Resumen:
Consideraremos una foliación integrable dada por \(dF=0\) con \(F\in \mathbb{R}[x,y]\), y un anillo en \(\mathbb{R}^2\) foliado por una familia de órbitas periódicas \(\delta(z)\subset F^{-1}(z)\) para \(z\) en la vecindad de un valor regular de \(F\). Al realizar una perturbación \(dF+\varepsilon\eta=0\), con \(\eta\) 1-forma polinomial y \(\varepsilon\in(\mathbb{R},0)\), varias de las órbitas periódicas \(\delta(z)\) pueden romperse dando lugar al surgimiento de ciclos límite.
Para estudiar el comportamiento de las órbitas en la perturbación,
consideramos la transformación de Poincaré de \(dF+\varepsilon\eta=0\) respecto a un ciclo \(\delta(z)\), para \(\varepsilon=0\): \(\Delta(z,\varepsilon)=z+I_1(z)\varepsilon+I_2(z)\varepsilon^2+\cdots\).
Se puede probar que \(I_1(z)\) es siempre una integral abeliana dada por \(\int_{\delta(z)\subset F^{-1}(z)} \eta \). Diremos que \(\delta(z_0)\) es una órbita periódica de tipo centro tangencial si \(\int_{\delta(z)\subset F^{-1}(z)} \eta\equiv 0\) para \(z\) en
una vecindad de \(z_0\) (estos ciclos pueden pensarse como aquellos que después de la perturbación preservan un centro en una primera variación).
Dado un ciclo \(\delta(z)\), nos interesa caracterizar la $\eta$ en la perturbación tal que \(\delta(z)\) sea un centro tangencial, esto también es conocido como el problema tangencial del centro.
El objetivo de esta plática es exponer las ideas de la prueba de
Ilyashenko del caso genérico y mencionar algunos casos no genéricos.
Compartir este seminario
