Milnor Fibration to family of mixed weighted homogeneous polynomials

Resumen:

Em $[1]$ foi iniciado o estudo para garantir a existência das fibrações de Milnor e Milnor-Lê ($[2]$, $[3]$) da seguinte função analítica real
$$\psi_{F,X}(z):= <F(z),X(z)> =\sum^{n}_{j=1}F_j(z) \overline{X_j(z)} = \sum^n_{j=1} k_j \overline{t_j}z_{\sigma_j}^{a_j}\overline{z_j}^{b_j},$$

com $F, X$ campo de vetores holomorfos definidos por
$$F(z) = (k_1z_{\sigma_1}^{a_1}, \cdots, k_nz_{\sigma_n}^{a_n}) \ \ \ X(z) = (t_1z_1^{b_1}, \cdots, t_nz_n^{b_n}),$$
onde $k_j, t_j \in \mathbb{C}^*$ e $a_j, b_j \in \mathbb{Z}^+, j = 1, \cdots, n$ e $\{\sigma_1, \cdots, \sigma_n\}$ uma permutação do conjunto $\{1, \cdots, n\}$. Quando essa família de funções mistas tem singularidade isolada foi exibido a existência das fibrações de Milnor e Milnor-Lê $[4]$.

Trabalhamos com as funções analíticas reais com valor crítico não isolado, ou seja,
$$\psi_{F,X}(z):=  \sum^n_{j=1} k_j \overline{t_j}z_{j}^{a_j}\overline{z_j}^{b_j},$$
com $a_j = b_j$ para pelo menos um $j$ e $a_j \neq b_j$ para ao menos um $j$. Concluímos a existência das fibrações de Milnor e Milnor-Lê, usando alguns resultados do preprint $[1]$.

Referências

$[1]$ J.L. Cisneros-Molina, A. Menegon, J. Seade and J. Snoussi, The $d_h$-regularity for real analytic map-germs. Preprint.

$[2]$ D.T. Lê, Some remarks on relative monodromy. In em Real and complex singularities Proc. Ninth Nordic
Summer School/NAVF Sympos. Math., Oslo, 1976, p. 397-403.
Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn, 1977.

$[3]$ J. Milnor, Singular points of complex hypersurfaces. Annals of Mathematics Studies, No. 61 Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1968.

$[4]$ M. A. S. Ruas, J. Seade, A. Verjovsky, On real singularities with a Milnor fibration.  Trends in singularities, Trends Math., Birkhauser, Basel, (2002), p.191-213.

Compartir este seminario