Resumen:
Presentaremos una teoría algebraica de los números reales
con la cual es posible hacer una síntesis de la teoría de números
algebraicos y la teoría de números transcendentes. Esto se hace
por medio del grupo de aproximaciones diofantinas de un número real
\(\theta\): un subgrupo \({}^{\ast}\mathbb{Z}(\theta )\) de \({}^{\ast}\mathbb{Z}\) = un
ultra producto de \(\mathbb{Z}\) que es
un ideal si y solo si \(\theta\in\mathbb{Q}\). Discutiremos la aritmética ideológica de los grupos \({}^{\ast}\mathbb{Z}(\theta )\) así como generalizaciones obtenidas al remplazar \(\mathbb{Z}\) por el anillo de polinomios \(\mathbb{Z}[X]\) o el
anillo de enteros de una extensión finita \(K/\mathbb{Q}\). Clasificaremos ciertas conjuntos de números (los malamente aproximables, bien aproximables y de Liouville; las clases de Mahler) en términos de la componibilidad de sus grupos de
aproximaciones diofantinas. Terminaremos con una discusión del
conjunto de clases ideologicas y su conexión con el grupo de
clases de ideales.
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