝔫_{(1)} auf, so daß [Γ_{(1)}, Γ_{(1)}] = [Γ, Γ] ⊂ Γ_{(2)} bereits N_{(2)} aufspannt. Übrigens muß für die diskrete Untergruppe Γ dann auch Γ_{(1)} ein Gitter im Vektorraum 𝔫_{(1)} sein. Wegen C • A = A + C für C ∈ Γ_{(2)} sind die Γ-invarianten Funktionen auf N zumindest auch Γ_{(2)}-periodisch. Somit zerfällt der Raum L^{2} Γ\N nicht nur in irreduzibele Darstellungen von N, sondern auch in die orthogonale Summe über das zu Γ_{(2)} duale Gitter Γ_{(2)}^{∨} in 𝔫_{(2)}^{∗}:

L^{2} Γ\N = ⨁_{η_{(2)}∈Γ_{(2)}^{∨}}(L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}}

Vergleicht man die Operation von zentralen Elementen A ∈ N_{(2)} in den irreduzibelen Darstellungen π_{η} und in (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}}, so erkennt man sofort, daß (L^{2} Γ\N)_{0} die Summe aller eindimensionalen und (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}}, η_{(2)} ≠ 0 die Summe aller π_{η_{(2)}}-Darstellungen in L^{2} Γ\N ist. Andere irreduzibele Darstellungen kann L^{2} Γ\N nicht enthalten. Die eindimensionalen Darstellungen π_{η}, η_{(2)} = 0 können aber nur auf eine Art und Weise in den L^{2} Γ\N eingebettet sein, nämlich als Vielfache des zugehörigen Charakters e^{2πiη} auf N, denn eine Einbettung F verschränkt die N-Darstellungen und erfüllt somit F v(Γ • A) = F (Av)(Γ • 0). Ihre Bilder liegen im Raum der N_{(2)}-invarianten Funktionen (L^{2} Γ\N)_{0}, in dem Γ-Invarianz schon Γ_{(1)}-Invarianz nach sich zieht:

(L^{2} Γ\N)_{0} ≅ vol( Γ_{(2)}\N_{(2)} ) L^{2} Γ_{(1)}\𝔫_{(1)} = vol( Γ_{(2)}\N_{(2)} ) ⨁_{η∈Γ_{(1)}^{∨}} π_{η}

Γ_{(1)}^{∨} ist dabei das zu Γ_{(1)} duale Gitter in 𝔫_{(1)}^{∗}. Einen solchen Isomorphismus gibt es wegen C • A = (A_{(2)} + C_{(2)} + \frac{1}{2}[A, C]) + (A_{(1)} + C_{(1)}) ganz allgemein

(L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}} ≅ vol( Γ_{(2)}\N_{(2)} ) L^{2} Γ_{(1)}\𝔫_{(1)}

aber seine Konstruktion erfordert für η_{(2)} ≠ 0 die Auswahl eines Fundamentalbereichs von Γ_{(1)}\𝔫_{(1)}. Die eine Richtung schränkt Funktionen aus (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}} auf diesen Fundamentalbereich ein, die Rückrichtung setzt Funktionen auf dem Fundamentalbereich mit 0 nach 𝔫_{(1)} fort und multipliziert danach mit dem Faktor e^{2πiη(A_{(2)})}, um bereits Γ_{(2)}-invariante Funktionen auf N_{(2)} zu erhalten. Zum Schluß werden diese noch über Γ_{(2)}\Γ summiert. Für geeignete η_{(2)} ≠ 0 kann man diesen Isomorphismus nun dazu benutzen, die in Klingholz [5] angegebene Beschreibung der (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}} weiter auszuarbeiten. Es sind dies die η_{(2)}, für die es eine Polarisation 𝔫^{+} und ein isotropes Komplement 𝔫^{−} gibt, so daß gilt:

Γ_{(1)} = Γ_{(1)}^{+} + Γ_{(1)}^{−} für Γ_{(1)}^{+} = Γ_{(1)} ∩ 𝔫_{(1)}^{+} und Γ_{(1)}^{−} = Γ_{(1)} ∩ 𝔫^{−}

Die Γ_{(1)}^{±} sind dann ebenfalls Gitter in 𝔫_{(1)}^{+} bzw. 𝔫^{−}. Sei Γ^{+} das Urbild von Γ_{(1)}^{+} in Γ. Jede Linearform η ∈ 𝔫^{∗} mit η − η_{(1)} = η_{(2)} definiert dann einen Charakter e^{2πiη} auf Γ^{+}. Im folgenden sind die Linearformen η mit η−η_{(1)} = η_{(2)} besonders wichtig, die auf 𝔫^{−} verschwinden und auf Γ^{+} ganzzahlig sind. Die Differenz zweier solcher Linearformen verschwindet auf 𝔫_{(2)} und 𝔫^{−} und liegt in diesem Sinne im dualen Gitter (Γ_{(1)}^{+})^{∨} von Γ_{(1)}^{+} in (𝔫_{(1)}^{+})^{∗}. Nach Wahl von Erzeugern von Γ_{(1)}^{+} und Repräsentanten in Γ^{+} kann man leicht eine Ursprungslinearform η in diesem ”affinen Modul“ definieren, ist eine Linearform nämlich auf diesen Repräsentanten und auf Γ_{(2)} ganzzahlig, dann muß der Charakter e^{2πiη} auf Γ^{+} trivial und η damit auf Γ^{+} ganzzahlig sein!

Die irreduzibele Darstellung π_{η} besitzt mit dieser fest vorgegebenen Polarisation für jedes η + Δη, Δη ∈ (Γ_{(1)}^{+})^{∨} das Modell L_{N^{+}}^{2}N. Die Funktionen v in diesem Raum sind nach Definition Γ^{+}-invariant und werden Γ-invariant durch Summation über Γ^{+}\Γ:

(F v)(A) = ∑_{C∈ Γ^{+} \Γ} v(C • A) = ∑_{C^{−}∈Γ_{(1)}^{−}} v(C • A)

Die letzte Gleichheit gilt erst nach Wahl von Repräsentanten C ∈ Γ für die C^{−} ∈ Γ_{(1)}^{−} und benutzt die dadurch mögliche Darstellung Γ = Γ^{+} • Γ_{(1)}^{−}. Wundersamerweise respektiert diese simple Summation nicht nur die Darstellungen von N von rechts auf L_{N^{+}}^{2}N und (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}}, sondern definiert bereits eine Einbettung von π_{η} in diesen Raum! Die Summation kann man nämlich nach Definition von L_{N^{+}}^{2}N umformulieren zu:

(F v)(A) = ∑_{C^{−}∈Γ_{(1)}^{−}} v(C • A)

= ∑_{C^{−}∈Γ_{(1)}^{−}} e^{2πi(η+Δη)(C^{+}+A^{+}+[C^{−},A^{+}]− \frac{1}{2} [C^{+},C^{−}]− \frac{1}{2} [A^{+},A^{−}])}v(A^{−} + C^{−})

= e^{2πiη(A^{+}− \frac{1}{2} [A^{+},A^{−}])} ∑_{C^{−}∈Γ_{(1)}^{−}} e^{2πiη(C^{+})}e^{2πi(Δη(A^{+})+η[C^{−},A^{+}])}v(A^{−} + C^{−})

Dabei verschwindet Δη auf Klammern und auf C^{+}, denn C erfüllt C^{+} = C_{(2)} als Repräsentant von C^{−} in Γ. Um die einzelnen Teile dieses Ausdrucks zu interpretieren, betrachte man nun die Zerlegung 𝔫_{(1)} = 𝔫_{(1)}^{+} ⊕ 𝔫^{−}, die einen Isomorphismus

L^{2} Γ_{(1)}\𝔫_{(1)} ≅ L^{2} Γ_{(1)}^{+}\𝔫_{(1)}^{+} ⊗ L^{2} Γ_{(1)}^{−}\𝔫^{−}

bestimmt. Lediglich das Skalarprodukt der rechten Seite ist dabei um den Faktor der Gramschen Determinante der Projektion einer ONB des orthogonalen Komplements von 𝔫^{+} auf 𝔫^{−} zu groß. Der Raum L^{2} Γ_{(1)}^{+}\𝔫_{(1)}^{+} zerfällt nun in die

orthogonale Summe seiner Fouriermoden, die durch das duale Gitter (Γ_{(1)}^{+})^{∨} parametrisiert werden. In diesem Gitter liegen auch die Linearformen η[C, ·], C^{−} ∈ Γ_{(1)}^{−}, die auf 𝔫_{(2)} und 𝔫^{−} verschwinden, nicht von der Auswahl eines Repräsentanten C ∈ Γ abhängen und wegen [C, Γ] ⊂ Γ_{(2)} auf ganz Γ ganzzahlig sind. Diese Linearformen sind das Bild des Gitters Γ_{(1)}^{−} unter der Identifizierung von 𝔫^{−} mit (𝔫_{(1)}^{+})^{∗} vermöge der symplektischen Form η[·, ·] und bilden somit ein Untergitter η[Γ_{(1)}^{−}, ·] von (Γ_{(1)}^{+})^{∨}.

Die Essenz des oben angegebenen Isomorphismus ist es nun, daß man nur das Skalarprodukt der Einschränkung zweier F v und F w auf einen Fundamentalbereich von Γ_{(1)}\𝔫_{(1)} berechnen muß, um ihr Skalarprodukt in (L^{2} Γ\N)_{η_{(2)}}

zu bestimmen. Bei der nötigen Integration spielt der Faktor e^{2πiη(A^{+}− \frac{1}{2} [A^{+},A^{−}])} vom Betrag 1 keine Rolle. Dann kann man in den Faktoren e^{2πi(Δη(A^{+})+η[C^{−},A^{+}])} der Summanden von F v und F w Fouriermoden von Γ_{(1)}^{+}\𝔫_{(1)}^{+} erkennen, denn

Δη liegt nach Definition in (Γ_{(1)}^{+})^{∨}. Diese stehen für verschiedene C^{−} aufeinan-

der senkrecht, so daß sich auch der Faktor e^{2πiη(C^{+})} aufhebt und

⟨F v, F w⟩ = (vol Γ_{(1)}^{+}\𝔫_{(1)}^{+} ) ∑_{C^{−}∈Γ_{(1)}^{−}} ∫ v̄(A^{−} + C^{−})w(A^{−} + C^{−})dA^{−}

verbleibt, wobei über einen Fundamentalbereich von Γ_{(1)}^{−}\𝔫^{−} integriert wird.

Bis auf den Volumenfaktor ist dies genau das Skalarprodukt von v und w im Modell L_{N^{+}}^{2}N. Die Summation über Γ_{(1)}^{−} verteilt sozusagen die Translate des Fundamentalbereichs auf die unterschiedlichen, ”transversalen“ Fouriermoden Δη + η[Γ_{(1)}^{−}, ·] von Γ_{(1)}^{+}\𝔫_{(1)}^{+}. Der Raum L^{2} Γ(1)\𝔫_{(1)} kann somit vollständig

mit irreduzibelen Darstellungen π_{η} ausgeschöpft werden. Dazu muß man nur einen Repräsentanten Δη für jede Nebenklasse (Γ_{(1)}^{+})^{∨}/η[Γ_{(1)}^{−}, ·] wählen und das

zu η + Δη gehörende Modell L_{N^{+}}^{2}N einbetten:

Plancherel_{Γ}(η) = [(Γ_{(1)}^{+})^{∨} : η[Γ_{(1)}^{−}, ·]]

Wie einschränkend ist die Forderung nach Existenz einer Polarisierung von η_{(2)}, die Γ im obigen Sinne respektiert? Im komplex-hyperbolischen Raum existiert sie entweder für alle oder kein η_{(2)} ≠ 0. Im quaternionial-hyperbolischen Raum können wohl selbst für festes Γ je nach η_{(2)} beide Fälle eintreten. Klingholz[5] schränkt sich deshalb von vorneherein auf die Klasse der ”arithmetischen“ Untergruppen Γ ein, die für alle η_{(2)} Untergruppen Γ̃ vom endlichen Index besitzen, die diese Bedingung erfüllen. Die ganze Analyse muß man etwas modifizieren, wenn man Spinstrukturen im Sinne Abschnitts 1.2 zuläßt. Die Untergruppe Γ ⊂ N besitzt immer die triviale Spinstruktur s : Γ → Γ̂, die von der Einbettung NA ↪ Ĝ herkommt. Nur für diese Spinstruktur ist der Raum der s(Γ)-invarianten Schnitte in C^{∞}(Ĝ, V)_{K} isomorph zu C^{∞} Γ\NA ⊗ V – L^{2} Γ\N ⊗ V also der relevante Hilbertraum. Alle anderen Spinstrukturen entstehen mit Hilfe eines Homomorphismus χ von Γ in den zentralen Kern Z der Projektion Ĝ → G aus s durch s′(γ) = χ(γ)s(γ). Dann bedeutet s′(Γ)-Invarianz:

ψ(g) = ψ(χ(γ)s(γ)g) = ψ(s(γ)gχ(γ)) = χ(γ)^{−1} ∗ ψ(s(γ)g)

Somit ist der richtigen Hilbertraum in diesem Fall:

L_{Γ}^{2}N ⊗ V = {f : N → V : f(C • A) = χ(C) ∗ f(A) für alle C ∈ Γ}

Integrieren kann man dabei über einen beliebigen Fundamentalbereich von Γ\N, denn die Darstellung ∗ ist orthogonal. Diese Spinstrukturen treten beim Diracoperator auf Spinoren ganz natürlich in Erscheinung, dort ist Z = ℤ_{2} und operiert als ±1 auf Λ𝔰. Für eine nichttriviale Spinstruktur, charakterisiert durch χ : Γ → ℤ_{2}, ist der Diracoperator D auf Spinoren dann in dem Raum L_{Γ}^{2}N ⊗V definiert. In diesem Raum kann man aber auch den Diracoperator auf Multivektoren definieren. Diese Möglichkeit wird relevant, wenn man das Multivektorbündel mit dem flachen Geradenbündel L twistet, das über χ und die Darstellung ±1 von ℤ_{2} an das prinzipale Γ-Bündel G/K über Γ\G/K assoziiert ist. Auf dem Gitter Γ_{(2)} gibt es eine Linearform χ_{(2)} ∈ 𝔫_{(2)}^{∗}, die χ = e^{2πiχ_{(2)}} erfüllt. Die Funktionen aus L_{Γ}^{2}N sind dann im wesentlichen wieder Γ_{(2)}-periodisch, so daß man neben der Zerlegung in irreduzibele, unitäre N-Darstellungen wieder die Zerlegung

L_{Γ}^{2}N = ⨁_{η_{(2)}−χ_{(2)}∈Γ_{(2)}^{∨}}(L_{Γ}^{2}N)_{η_{(2)}}

angeben kann. Somit können die L_{Γ}^{2}N nur für Spinstrukturen mit χ_{(2)} ∈ Γ_{(2)}^{∨} überhaupt eindimensionale Darstellungen enthalten. Zwei L_{Γ}^{2}N, deren Homomorphismen χ auf Γ_{(2)} nicht übereinstimmen, können ganz allgemein nur paarweise inäquivalente Darstellungen enthalten. Insbesondere für Untergruppen Γ mit Γ_{(2)} ≠ [Γ, Γ] gibt es deswegen erhebliche Unterschiede in der Zerlegung in irreduzibele, unitäre Darstellungen von N, und damit auch im Spektrum der Diracoperatoren.

5 Eigenschnitte des Symbols

Die Vektoren v ∈ π_{η} lassen sich also als abstrakte Distributionen bzw. Funktionen in L^{2}N bzw. L^{2} Γ\N auffassen. In diesem Sinne abstrakte Eigenfunktionen der Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)} werden zunächst als Eigenvektoren dieser Operatoren in den einfachen Modellen L_{N^{+}}^{2}N der irreduzibelen Darstellungen π_{η} beschrieben. Mit nur geringen Modifikationen erhält man dann abstrakte Eigenschnitte der kommutierenden Operatoren D_{(1)} und AD_{(2)} in π_{η} ⊗ Λ𝔰. Insbesondere hängen die Eigenwerte dieser Operatoren nicht von der Einbettung in einen L^{2}N oder L^{2} Γ\N ab. Deshalb kann man auch die Frage nach der Fortsetzung der Eigenschnitte auf N zu Eigenschnitten des Symbols auf NA unabhängig von der Einbettung bereits in π_{η} ⊗ C^{∞}A ⊗ Λ𝔰 stellen. Ist ψ ein gemeinsamer Eigenvektor von D_{(1)} und AD_{(2)} in π_{η} ⊗Λ𝔰, so versucht man dazu einen Ansatz:

ψ̃ = y^{∥R∥}f_{1}ψ + y^{∥R∥}f_{2}A · ψ mit f_{1}, f_{2} ∈ C^{∞}A

Mit diesem Ansatz kann man für die Fourierkoeffizienten f_{1} und f_{2} eine gewöhnliche Differentialgleichung herleiten, die von den Eigenwerten von ψ unter D_{(1)} und AD_{(2)} und dem gewünschten Eigenwert E auf NA abhängt. Diese Gleichung wird dann in zwei Spezialfällen gelöst.

5.1 Gemeinsame Eigenvektoren von D_{(1)} und AD_{(2)}

Gemeinsame Eigenvektoren der Operatoren D_{(1)} und D_{(2)} lassen sich in den zu den eindimensionalen unitären Darstellungen π_{η}, η_{(2)} = 0, gehörenden Räumen π_{η} ⊗ Λ𝔰 leicht angeben. Weil nämlich jeder Generator X ∈ 𝔫 als Skalar 2πiη(X) operiert, folgt in diesen Fällen sofort AD_{(2)} = 0, und gehört zu η = η_{(1)} der Vektor P ∈ 𝔫_{(1)}, so operiert D_{(1)} durch Cliffordmultiplikation mit 2πiP. Ein Eigenvektor von D_{(1)} ist deshalb in π_{η} ⊗ Λ𝔰 ≅ Λ𝔰 ⊗ ℂ von der Form

(P ± i ∥ P ∥) · 𝒩

und dazu gehört wegen ∥ P ∥=∥ η ∥ der Eigenwert ∓2π ∥ η ∥. Die Operatoren Δ_{(1)} und Δ_{(2)} operieren auf π_{η} durch Multiplikation mit −4π^{2} ∥ η ∥^{2} bzw. 0. In den unendlichdimensionalen Darstellungen π_{η} mit η_{(2)} ≠ 0 hingegen ist Δ_{(1)} im wesentlichen Summe von Operatoren der Form \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{x^{2}}{σ^{4}} zur Varianz σ^{2}, σ > 0, auf dem L^{2}ℝ. Die Eigenwerte und Eigenwerte und Eigenfunktionen von Operatoren dieser Form sind in Verbindung mit der Quantisierung des harmonischen Oszillators bereits lange bekannt. Dazu definiert man zunächst die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren

a := \frac{x}{σ} − σ \frac{∂}{∂x} bzw. a^{†} := \frac{x}{σ} + σ \frac{∂}{∂x}

der Oszillatormoden auf dem dichten Unterraum der Schwartzfunktionen. Die Schwartzfunktionen fallen nun zusammen mit allen ihren Ableitungen schneller als jedes Polynom, so daß a und a^{†} diesen Unterraum in sich abbilden und dort adjungiert bezüglich der L^{2}-Metrik sind. Außerdem erfüllen sie auf diesem Raum die kanonische Vertauschungsrelation

[a^{†}, a] = 2 wegen [σ \frac{∂}{∂x}, \frac{x}{σ}] = 1

und deshalb

[a^{†}, a^{k+1}] = ∑_{l=0}^{k} a^{l}[a^{†}, a]a^{k−l} = 2(k + 1)a^{k}

Die Darstellung der kanonischen Vertauschungsrelation auf dem Schwartzraum wird nun durch das ”Vakuum“ Φ(x) = e^{− \frac{x^{2}}{2σ^{2}}} vervollständigt, in dem nichts mehr vernichtet werden kann, das heißt a^{†}Φ = 0. Damit wird die Vertauschungsrelation zur Differentialgleichung

(a^{†}a)a^{k}Φ = [a^{†}, a^{k+1}]Φ + a^{k+1}a^{†}Φ = 2(k + 1)a^{k}Φ

für die Hermitefunktionen H_{k} = a^{k}Φ, k ≥ 0, genauer:

(\frac{x^{2}}{σ^{2}} − σ^{2} \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + 1)H_{k} = 2(k + 1)H_{k}

Die klassischen Hermitefunktionen erhält man für σ = 1

H_{k} = (x − \frac{∂}{∂x})^{k}e^{− \frac{x^{2}}{2}} = (−e^{\frac{x^{2}}{2}} ∘ \frac{∂}{∂x} ∘ e^{− \frac{x^{2}}{2}} )^{k}e^{− \frac{x^{2}}{2}}

die anderen Fälle σ ≠ 1 ergeben sich daraus durch die Substitution x̃ = \frac{x}{σ}. Per Induktion zeigt man, daß H_{k} das Produkt eines Polynoms genau k-ten Grades mit dem Vakuum Φ ist, so daß man Funktionen aus C_{0}^{∞}ℝ = Φ^{−1}C_{0}^{∞}ℝ und damit auch Funktionen aus L^{2}ℝ im L^{2}-Sinne beliebig durch Hermitefunktionen approximieren kann. Die Hermitefunktionen H_{k} sind somit ein vollständiges Orthogonalsystem in L^{2}ℝ, es gilt nämlich für k ≥ l

⟨H_{k}, H_{l}⟩_{L^{2}ℝ} = ⟨a^{k}Φ, a^{l}Φ⟩_{L^{2}ℝ} = ⟨Φ, (a^{†})^{k}a^{l}Φ⟩_{L^{2}ℝ}
= 2l ⟨Φ, (a^{†})^{k−1}a^{l−1}Φ⟩_{L^{2}ℝ} = …
= 2^{k}k!\sqrt{2π}σδ_{k,l}

wegen ⟨Φ, Φ⟩_{L^{2}ℝ} = \sqrt{2π}σ. In diesem vollständigen Orthogonalsystem operiert \frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{x^{2}}{σ^{4}} diagonal mit einfachen Eigenwerten −\frac{2k+1}{σ^{2}}, k ≥ 0. Wählt man nun eine Polarisierung N^{+} und eine ONB X_{s}^{+} von 𝔫_{(1)}^{+}, passend zu einer ONB X_{s}^{−} des orthogonalen Komplements 𝔫^{−}, so kann man das Modell L_{N^{+}}^{2}N der unitären Darstellung π_{η} über die orthogonalen Koordinaten x_{s} mit dem L^{2}ℝ^{dim 𝔫^{−}} identifizieren; der Operator Δ_{(1)} nimmt dann die Form

Δ_{(1)} = ∑_{s}(\frac{∂^{2}}{∂x_{s}^{2}} − 16π^{2} ∥ η_{(2)} ∥^{2} x_{s}^{2})

an und hat somit ein vollständiges Orthogonalsystem von Eigenfunktionen:

H_{(k_{1},...,k_{dim 𝔫^{−}})}(A^{−}) = ∏_{s}(H_{k_{s}} ∘ x_{s})(A^{−})

aus Produkten von Hermitefunktionen zur Varianz σ^{2} = \frac{1}{4π∥η_{(2)}∥}, die durch Tupel der Form (k_{1}, …, k_{dim 𝔫^{−}}), k_{s} ≥ 0, parametrisiert werden. Der Eigenwert

−4π ∥ η_{(2)} ∥ (2K + dim 𝔫^{−}) mit K = ∑_{s} k_{s}

richtet sich dabei nur nach der Summe K der k_{s}, zu der es \binom{K+dim 𝔫^{−}−1}{K} mögliche Tupel gibt.

Setzt man die Metrik auf Cℓ 𝔰 nun zu einer hermiteschen Metrik auf ℂℓ 𝔰 fort, so wird π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 zum Hilbertraum, auf dem AD_{(2)} und der zweite Summand in D_{(1)}^{2} = −Δ_{(1)} ⊗ 1 + ∑ E_{(2)} ⊗ Δ_{𝔫}E_{(2)} durch Cliffordmultiplikation mit den kommutierenden Elementen 2πiAZ^{η} und 2πiΔ_{𝔫}Z^{η} operieren. Letzteres hat in der ONB X_{s}^{+}, X_{s}^{−} von 𝔫_{(1)} die Darstellung:

2πiΔ_{𝔫}Z^{η} = 4πi ∥ η_{(2)} ∥ ∑_{s} X_{s}^{−} ∧ X_{s}^{+}

Somit liegt ein Unterraum von ℂℓ 𝔰 der Form

(AZ^{η} ±_{z} i ∥ η_{(2)} ∥) · (X_{1}^{−}X_{1}^{+} ± i) · · · · · (X_{dim 𝔫^{−}}^{−}X_{dim 𝔫^{−}}^{+} ± i) · ℂℓ {A, X_{s}^{−}}^{⊥}

im gemeinsamen Eigenraum von 2πiAZ^{η}· und 2πiΔ_{𝔫}Z^{η}· zu Eigenwerten

∓_{z}2π ∥ η_{(2)} ∥ und 4π ∥ η_{(2)} ∥ (2N − dim 𝔫^{−})

wobei 0 ≤ N ≤ dim 𝔫^{−} die Anzahl der (X_{s}^{−}X_{s}^{+} − i)-Faktoren in obigem Ausdruck ist. Ein gemeinsamer Eigenraum ist die Summe aller dieser Räume mit gleichem N und hat wegen ℂℓ \{A, X_{s}^{−}\}^{⊥} = ℂℓ 𝔫^{+} die Dimension 2^{dim 𝔫^{+}} \binom{dim 𝔫^{−}}{N}. Tensoriert man nun einen solchen gemeinsamen Eigenvektor 𝒩 mit einem Eigenvektor v ∈ π_{η} von Δ_{(1)} zum Eigenwert −4π ∥ η_{(2)} ∥ (2K + dim 𝔫^{−}), so ist v ⊗ 𝒩 ein gemeinsamer Eigenvektor von AD_{(2)} zum Eigenwert ∓_{z}2π ∥ η_{(2)} ∥ wie zuvor und unter D_{(1)}^{2} zum Eigenwert:

8π ∥ η_{(2)} ∥ (K + N)

Der Kern des Operators D_{(1)}^{2} in π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 umfaßt also nur die ”absoluten Vakua“, die durch K = 0 und N = 0 charakterisiert werden. Durch explizite Rechnung wird gleich evident, daß dieser interessante Unterraum der Dimension 2^{dim𝔫^{+}+1} der Kern des Operators D_{(1)} ist, also der Eigenraum zum Eigenwert 0. Auf seinem orthogonalen Komplement kann man ebenfalls sofort gemeinsame Eigenvektoren von AD_{(2)} und D_{(1)} konstruieren:

ψ_{v,𝒩}^{±} = \sqrt{8π ∥ η_{(2)} ∥ (K + N)}(v ⊗ 𝒩) ± D_{(1)}(v ⊗ 𝒩)

Unter D_{(1)} haben sie den Eigenwert ±\sqrt{8π ∥ η_{(2)} ∥ (K + N)}. Als nächstes führt man nun die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a_{s} und a_{s}^{†} zur Varianz σ^{2} = \frac{1}{4π∥η_{(2)}∥} in allen Koordinaten x_{s} ein, dann gilt

2σ \frac{∂}{∂x_{s}} = a_{s}^{†} − a_{s} und 2σ \frac{x_{s}}{σ^{2}} = a_{s}^{†} + a_{s}

Damit läßt sich die im letzten Kapitel angegebene Form des Operators D_{(1)} auf π_{η} ⊗ ℂℓ s noch weiter umschreiben zu:

D_{(1)} = ∑_{s}(\frac{∂}{∂x_{s}} ⊗ X_{s}^{−} · +4π ∥ η_{(2)} ∥ x_{s} ⊗ iX_{s}^{+}·)

= \frac{1}{2σ} (∑_{s} a_{s} ⊗ (−X_{s}^{−} + iX_{s}^{+}) · + ∑_{s} a_{s}^{†} ⊗ (X_{s}^{−} + iX_{s}^{+})·)

Die in dieser Darstellung von D_{(1)} aufscheinenden Summen

δ = ∑_{s} a_{s} ⊗ (−X_{s}^{−} + iX_{s}^{+}) · und δ^{†} = ∑_{s} a_{s}^{†} ⊗ (X_{s}^{−} + iX_{s}^{+})·

sind vielleicht noch interessanter als D_{(1)}. Zunächst folgt, daß der Definitionsbereich von D_{(1)} das Tensorprodukt der Schwartzfunktionen auf 𝔫^{−} mit ℂℓ 𝔰 umfaßt. Auf diesem Raum sind δ und δ^{†} adjungiert, denn die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind adjungiert, und in der hermiteschen Metrik auf ℂℓ 𝔰 ist iX_{s}^{+}· selbstadjungiert. δ und δ^{†} sind nilpotent, zum Beispiel ist

δ^{2} = ∑_{s} a_{s}^{2} ⊗ (−X_{s}^{−} + iX_{s}^{+})^{2} · + ∑_{s≠t} a_{s}a_{t} ⊗ (−X_{s}^{−} + iX_{s}^{+})(−X_{t}^{−} + iX_{t}^{+}) ·
= 0 + ∑_{s<t}[a_{s}, a_{t}] ⊗ (−X_{s}^{−} + iX_{s}^{+})(−X_{t}^{−} + iX_{t}^{+})· = 0

weil a_{s} und a_{t} kommutieren. Beide Operatoren definieren also eine Homologie, die man via Hodgetheorie durch den Kern von D_{(1)}^{2}, den Raum der absoluten Vakua, repräsentieren kann:

D_{(1)}^{2} = \frac{1}{4σ^{2}} (δ + δ^{†})^{2} = π ∥ η_{(2)} ∥ (δδ^{†} + δ^{†}δ)

Ein absolutes Vakuum ist nun das Tensorprodukt v ⊗ 𝒩, wobei v wegen K = 0 das Produkt aller Vakua (Φ∘x_{s}) ist und X_{s}^{−}X_{s}^{+}𝒩 = i𝒩 für alle s gilt wegen N = 0. Daraus folgt X_{s}^{−}𝒩 = iX_{s}^{+}𝒩, so daß nicht nur δ^{†}(v⊗𝒩) sondern auch δ(v⊗𝒩) verschwindet; die absoluten Vakua liegen also im Kern von D_{(1)}. Die restlichen gemeinsamen Eigenvektoren ψ_{v,𝒩} kann man bis auf den Faktor \sqrt{π ∥ η_{(2)} ∥} auch schreiben als:

ψ_{v,𝒩}^{±} = \sqrt{8(K + N)}(v ⊗ 𝒩) ± (δ + δ^{†})(v ⊗ 𝒩)

Das sieht nun etwas asymmetrisch aus, weil man v ⊗ 𝒩 zerlegbar gewählt hat. Um geeignetere Eigenvektoren anzugeben, führt man auf dem in π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 dichten Unterraum der Linearkombinationen der v ⊗ 𝒩 mit einem Produkt v von Hermitefunktionen die Bigraduierung nach (K, N) ein, das heißt im wesentlichen nach den Eigenwerten der kommutierenden Operatoren Δ_{(1)} ⊗ 1 und 1 ⊗ Δ_{𝔫}Z^{η}. Beide Operatoren kommutieren auch mit 1 ⊗ AZ^{η}, so daß man sich ohne weiteres auch auf einen Eigenraum dieses Operators einschränken kann. Die Summe aller bigraduierte Unterräume mit konstanter Summe K + N ist dann der Eigenraum von D_{(1)}^{2} zum Eigenwert 8π ∥ η_{(2)} ∥ (K + N). Der Grad K wird nun offensichtlich von δ und δ^{†} um 1 erhöht bzw. erniedrigt; weil beide mit D_{(1)}^{2} kommutieren, sind sie deshalb vom Bigrad (1, −1) bzw. (−1, 1). Somit läßt sich jeder bigraduierte Unterraum in die orthogonale Summe seines Schnitts mit Bild δ und Kern δ^{†} zerlegen. Das übliche Argument der Hodgetheorie zeigt für ein ψ ∈ Kern δ^{†} vom Bigrad (K, N) mit K + N > 0

8(K + N)ψ = (δδ^{†} + δ^{†}δ)ψ = δ^{†}δψ

daß ψ bereits in Bild δ^{†} liegt. Ebenso folgt in diesem Fall Bild δ = Kern δ und daraus Bild δ = Bild δδ^{†}. Deshalb kann man bereits aus den bihomogenen ψ ∈ Bild δ^{†} gemeinsame Eigenvektoren

ψ^{±} = \sqrt{8(K + N)}ψ ± δψ

von AD_{(2)} und D_{(1)} konstruieren, die das ganze orthogonale Komplement der absoluten Vakua aufspannen. Solche ψ ∈ Bild δ^{†} können nur in Graden N > 0 existieren, und dort wird ihr Raum von den Bildern δ^{†}(v ⊗ 𝒩) aufgespannt, die sich als Linearkombinationen von Produkten von Hermitefunktionen tensoriert mit speziellen 𝒩 ∈ ℂℓ 𝔰 erweisen. Die vorangegangene Beschreibung des Operators D_{(1)} auf π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 zeigt, daß man π_{η} am besten als bosonischen Fockraum Γ𝔫^{−} über dem euklidischen Vektorraum 𝔫^{−} mit Metrik 2⟨·, ·⟩ auffaßt, das heißt als die ℓ^{2}-Vervollständi-gung der komplexifizierten Symmetrischen Algebra Γ_{0}𝔫^{−} = Sym^{ℂ} 𝔫^{−} mit der Multiplikation mit X^{−}, X^{−} ∈ 𝔫^{−}, und der adjungierten Kontraktion mit der Linearform 2⟨X^{−}, ·⟩ als Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren (Nielsen[8]). Die Polynome in den Erzeugungsoperatoren zu einer ONB X_{s}^{−} erzeugen den dichten Teilraum Γ_{0}𝔫^{−} aus dem Vakuum 1, genau wie die Erzeugungsoperatoren a_{s} den in L^{2}𝔫^{−} dichten Teilraum der Produkte von Hermitefunktionen aus dem Produkt der Vakua (Φ ∘ x_{s}) erzeugen. So wird eine bis auf den Faktor (\sqrt{2π}σ)^{dim 𝔫^{−}} isometrische Abbildung von Γ_{0}𝔫^{−} in den Schwartzraum auf 𝔫^{−} gestiftet, die sich - bis auf diesen Faktor - zu einer Isometrie von Γ𝔫^{−} mit L^{2}𝔫^{−} ≅ π_{η} fortsetzen läßt. Der dichte Unterraum Γ_{0}𝔫^{−}⊗ℂℓ 𝔰 bzw. sein Bild in π_{η}⊗ℂℓ 𝔰 wird durch die endlichdimensionalen Unterräume Sym^{ℂ}_{≤M}𝔫^{−} ⊗ ℂℓ 𝔰 filtiert. Für genügend großes M liegen die Eigenräume von D_{(1)}^{2} bereits in diesen Unterräumen, auf die die Hodgetheorie folglich bereits anwendbar ist. Deshalb können keine funktionalanalytischen Probleme auftreten.

5.2 Die Fourierkoeffizienten des Symbols

Der Operator der Cliffordmultiplikation mit A antikommutiert mit D_{(1)} und D_{(2)} bzw. AD_{(2)}. Außer im zur trivialen Darstellung π_{0} gehörenden Fall ist deshalb ein gemeinsamer Eigenvektor ψ ∈ π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 von D_{(1)} und AD_{(2)} zu Eigenwerten p bzw. c orthogonal zu Aψ; man kann das auch in π_{0}⊗Λ𝔰 erreichen, wenn man ψ – wie im folgenden vorausgesetzt – geeignet wählt. Dann gilt:

\begin{aligned}D_{(1)}ψ & = & pψ \\ D_{(1)}Aψ & = & −pAψ \end{aligned}  \begin{aligned}D_{(2)}ψ & = & −cAψ \\ D_{(2)}Aψ & = & −cψ \end{aligned}

Somit verbleiben D_{(1)} und D_{(2)} in dem von ψ und Aψ aufgespannten Unterraum von π_{η} ⊗ Λ𝔰. Für einen Eigenschnitt ψ̃ des Symbols

D_{Symbol} = D_{(0)} + yD_{(1)} + y^{2}D_{(2)} mit D_{(0)} = A ⊗ 1 − 1 ⊗ R·

kann man also einen Ansatz

ψ̃ = y^{∥R∥}(f_{1} ∘ y)ψ + y^{∥R∥}(f_{2} ∘ y)Aψ

mit zwei Fourierkoeffizienten f_{1}, f_{2} aus C^{∞}ℝ angeben. Der Faktor y^{∥R∥} ist dabei nach den Erfahrungen des dritten Kapitels angeraten, um den Korrektursummanden −1 ⊗ R· des Symbols bzw. D_{(0)} aufzuheben. Unter einer Einbettung der Darstellung π_{η} – etwa in einen L^{2} Γ\N – wird aus ψ̃ ein Schnitt des Vektorbündels Λ𝔰 über NA. Seine L^{2}-Norm berechnet sich nach der in 4.1 angegebenen Formel:

∥ ψ̃ ∥_{L^{2} Γ\NA⊗Λ𝔰}^{2} = ∫_{A} ∥ ψ̃(− · a) ∥_{L^{2} Γ\N⊗Λ𝔰}^{2} y^{−2∥R∥} \frac{dy}{y}

= ∫_{0}^{∞}(| f_{1} |^{2}∥ ψ ∥_{π_{η}⊗Λ𝔰}^{2} + | f_{2} |^{2}∥ Aψ ∥_{π_{η}⊗Λ𝔰}^{2})\frac{dy}{y}

Der abstrakte Schnitt ψ̃ ist also quadratintegrabel auf der Spitze NA, das heißt eigentlich auf NA_{y>Y} mit A_{y>Y} = {a ∈ A : y(a) > Y }, wenn beide Fourierkoeffizienten für ein und damit auch für alle Y > 0 die Abschätzung erfüllen:

∫_{Y}^{∞} | f |^{2} \frac{dy}{y} < ∞

Ein Eigenschnitt ψ̃ des Symbols des Diracoperators zum Eigenwert E erfüllt die Gleichung:

D_{Symbol}ψ̃ = Eψ̃ = y^{∥R∥} ( f′_{1} f′_{2} ) ( \begin{matrix}0 & y \\ −y & 0 \end{matrix} ) \binom{ψ}{Aψ}

+y^{∥R∥} ( f_{1} f_{2} ) ( \begin{matrix}py & −cy^{2} \\ −cy^{2} & −py \end{matrix} ) \binom{ψ}{Aψ}

Die Kettenregel führt wegen Ay = y nämlich zu A(f ∘ y) = y(f′ ∘ y).

Daraus kann man die gewöhnliche Differentialgleichung ablesen, die die Fourierkoeffizienten erfüllen müssen:

( \begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \end{matrix} )′ = ( \begin{matrix}cy & \frac{E}{y} + p \\ −\frac{E}{y} + p & −cy \end{matrix} ) ( \begin{matrix}f_{1} \\ f_{2} \end{matrix} )

Man kann diese Differentialgleichung auch mit Hilfe der Summe s = f_{1} +f_{2} und Differenz d = f_{1} − f_{2} ausdrücken:

\binom{s}{d}′ = ( \begin{matrix}p & cy − \frac{E}{y} \\ cy + \frac{E}{y} & −p \end{matrix} ) \binom{s}{d}

Diese Differentialgleichung erhielte man bei einem Ansatz mit gemeinsamen Eigenvektoren von AD_{(1)} und D_{(2)}. Der Betrag der Eigenwerte

±\sqrt{c^{2}y^{2} + p^{2} − \frac{E^{2}}{y^{2}}}

beider Matrizen ist durch C(y+ \frac{1}{y}) für ein C > 0 beschränkt, so daß jede Lösung dieser Gleichungen auf ganz ℝ_{+} definiert ist. Erfüllen beide Komponenten einer Lösung für ein Y > 0 die obige Abschätzung, so führt diese Lösung zu quadratintegrabelen Schnitten auf der Spitze. Solche ”quadratintegrabelen“ Lösungen sind deshalb besonders interessant. Allgemein gehören nun zu jeder gewöhnlichen Differentialgleichung

f′ = ℳf für f = \binom{f_{1}}{f_{2}} und ℳ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix} )

mit einer spurfreien 2 × 2-Matrix ℳ zwei entkoppelte Gleichungen 2. Ordnung für die beiden Komponenten f_{1} und f_{2}:

f′′ = ( \begin{matrix}a′ & b′ \\ c′ & −a′ \end{matrix} ) f + ( \begin{matrix}a & b \\ c & −a \end{matrix} )^{2} f
= ( \begin{matrix}\frac{b′}{b} & 0 \\ 0 & \frac{c′}{c} \end{matrix} ) f′ + ( \begin{matrix}a^{2} + bc − a\frac{b′}{b} + a′ & 0 \\ 0 & a^{2} + bc + a\frac{c′}{c} − a′ \end{matrix} ) f

Übrigens kann man die Spurfreiheit nach Wahl einer Stammfunktion T der Spur immer erreichen, indem man von f zu e^{− \frac{1}{2} T} f übergeht. Auf diese Weise erhält man entkoppelten Gleichungen für die beiden Fourierkoeffizienten:

f′′_{1,2} = −\frac{E}{y(E ± py)}f′_{1,2} + (c^{2}y^{2} + p^{2} ± c − \frac{E^{2}}{y^{2}} ± \frac{cE}{E ± py})f_{1,2}

Dabei steht ± für + bei f_{1} und für − bei f_{2}. Die Gleichungen für Summe und Differenz sind ähnlich und auch nicht einfacher.

Weil der allgemeine Fall noch zu schwierig erscheint, werden im folgenden nur zwei Spezialfälle dieser Gleichung gelöst, der erste beschreibt die Fourierkoeffizienten der Eigenschnitte im Kern des Symbols mit E = 0, der zweite beschreibt gerade alle Fourierkoeffizienten zu eindimensionalen Darstellungen π_{η}, die zu AD_{(2)} = 0 und damit c = 0 führen.

5.2.1 Die Fourierkoeffizienten des Kerns (E = 0)

Die Ausgangsgleichung im Fall E = 0

\binom{f_{1}}{f_{2}}′ = ( \begin{matrix}cy & p \\ p & −cy \end{matrix} ) \binom{f_{1}}{f_{2}}

hat in den Fällen c = 0 oder p = 0 die Fundamentallösungen

( \begin{matrix}e^{−py} & e^{py} \\ −e^{−py} & e^{py} \end{matrix} ) bzw. ( \begin{matrix}e^{c \frac{y^{2}}{2}} & 0 \\ 0 & e^{−c \frac{y^{2}}{2}} \end{matrix} )

mit jeweils genau einer auf der Spitze quadratintegrabelen Lösung. Ansonsten lauten die entkoppelten Differentialgleichungen für f_{1} und f_{2}:

f′′_{1} = (c^{2}y^{2} + p^{2} + c)f_{1} und f′′_{2} = (c^{2}y^{2} + p^{2} − c)f_{2}

Für die Funktionen f̃_{1,2} = y^{\frac{1}{4}} f_{1,2}(\frac{1}{\sqrt{|c|}}y^{\frac{1}{2}} ) folgen daraus die Gleichungen

f̃′′_{1,2} + (−\frac{1}{4} + \frac{−p^{2} ∓ c}{4 | c | y} − \frac{−\frac{3}{16}}{y^{2}} )f̃_{1,2}

wobei − für f̃_{1} und + für f̃_{2} steht. Diese Gleichung ist ein Spezialfall der Whittakergleichung (Gradshteyn & Ryzhik [1], Seite 1086-1090)

f“ + (−\frac{1}{4} + \frac{λ}{y} − \frac{μ^{2} − \frac{1}{4}}{y^{2}} )f = 0

deren Fundamentallösung die Whittakerfunktionen W_{λ,μ} und P W_{−λ,μ} bilden, wobei P den Paritätsoperator (P f)(y) = f(−y) bezeichnet. Die möglichen Werte für p und c kommen von den unendlichdimensionalen Darstellungen her:

p = ±\sqrt{8π ∥ η_{(2)} ∥ (K + N)} ≠ 0 und c = ±2π ∥ η_{(2)} ∥

und führen zu \frac{p^{2}}{4|c|} = K + N. Somit ist f_{1} eine beliebige Linearkombination der Funktionen

\frac{1}{\sqrt{y}} W_{−K−N− \frac{sgn c}{4} , \frac{1}{4}} (| c | y^{2}) und \frac{1}{\sqrt{y}} P W_{K+N+ \frac{sgn c}{4} , \frac{1}{4}} (| c | y^{2})

und f_{2} eine davon abhängige Linearkombination der Funktionen:

\frac{1}{\sqrt{y}} W_{−K−N+ \frac{sgn c}{4} , \frac{1}{4}} (| c | y^{2}) und \frac{1}{\sqrt{y}} P W_{K+N− \frac{sgn c}{4} , \frac{1}{4}} (| c | y^{2})

Die genaue Form von f_{2} in Abhängigkeit von f_{1} ist durch die ursprüngliche Differentialgleichung 1. Ordnung festgelegt

f_{2} = \frac{1}{p}(f′_{1} − cyf_{1})

ist also äquivalent zu einer Formel, die die Ableitung einer Whittakerfunktion als Linearkombination von Whittakerfunktionen darstellt. Ein solches Vorgehen führt im nächsten Abschnitt zum Ziel. Die Whittakerfunktionen W_{λ,μ} verhalten sich nun bei | y |→ ∞ asymptotisch wie e^{− \frac{y}{2}} y^{λ} ( Wang & Guo[9], Seite 310 ). Also erfüllen f_{1} und f_{2} genau dann

∫_{Y}^{∞} | f_{1,2} |^{2} \frac{dy}{y} < ∞

für ein Y > 0, wenn sie keinen P W -Summanden enthalten. Erst die die explizite Form der Abhängigkeit der Komponenten ermöglicht es deshalb, zu entscheiden, ob es eine auf der Spitze quadratintegrabele Lösung gibt oder nicht.

5.2.2 Die ”eindimensionalen“ Fourierkoeffizienten (c = 0)

In den zu den eindimensionalen Darstellungen π_{η}, η_{(2)} = 0, gehörenden Fällen verschwindet der Operator AD_{(2)} und es ist c = 0. Dann hat die Differentialgleichung für Summe und Differenz

\binom{s}{d}′ = ( \begin{matrix}p & −\frac{E}{y} \\ \frac{E}{y} & −p \end{matrix} ) \binom{s}{d}

im Fall p = 0 die schon im dritten Kapitel betrachtete Fundamentallösung

( \begin{matrix}y^{iE} & y^{−iE} \\ −iy^{iE} & iy^{−iE} \end{matrix} )

Für Im E ≠ 0 ist genau eine der beiden Lösungen quadratintegrabel auf der Spitze, aber nicht auf dem ganzen Symmetrischen Raum. Als Riemannsche Mannigfaltigkeit ist die Spitze eben nicht vollständig, und der Diracoperator darum auch nicht wesentlich selbstadjungiert. Ansonsten lauten die entkoppelten Gleichungen:

s′′ = −\frac{1}{y} s′ + (p^{2} − \frac{E^{2}}{y^{2}} + \frac{p}{y})s

und

d′′ = −\frac{1}{y} d′ + (p^{2} − \frac{E^{2}}{y^{2}} − \frac{p}{y})d

Für die Funktionen s̃ = \sqrt{y}s(\frac{y}{2p}) und d̃= \sqrt{y}d(\frac{y}{2p}) gehen sie über in die Whittakergleichungen:

s̃′′ + (−\frac{1}{4} + \frac{−\frac{1}{2}}{y} − \frac{(iE)^{2} − \frac{1}{4}}{y^{2}} )s̃ = 0

und

d̃′′ + (−\frac{1}{4} + \frac{\frac{1}{2}}{y} − \frac{(iE)^{2} − \frac{1}{4}}{y^{2}} )d̃= 0

s und d lassen sich also durch Modifikationen der Whittakerfunktionen W_{λ,μ} beschreiben. Die Lösung gelingt hier ganz explizit, weil man noch eine Rekursionsformel benutzen kann, um das Verhältnis von s und d zu klären. Dazu konstruiert man direkt eine Fundamentallösung der ursprünglichen Differentialgleichung 1. Ordnung und betrachtet zunächst die Rekursionsformel aus Gradshteyn & Ryzhik[1] (9.234):

yW′_{λ,μ} = (λ − \frac{y}{2} )W_{λ,μ} − (μ^{2} − (λ − \frac{1}{2})^{2})W_{λ−1,μ}

Nach Freistellen von (μ^{2} −(λ− \frac{1}{2})^{2})W_{λ−1,μ} erhält man durch Differenzieren und nochmaliges Benutzen der Rekursionsformel und der Whittakergleichung:

W′_{λ−1,μ} = −\frac{1}{y} W_{λ,μ} − (\frac{λ − 1}{y} − \frac{1}{2})W_{λ−1,μ}

Zusammengefaßt lösen damit die durch obige Herleitung motivierten Modifikationen W̃_{λ,μ,ν} = \frac{1}{\sqrt{y}} W_{λ,μ}(νy) der Whittakerfunktionen die Gleichung:

( W̃_{λ,μ,ν} ; W̃_{λ,μ,ν} )′ = ( \begin{matrix}\frac{λ− \frac{1}{2}}{y} − \frac{ν}{2} & −\frac{μ^{2}−(λ− \frac{1}{2} )^{2}}{y} \\ −\frac{1}{y} & −\frac{λ− \frac{1}{2}}{y} + \frac{ν}{2} \end{matrix} ) ( W̃_{λ,μ,ν} ; W̃_{λ,μ,ν} )

Setzt man λ = \frac{1}{2} und μ = iE, dann ist μ^{2} − (λ − \frac{1}{2})^{2} = −E^{2} und zu den beiden Möglichkeiten ν = ±2p erhält man die Fundamentallösung

\frac{1}{\sqrt{y}} ( \begin{matrix}W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) & −\frac{1}{E} P W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) \\ \frac{1}{E} W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) & P W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) \end{matrix} )

der Gleichung für s und d und damit die Fundamentallösung

\frac{1}{2\sqrt{y}} ( \begin{matrix}W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) + \frac{1}{E} W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) & −\frac{1}{E} P W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) + P W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) \\ W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) − \frac{1}{E} W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) & −\frac{1}{E} P W_{\frac{1}{2} ,iE}(2py) − P W_{− \frac{1}{2} ,iE}(2py) \end{matrix} )

der Ausgangsgleichung für f_{1} und f_{2}. Je nach Vorzeichen von p ist eine der beiden Lösungen quadratintegrabel auf der Spitze.

6 Fourierblöcke der Diracoperatoren

Im letzten Kapitel wurden Eigenschnitte des Symbols der Diracoperatoren beschrieben. Die Idee des dort verfolgten Ansatzes war es, für jede irreduzibele Darstellung π von N den Raum π ⊗ Λ𝔰 in kleine Unterräume ℱ, die Fourierblöcke, zu zerlegen, die invariant unter den Operatoren A,AD_{(2)} und D_{(1)} sind. Die vollständige Zerlegung von π ⊗Λ𝔰 in zweidimensionale Fourierblöcke reduzierte die Frage nach Eigenschnitten des Symbols auf eine gewöhnliche Differentialgleichung in 2 Variablen. Als Fourierblock eines Diracoperators wird man in Analogie einen Unterraum ℱ bezeichnen, der invariant ist unter den Operatoren A, AD_{(2)} und D_{(1)} sowie D_{lin}. Selbst in den einfachsten Beispielen sind die Fourierblöcke dann nicht mehr zweidimensional, der Diracoperator auf den Spinoren des ℝH^{n+1} bildet hier wegen D_{$,lin} = 0 die Ausnahme. Entscheidend für den Erfolg dieses Ansatzes ist es dann, daß es für jede irreduzibele Darstellung π von N einen dichten Unterraum in π⊗Λ𝔰 gibt, der vollständig in orthogonale Fourierblöcke zerlegbar ist. Die Zerlegung in Fourierblöcke ℱ bestimmt eine Zerlegung von C^{∞}A ⊗ π ⊗ Λ𝔰 in Unterräume C^{∞}A ⊗ ℱ, auf jedem von diesen ist der Diracoperator nach Konstruktion bereits definiert, so daß sich die Frage nach Eigenschnitten des Diracoperators auf eine von ℱ abhängige gewöhnliche Differentialgleichung in M = dim ℱ Variablen reduziert. Denn nach Wahl einer Basis ψ_{1}, …, ψ_{M} von ℱ kann man für Eigenschnitte von D = D_{(0)} + D_{lin} + yD_{(1)} + y^{2}D_{(2)} den Ansatz

y^{∥R∥}f^{T} ψ := y^{∥R∥}((f_{1} ∘ y)ψ_{1} + ⋯ + (f_{M} ∘ y)ψ_{M}) mit f_{s} ∈ C^{∞}ℝ

angeben, sollen sie den Eigenwert E haben, so muß gelten:

D(y^{∥R∥}f^{T} ψ) = Ey^{∥R∥}f^{T} ψ
= y^{∥R∥}(y(f′)^{T} A · +f^{T} (D_{$,lin} + yD_{(1)} + y^{2}D_{(2)}))ψ

Das ist äquivalent zu der gewöhnlichen Differentialgleichung:

f′ = (\frac{1}{y} (ℳ_{lin} − E)ℳ_{A} + ℳ_{(1)}ℳ_{A} + yℳ_{(2)}ℳ_{A})^{T} f

Die ℳ sind dabei M × M-Matrizen, die die Operatoren A, D_{(1)}, D_{(2)} und D_{lin} auf dem Fourierblock ℱ beschreiben, zum Beispiel:

( Aψ_{1} ; ⋮ ; Aψ_{N} ) = ℳ_{A} ( ψ_{1} ; ⋮ ; ψ_{N} )

Die transponierten Matrizen ℳ^{T} beschreiben daher die Operatoren in den zu der Basis ψ_{1}, …, ψ_{M} gehörenden Koordinaten. Deshalb ist die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation ungewöhnlich, ℳ_{lin}ℳ_{A} etwa beschreibt den Operator AD_{lin}. Die Eigenwerte der die Differentialgleichung charakterisierenden Matrix sind für genügend großes C > 0 durch C(y + \frac{1}{y}) beschränkt. Somit sind alle Lösungen auf ganz ℝ_{+} definiert. Außerdem ist die Matrix spurfrei, weil die Matrix ℳ_{A} mit den anderen Matrizen antikommutiert und selber spurfrei ist. In den zu eindimensionalen Darstellungen π_{η}, η = ⟨P, ·⟩, mit P ∈ 𝔫_{(1)} gehörenden Räumen π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 ≅ ℂℓ 𝔰 ist AD_{(2)} = 0 und D_{(1)} operiert als Cliffordmultiplikation mit 2πiP. Der Raum ℂℓ 𝔰 kann trivialerweise in die orthogonale Summe von Fourierblöcken zerlegt werden, weil A, P und D_{lin} auf ihm eine selbstadjungierte Operatorenalgebra erzeugen, die den invertierbaren Operator A enthält. Im Prinzip muß man diese Zerlegung nun für jeden Vektor P beschreiben und dies kann erst gelingen, nachdem man das Zusammenspiel der Operatoren D_{lin} und P verstanden hat. Einfacher wird es, wenn die Gruppe der orthogonalen Automorphismen der Liealgebra 𝔫 transitiv auf den Einheitsvektoren von 𝔫_{(1)} operiert, denn diese Gruppe erhält die lediglich mit Metrik und Klammer definierten Diracoperatoren D_{$,lin} und D_{Λ,lin}, so daß alle von A, P und D_{lin} erzeugten Algebren konjugiert unter der Operation dieser Gruppe auf ℂℓ 𝔰 sind. Zum Schluß seien noch zwei Beispiele angegeben, in denen alle Fourierblöcke leicht zu beschreiben sind. Es handelt sich um die Diracoperatoren auf den Multivektoren des ℝH^{n+1} und auf den Spinoren des ℂH^{n+1}. Im ersten Beispiel muß man nur eindimensionale Darstellungen betrachten, ein Fourierblock ist dann ein Unterraum von Λ𝔰 ⊗ ℂ, der invariant ist unter den Operatoren A, P und

D_{Λ,lin}𝒩 = (\frac{n}{2} − k)A ∧ 𝒩 oder D_{Λ,lin}A ∧ 𝒩 = (\frac{n}{2} − k)𝒩

für 𝒩 ∈ Λ^{k}𝔫 ⊗ ℂ. Damit ist klar, daß jedes homogene 𝒩 mit P ⊥ 𝒩 = 0 einen Fourierblock bestimmt, der von 𝒩, A∧𝒩, P ∧𝒩 und A∧P ∧𝒩 aufgespannt wird. Um Λ𝔰 ⊗ ℂ orthogonal in Fourierblöckezu zerlegen, muß man also nur eine ONB von Kern P ⊥ in Λ𝔫 ⊗ ℂ wählen, die aus homogenen Vektoren besteht. Diese definieren orthogonale, durch ihren Grad 0 ≤ k < n charakterisierte Blöcke, die ganz Λ𝔰 ⊗ ℂ aufspannen und zu deren oben angegebener Basis die Differentialgleichung gehört:

f′ = ( \begin{matrix}−\frac{1}{y} (\frac{n}{2} − k) & \frac{E}{y} & 0 & −2πi ∥ P ∥^{2} \\ −\frac{E}{y} & \frac{1}{y} (\frac{n}{2} − k) & −2πi ∥ P ∥^{2} & 0 \\ 0 & 2πi & −\frac{1}{y} (\frac{n}{2} − k − 1) & \frac{E}{y} \\ 2πi & 0 & −\frac{E}{y} & \frac{1}{y} (\frac{n}{2} − k − 1) \end{matrix} ) f

Auf dem ℂH^{n+1} vergleiche man zunächst einmal den zweiten Summanden von D_{(1)}^{2} = −Δ_{(1)} ⊗ 1 + Z ⊗ Δ_{𝔫}Z mit dem linearen Operator D_{$,lin} = 1 ⊗ \frac{1}{4}ZΔ_{𝔫}Z. Gemeinsame Eigenvektoren unter Cliffordmultiplikation mit AZ und Δ_{𝔫}Z sind von der Form:

(AZ ±_{z} i) · (X_{1}Y_{1} ± i) · · · · · (X_{n}Y_{n} ± i) · ℂℓ {A, X_{s}}^{⊥}

Es wird sich zeigen, daß sich das nicht wesentlich von der im letzten Kapitel angegebenen Form gemeinsamer Eigenvektoren von AZ^{η} und Δ_{𝔫}Z^{η} unterscheidet, denn 𝔫_{(2)} ist eindimensional und deshalb gilt Z^{η} = ± ∥ η_{(2)} ∥ Z je nach Orientierung von Z^{η}. Sei wie zuvor 0 ≤ N ≤ dim 𝔫^{−} die Anzahl der (X_{s}Y_{s} − i)- Faktoren in diesem Ausdruck. Der Eigenwert unter Δ_{𝔫}Z· eines Eigenvektors 𝒩 dieser Form ist dann 2i(n−2N), benutzt man noch Z(AZ±_{z}i) = ∓_{z}iA(AZ±_{z}i), so erhält man:

D_{$,lin}𝒩 = \frac{1}{4}ZΔ_{𝔫}Z · 𝒩 = ±_{z}(\frac{n}{2} − N)A𝒩

Die Automorphismengruppe der Euklidischen Liealgebra 𝔫 enthält nun zumindest eine Kopie der unitären Gruppe, die auf dem Vektorraum 𝔫_{(1)} operiert, der die komplexe Struktur JX_{s} = Y_{s} trägt, denn sowohl Metrik als auch Klammer resultieren aus der hermiteschen Bilinearform:

(A, B) = ⟨A, B⟩ + i⟨Z, [A, B]⟩

Weil diese Kopie der unitären Gruppe transitiv auf den Einheitsvektoren von 𝔫_{(1)} operiert, kann man sich im Fall der eindimensionalen Darstellungen auf die Linearformen η =∥ η ∥ ⟨X_{1}, ·⟩ bescränken. Sei nun 𝒩 ∈ ℂℓ 𝔰 ein Eigenvektor unter Δ_{𝔫}Z zum Eigenwert 2i(n − 2N) wie oben und erfülle außerdem

AZ 𝒩 = i 𝒩 und X_{1}Y_{1} 𝒩 = i 𝒩

so daß:

D_{$,lin}𝒩 = (\frac{n}{2} − N)A𝒩

Dann gilt außerdem X_{1}Y_{1}(X_{1}𝒩) = −X_{1}(X_{1}Y_{1}𝒩). X_{1}𝒩 ist also immer noch Eigenvektor unter Δ_{𝔫}Z aber mit verändertem Eigenwert 2i(n − 2N − 2). Daraus folgt, daß die Vektoren 𝒩, A𝒩, X_{1}𝒩 und AX_{1}𝒩 einen Fourierblock der Dimension 4 aufspannen, genauer gilt

\begin{aligned}D_{$,lin}𝒩 & = & (\frac{n}{2} − N)A𝒩 \\ D_{$,lin}A𝒩 & = & (\frac{n}{2} − N)𝒩 \end{aligned}  \begin{aligned}D_{$,lin}X_{1}𝒩 & = & (\frac{n}{2} − N − 1)AX_{1}𝒩 \\ D_{$,lin}AX_{1}𝒩 & = & (\frac{n}{2} − N − 1)X_{1}𝒩 \end{aligned}

was in der oben angegebenen Basis zur Differentialgleichung führt:

f′ = ( \begin{matrix}−\frac{1}{y} (\frac{n}{2} − N) & \frac{E}{y} & 0 & −2πi ∥ η ∥ \\ −\frac{E}{y} & \frac{1}{y} (\frac{n}{2} − N) & −2πi ∥ η ∥ & 0 \\ 0 & 2πi ∥ η ∥ & −\frac{1}{y} (\frac{n}{2} − N − 1) & \frac{E}{y} \\ 2πi ∥ η ∥ & 0 & −\frac{E}{y} & \frac{1}{y} (\frac{n}{2} − N − 1) \end{matrix} ) f

Um ℂℓ 𝔰 orthogonal in Fourierblöcke zu zerlegen, wähle man eine ONB von Eigenvektoren 𝒩 unter Δ_{𝔫}Z, die AZ · 𝒩 = i𝒩 und X_{1}Y_{1} · 𝒩 = i𝒩 erfüllen. Zu diesen Basisvektoren gehören 4-dimensionale, orthogonale Fourierblöcke, die folglich bereits ℂℓ 𝔰 aufspannen.

Die Differentialgleichung eines solchen Blocks wird dann nur durch den Eigenwert 2i(n−2N) unter Δ_{𝔫}Z bzw. durch N charakterisiert, zu dem es nach obiger Konstruktion der Eigenvektoren von Δ_{𝔫}Z genau 2^{n+1}\binom{n−1}{N−1} Blöcke gibt. Nun betrachte man den Fall π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 mit einer unendlichdimensionalen Darstellung π_{η}, η_{(2)} ≠ 0. Der von Z und Y_{s} aufgespannte Raum ist dann eine Polarisierung 𝔫^{+}, dessen orthogonales Komplement 𝔫^{−} von den X_{s} aufgespannt wird. Diese Basen erlauben die konsistente Identifizierung mit der im letzten Kapitel benutzten ONB X_{s}^{−} ↔ X_{s} und X_{s}^{+} ↔ Y_{s} von 𝔫_{(1)}. Im folgenden betrachte man nur den Fall Z^{η} =∥ η_{(2)} ∥ Z, die Alternative Z^{η} = − ∥ η_{(2)} ∥ Z ist dazu konjugiert unter dem orthogonalen Automorphismus Z ↦ −Z, Y ↦ −Y von 𝔫. Gemeinsame Eigenvektoren von D_{(1)}^{2} und AD_{(2)} wurden im letzten Kapitel durch Tensorierung eines Produkt von Hermitefunktionen mit einem Vektor 𝒩 ∈ ℂℓ 𝔰 der Form

(AZ^{η} ±_{z} i ∥ η_{(2)} ∥) · (X_{1}^{−}X_{1}^{+} ± i) · · · · · (X_{n}^{−}X_{n}^{+} ± i) · ℂℓ {A, X_{s}^{−}}^{⊥}

gewonnen. Bis auf den Faktor ∥ η_{(2)} ∥ entspricht dies der oben angegebenen Form gemeinsamer Eigenvektoren von AZ und Δ_{𝔫}Z. Insbesondere wurde in beiden Fällen der Grad N als die Anzahl der (X_{s}Y_{s} −i) = (X_{s}^{−}X_{s}^{+} −i)-Faktoren in diesem Ausdruck definiert. Somit gilt für einen bihomogenen Vektor ψ mit AZ · ψ = ∓_{z}iψ:

D_{$,lin}ψ = ±_{z}(\frac{n}{2} − N)Aψ

Ist also ψ ein absolutes Vakuum und erfüllt AZ · ψ = iψ, dann spannen ψ und Aψ einen Fourierblock auf, zu dem in dieser Basis die Differentialgleichung

f′ = ( \begin{matrix}− \frac{\frac{n}{2}}{y} − 2π ∥ η_{(2)} ∥ y & \frac{E}{y} \\ −\frac{E}{y} & \frac{\frac{n}{2}}{y} + 2π ∥ η_{(2)} ∥ y \end{matrix} ) f

gehört. Nach Wahl einer ONB des Raums der absoluten Vakua mit Eigenwert i unter AZ erhält man so 2^{n+1} paarweise orthogonale Fourierblöcke. Auf dem orthogonalen Komplement wähle man eine ONB ψ bihomogener Vektoren des Eigenraums zum Eigenwert i unter AZ im Bild von δ^{†}. Dann spannen ψ, Aψ, δψ und Aδψ einen 4-dimensionalen Fourierblock auf, dessen Differentialgleichung

f′ = ( \begin{matrix}− \frac{\frac{n}{2} −N}{y} − Cy & \frac{E}{y} & 0 & 8C̃(K + N) \\ −\frac{E}{y} & \frac{\frac{n}{2} −N}{y} + Cy & 8C̃(K + N) & 0 \\ 0 & C̃ & − \frac{\frac{n}{2} −N+1}{y} − Cy & \frac{E}{y} \\ C̃ & 0 & −\frac{E}{y} & \frac{\frac{n}{2} −N+1}{y} + Cy \end{matrix} ) f

mit C = 2π ∥ η_{(2)} ∥ und C̃ = \sqrt{π ∥ η_{(2)} ∥} durch den Bigrad (K, N) von ψ charakterisiert wird. Dadurch wird das orthogonale Komplement der absoluten Vakua in dem dichtem Unterrraum Γ_{0}𝔫^{−} ⊗ ℂℓ 𝔰 vollständig in paarweise orthogonale Blöcke zerlegt.

Diese Beschreibung der Zerlegung des dichten Unterraums Γ_{0}𝔫^{−} ⊗ ℂℓ 𝔰 von π_{η} ⊗ ℂℓ 𝔰 in Fourierblöcke in Falle der Spinoren auf komplex-hyperbolischen Räumen führt zu der Vermutung, daß sich dieser dichte Unterraum auch noch für andere Diracoperatoren – etwa für die geometrisch definierten – für jede Darstellung π_{η} vollständig in orthogonale Blöcke zerlegen läßt. In diesen Fällen läßt sich das Studium der Fourierblöcke und der zugehörigen Differentialgleichungen in keinen Fall umgehen. Denn so wie man einen Eigenschnitt des Diracoperators auf den Horosphären in seine Komponenten in den irreduzibelen Darstellungen von N zerlegen kann, so kann man diese dann weiter in ihre Komponenten in den Fourierblöcken dieser Darstellungen zerlegen. Jede Komponente in jedem Block löst dann die zu diesem Block gehörende Differentialgleichung, weil alle Blöcke invariant unter dem Diracoperator sind und sich deshalb nicht beeinflußen können. Selbst wenn es nicht möglich ist, diese Gleichungen für alle Fourierblöcke explizit zu lösen, kann man mit einer vollständigen Zerlegung in Fourierblöcke bereits Aussagen über die Multiplizitäten des Spektrums des Diracoperators machen.

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