La combinatoria en el Problema de Producto de Sumas de Cuadrados

Resumen:

El problema de producto de sumas de cuadrados aparece como tal  después de que Hamilton descubre los Cuaternios (dimensión 4) en su intento de generalizar los complejos (dimensión 2) a tres dimensiones.  Graves y Cayley independientemente generalizan los Cuaternios a los Octonios (dimensión 8)  y  al menos Cayley intenta  infructuosamente  extender los octonios a dimensión 16.  Hurwitz prueba en 1898 que tal extensión es imposible.  Es decir que los  reales , los  complejos, los  cuaternios y los  octonios  son las únicas algebras normadas.  Es decir, que son espacios vectoriales dotados de un producto (forma bilineal) y además que el producto del módulo de dos elementos es igual al módulo de su producto.

Hurwitz generalizó el problema a composición de formas cuadráticas en dimensiones distintas y obtuvo independientemente de Radón lo que ahora se conoce como el teorema de Hurwitz-Radon.  En México José Adem dedicó buenos años de su vida a este problema publicando sus resultados en el Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana e invitando a sus colegas a que hicieran lo mismo.

En la plática, platicaremos del caso en el que la forma bilineal que define el producto tiene coeficientes enteros.  Mostraremos como la combinatoria juega un papel importante en el entendimiento del problema. En particular mostraremos la forma en que aparecen matroides y gráficas en superficies. 

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