Invariante-$j$ Cuántico, Campos de Clase de Hilbert y Curvas Elípticas Cuasicristalinas

Resumen:

El {\bf invariante-$\boldsymbol j$ cu\'{a}ntico} se defini\'{o} en \cite{CG} \[ j^{\rm qt}: \R\multimap \R\cup \{ \infty\} \]
como una funci\'{o}n  {\it multi-valuada} de los n\'{u}meros reales, que es {\it discontinua} y {\it modular} (es decir, invariante con respeto a la acci\'{o}n proyectiva-lineal del grupo ${\rm GL}_{2}(\Z )$ en $\R$).  Si $\uptheta$ es un n\'{u}mero cu\'{a}dratico y real, evidencia experimental (Zagier, Pink) sugiere que $j^{\rm qt}(\uptheta )$
es un conjunto de Cantor.  La conjetura principal (ver \cite{DGIII}) es que la esperanza multiplicativa de los valores de $j^{\rm qt}(\uptheta )$ genera el campo de clase de Hilbert  $H_{K}$ del campo $K=\Q (\uptheta )$.  As\'{\i} que la conjetura afirmada dar\'{\i}a una soluci\'{o}n del duod\'{e}cimo problema de Hilbert \cite{Schapp}
para la familia de extensiones cuadr\'{a}ticas reales de $\Q$, an\'{a}loga al soluci\'{o}n dada para extensiones cuadr\'{a}ticas complejas, usando la teor\'{\i}a de multiplicaci\'{o}n compleja de curvas el\'{\i}pticas \cite{Sil}. La conjetura es un teorema para extensiones cu\'{a}draticas y reales de ${\bf Q} :=\F_{q}(T)$, $\F_{q}$ el campo finito de $q$ elementos, ver \cite{DGIII}. Damos un bosquejo de la demostraci\'{o}n del \'{u}ltimo y indicamos una estrategia para adaptar la demostraci\'{o}n al caso de campos num\'{e}ricos usandonuna noci\'{o}n {\it cuasicristalina} de curva el\'{\i}ptica \cite{GLL}. 

\begin{thebibliography}{00}
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