Descomposiciones algebraicas y combinatorias de grupos Fuchsianos

Resumen:

Los subgrupos discretos de PSL_2(R) reciben frecuentemente el nombre de 'grupos Fuchsianos'. Para grupos Fuchsianos \Gamma cuya acción en el plano hiperbólico H es libre, el espacio de órbitas H/\Gamma tiene una estructura canónica de superficie de Riemann con una métrica hiperbólica, mientras que si la acción de \Gamma en H no es libre, entonces H/\Gamma tiene estructura de 'orbifold' u 'orbidad'. En la primera situación, hay una relación directa y clara entre \Gamma y el grupo fundamental \pi_1(H/\Gamma,x): un teorema de la teoría de espacios cubrientes afirma que son isomorfos. Cuando la acción de \Gamma no es libre, la relación entre \Gamma y \pi_1(H/\Gamma,x) es más sutil. Un teorema de Armstrong de 1968 afirma que hay una sucesión exacta corta 1->E->\Gamma->\pi_1(H/\Gamma,x)->1, donde E es el subgrupo de \Gamma generado por sus elementos elípticos.

Para \Gamma finitamente generado, no elemental y con al menos un elemento parabólico, presentaré descomposiciones algebraicas y combinatorias completas de \Gamma en términos de \pi_1(H/\Gamma,x) y un subgrupo finitamente generado específico de E, mejorando así el teorema de Armstrong al presentar \Gamma como un producto semidirecto.

Esta exposición está basada en un proyecto conjunto con Sibylle Schroll y Yadira Valdivieso-Díaz que busca describir las categorías derivadas de álgebras con sesgo gentil ("skew-gentle algebras") en términos de curvas sobre superficies con puntos orbifold de orden 2.

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