Métodos analíticos en el estudio de estabilidad espectral y modulacional de ondas periódicas

Resumen:

Fenómenos ondulatorios con cierta periodicidad ocurren frecuentemente en las ciencias naturales. Una onda periódica se define como una función periódica de una variable (la variable galileana o de traslación) que se mueve con velocidad constante. Una cuestión fundamental sobre ondas periódicas es su estabilidad, es decir, la propiedad de que el tren de onda persista bajo perturbaciones controladas. En esta charla discutiré una nueva tendencia en el estudio de estabilidad de ondas periódicas que es, a saber, el uso de la función de Evans para determinar la estabilidad espectral y la estabilidad modulacional del tren de onda. La primera se define como la propiedad de que el operador linealizado alrededor de la onda no tenga valores propios con parte real positiva. Por otra parte, la teoría de modulaciones de Whitham (1965) es una teoría física, formal, que consiste en establecer la hiperbolicidad de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que gobierna "modulaciones" pequeñas de los parámetros de la onda. La relación entre ambos conceptos fue entendida, sin embargo, hasta hace muy poco, gracias a técnicas que involucran la función de Evans (véanse los trabajos de Bronski y Johnson (2009), y Johnson y Zumbrun (2010) sobre la ecuación de Korteweg-de Vries generalizada, así como los de Jones, Marangell, Miller y Plaza (2013, 2014), para ecuaciones tipo Klein-Gordon nolineales). El paradigma que utilizaré para ilustrar el método de la función de Evans será la ecuación de sine-Gordon.

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