Objetivos: Que los alumnos terminen con una idea clara de lo que es un pensamiento lógico y matemático. Ver las nociones básicas e importantes del álgebra desde distintos puntos de vista y aplicaciones.

1. Intuición y demostración. Introducción y un poco de historia del pensamiento matemático por medio de ejemplos concretos. Qué es "Demostrar" en Matemáticas. Ejercicios de demostración matemática.

2. Lógica matemática y paradojas. Lenguaje matemático básico, ejercicios. Demostraciones usando correctamente el lenguaje matemático. Ejercicios "problemáticos" y errores lógicos. Paradojas y juegos lógicos.

3. álgebra básica. Nociones importantes. La 'vida real' enfocada desde el punto de vista matemático y viceversa.

4. Algebra lineal y sus aplicaciones. Sus nociones y resultados más importantes enfocados desde distintos puntos de vista (algebraico, geométrico, físico; teoría de matrices y sistemas de ecuaciones lineales). Aplicaciones de la Teoría de Matrices. Aplicaciones que dependerán de las inquietudes de l@s alumn@s (pueden ser en Física, Biología, otras áreas de las Matemáticas, etc).

5. Grupos y aplicaciones.

6. Taller de ejercicios y problemas.

El curso trata algunos temas selectos de la geometría y sus relaciones con otras áreas de las matemáticas como la lógica, el álgebra, el cálculo y la combinatoria.

Geometría y lógica. Geometría euclidiana. Axiomas y postulados. Triángulos y círculos. Secciones cónicas. Teorema de Desargues. Los axiomas faltantes. Geometría esférica

Simetrías. Polígonos y mosaicos. Grupos de simetría. Espacios de órbitas. Poliedros y cristales. Sólidos platónicos. Invariantes: Característica de Euler y Teorema de Dehn.

Geometría con coordenadas. Ecuaciones y parametrizaciones. Curvas y ecuaciones algebraicas. Mas dimensiones. Transformaciones lineales e invariantes algebraicos.

Geometría y cálculo. ángulos, longitudes, áreas y volúmenes. Curvas y Superficies. Curvatura. Transformaciones y diferenciales. Geometría intrínseca y extrínseca. Geometría hiperbólica

Geometría y percepción. Perspectiva, proyecciones. El plano proyectivo y el espacio proyectivo. Invariantes. Razón cruzada. Visión y curvatura.

Este curso pretende dar una visión panorámica de la optimización y de su poder como herramienta de modelación de problemas reales, de tal forma que el alumno obtenga una visión clara del área. Por otra parte se trata de un curso introductorio por lo que en muchos temas no se entrará a profundidad. Sin embargo se presentarán algunos resultados teóricos con sus demostraciones, las cuales son representativas del área. En este curso abordaremos una serie de problemas de optimización que surgieron de la práctica y de algunos desarrollos matemáticos. Tales problemas se irán abordando en orden creciente de complejidad.

Temario:

1. Optimización sin restricciones. Problemas: Ajuste de curvas usando mínimos cuadrados y el problema generalizado de Fermat conocido también como problema de Weber.

2. Optimización con restricciones de igualdad. Problemas surgidos de la economía y de la geometría.

3. Programación Lineal. Ajuste de curvas con norma L1. El problema de flujo con ganancias.

4. Programación Cuadrática Convexa. El modelo de optimización de cartera de Markowits.

5. Programación Convexa. El problema de eigenvalores.

6. Programación entera. El poder de modelación de la programación entera: Sistemas de pagos de alto valor.