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2018-11-18  11:06 hrs.

Rigidez real-formal de foliaciones analíticas reales

Jessica Jáurez
IMATE Ciudad Universitaria


Dado un campo vectorial en \(\mathbb{R}^2\) definido alrededor de una singularidad nos interesa saber cómo se ve el retrato fase del campo bajo cambios de coordenadas. En el caso particular de que el campo sea analítico real son importantes los cambios de coordenadas que respeten su estructura analítica, es decir, aquellos inducidos por difeomorfismos analíticos reales. Dentro de la clase de gérmenes de campos analíticos reales dichos cambios de coordenadas inducen una relación de equivalencia. Una de las preguntas que surgen es: ¿cuándo dos gérmenes de campos están en la misma clase de equivalencia? En el caso de que la singularidad sea degenerada lo siguiente nos ayudará a dar una respuesta a esta pregunta: Consideremos \(v, w : (\mathbb{R}^2, 0) \longrightarrow (\mathbb{R}^2, 0)\) dos gérmenes de campos vectoriales analíticos reales que no tienen parte lineal en el origen (es decir, el origen es una singularidad degenerada). Diremos que son real-analítico orbitalmente equivalentes si existe un germen de difeomorfismo analítico real \(H: (\mathbb{R}^2, 0) \longrightarrow (\mathbb{R}^2, 0)\) que lleve la foliación inducida por \(v\) en la foliación inducida por \(w\), que es equivalente a que exista un germen de función escalar analítica real \(K: (\mathbb{R}^2, 0) \longrightarrow \mathbb{R}\) que no se anula en el origen y satisface \(w = K H_{*}(v)\) (es decir, salvo \(K\) el germen \(w\) es el pushforward de \(v\) bajo \(H\)). Si en la igualdad anterior \(H\) y \(K\) sólo son series formales con coeficientes en los reales, diremos que \(v\) y \(w\) son real-formal orbitalmente equivalentes. Una condición necesaria para la equivalencia real-analítica orbital es la equivalencia real-formal orbital. En la plática veremos que bajo condiciones genéricas la equivalencia real-formal orbital también es una condición suficiente. Llamaremos a dicho fenómeno Rigidez real-formal orbital.


 
 
 

Palapa Guillermo Torres -- Jueves 24 de abril de 2014, 16:00 horas


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