Grupos modulares sobre los cuaternios y sus correspondientes orbifolds y variedades hiperbólicas de dimensión 4.

Usando los anillos de enteros de Lipschitz y Hurwitz en el álgebra de división de los cuaternios definimos varios grupos Kleinianos discretos de isometrías del espacio hiperbólico de dimensión 4. Estos son los análogos de los grupos Modulares y de Picard.

Los cocientes son orbifolds hiperbólicos de dimensión 4. Es un trabajo en colaboración con Juan Pablo Díaz y Fabio Vlacci.

Equivariant compactifications of the homogeneous spaces of $PSL(2,C)$.

We will talk about a (not so new) result that classifies the compact complex threefolds where $PSL(2,C)$ acts with a three dimensional orbit (the stabiliser of which is a Kleinian group). Some of these threefolds are quotients of open sets of the projective space of dimension three under the action of a group of projective transformations (a complex Kleinian group).

An overview of the Koranyi-Reimann theory of quasiconformal mappings in the Heisenberg group and some recent developments.

Based on the celebrated results of Mostow concerning rigidity, Korányi and Reimann developed in the 80's a robust theory on quasiconformal mappings in the Heisenberg group, thus generating a sub-Riemannian counterpart of the Ahlfors-Bers theory of quasiconformal mappings in the complex plane. In this talk we review the most notable results of this theory, stressing on its similarities as well as its differences with the classical case. Moreover, we present several directions at which the theory has been generalised and is under an ongoing research. We conclude the talk by stating recent results on extremal quasiconformal mappings; those seem to be of much importance concerning the holy grail of the area: To apply the Korányi-Reimann theory to the complex quasi-Fuchsian space of a closed surface of genus g>1.

PS. The talk is based on a survey paper of mine which is to be published in handbook of teichmüller Theory, Vol. VI, 2016
http://arxiv.org/abs/1510.02369

An overview of Complex Schotty Groups.

Schottky groups gives to the Kleinian group theory a kind of groups with a special behavior and interesting properties.

The notion of Schottky groups was extended to higher dimensions by M.V. Nori in 1986. A few years later, J. Seade and A. Verjovsky, developed the concept of Schotty groups of complex projective transformations, from where result the definition of a Complex Schotty group.

In this talk we will talk about how those groups are constructed, what kind of dynamics they have and some of its properties.

De los cerrados en el plano complejo proyectivo y los grupos tipo Schottky.

Los grupos de Schottky son grupos libres que actúan en espacios topológicos de forma discontinua y preservando una dinámica tipo ping-pong. Clásicamente se definen subgrupos de $PSL(2, \mathbb{C})$ actuando en la esfera de Riemann. Sin embargo se pueden encontrar subgrupos de $PSL(3, \mathbb{C})$ actuando en el plano complejo proyectivo, $P_2^{\mathbb(C)}$ con esta misma dinámica. Veremos una aplicación de los subgrupos tipo Schottky de los automorfismos $P_2^{\mathbb(C)}$ para encontrar relación entre un subconjunto cerrado del espacio y el conjunto límite de algún grupo.

Funciones de Morse con valores en $S^1$ sobre exteriores de nudos.

Para estudiar una 3-variedad $M$ es útil considerar funciones de Morse sobre $M$ con valor en los reales, donde $M$ tiene una estructura diferenciable. Una función de Morse sobre $M$ induce una descomposición en asas para $M$, tales asas están en correspondencia con los indices de los puntos críticos de la función. Scharlemann y Thompson introdujeron el concepto de descomposición delgada para una 3-variedad, ésta es básicamente una descomposición en asas, pero con la propiedad de que los niveles regulares entre dos conjuntos 1-asas y 2-asas sean superficies incompresibles o débilmente incompresibles.

Ahora si una 3-variedad satisface que $H^1(M;\mathbb{Q})\neq0$, existe una función de Morse sobre la variedad que toma valores en $S^1$, además podemos encontrar funciones de Morse que solo tienen puntos críticos de índice 1 y 2, y obtener una descomposición en asas circular. Un ejemplo de variedades que admiten tal descomposición son los exteriores de nudos en $S^3$, en este caso los niveles regulares intermedios corresponden a superficies de Seifert.

En esta charla platicaré de algunos resultados acerca de descomposiciones circulares para exteriores de nudos.

Islas y Orbifolios.

La plática es sobre el "teorema de las cinco islas" de Ahlfors. Este teorema ha sido muy importante en dinámica homomorfa transcendente, y es el equivalente al segundo teorema de Nevanlina. Sin embargo, la demostración de Ahlfors es poco clara para mi. Así que trataremos de dar una demostración más geométrica, basada en la teoría de orbifolios y cubrientes de dimensión 2.

Discreteness of complex hyperbolic triangle groups.

Complex hyperbolic triangle groups are quite different from real hyper- bolic triangle groups, which are always discrete. And the space of complex hyper- bolic triangle groups is 1-real dimensional. It is not easy to show a group to be discrete. At this talk we will start with characterizing Dirichlet domains and Ford domains of cyclic groups generated by regular elliptic or loxodromic element, then will use Klein's combination theorem to find the conditions of some kinds of triangle groups to be discrete. After that, Poincare's polyhedron theorem as vital important tool to verify the discreteness of a subgroup will be considered. The polyhedron we construct is bounded by bisectors. We will see a particular form originally proposed by Mostow. One can prove it in the same fashion with real hyperbolic case. Then we will apply it to investigation of the discrete and faithful representations of complex hyperbolic triangle groups.

Classifying spaces for families of the mapping class group.

For a group $G$, a \textit{family $\mathcal{F}$ of subgroups of $G$ is a set of subgroups of $G$ which is closed under conjugation and taking subgroups. A model for the classifying space $E_{\mathcal{F}}G$ for a family $\mathcal{F}$ of the group $G$ is a terminal object in the $G$-homotopy category of $G$-CW complexes whose isotropy groups belong to $\mathcal{F}$. Motivated by the Baum-Connes and Farrell-Jones Conjectures, there is a particular interest to study classifying spaces for the families of finite and virtually cyclic subgroups.
Let $S$ be a compact surface with finitely many punctures and negative Euler characteristic. The mapping class group of $S$ is the group of isotopy classes of orientation preserving diffeomorphisms of $S$ that fix point-wise the boundary, which is denoted by $\Gamma(S)$.
It is well-known that the Teichm\"uller space $\mathcal{T}(S)$ is a model for the classifying space for the family of finite subgroups of the mapping class group $\Gamma(S)$.
In this talk we will see that $\Gamma(S)$ admits a finite dimensional model for the classifying space for the family of virtually cyclic subgroups and we will provide an upper bound for the dimension.

McMullen Algorithm implementation for Schottky groups.

In this talk we will introduce the McMullen's algorithm to calculate the Hausdorff dimension of the limit set of a classic Schottky group, we will give some examples of the implemented algorithm and some scopes generalities.

Geometría de espacios simétricos.

Los Espacios simétricos son generalizaciones de grupos de Lie y de variedades como las esferas y los espacios hiperbólicos. La geometría de espacios simétricos es determinada por fórmulas universales, que generalizan la trigonometría plana, elíptica y hiperbólica en dos dimensiones. Desgraciadamente estas fórmulas son en general demasiado complicadas para comprender la geometría de un espacio simétrico en general. En mi plática quiero presentar unas de estas fórmulas generales y su simplificaciones en el caso de espacios simétricos de rango 1.

Grupos fuchsianos infinitamente generados en el monstruo del lago Ness.

En esta charla presentamos de manera explicita un grupo Fuchsiano que permite generar una superficie hiperbólica homeomorfa al monstruo del lago Ness, y mostraremos como generalizar esto para otras superficies no compactas con genero infinito.

Grupos de Veech en superficies de género infinito.

En la década de los ochenta W. Veech asoció a cada superficie de translación un subgrupo de $GL_{+}(2,\mathbb{R})$, llamado posteriormente el grupo de Veech. Dicho grupo despertó la siguiente pregunta que aún sigue abierta: ¿cuáles grupos Fuchsianos se pueden realizar como grupos de Veech de alguna superficie compacta?.

Nosotros presentaremos la realización de varios grupos Fuchsianos como grupos de Veech de superficies no compactas e.g., el monstruo del lago Ness y el árbol florido de Cantor.

Sobre el grupo modular $PSL(2,\Bbb{Z})$ y el grupo de Picard $PSL(2,\Bbb{Z}[i])$.

En esta plática se describen las acciones en los espacios hiperbólicos de dimensión 2 y 3 de los grupos aritméticos $PSL(2,\Bbb{Z})$ y $PSL(2,\Bbb{Z}[i])$, sus dominios fundamentales y teselaciones invariantes, sus gráficas de Cayley y presentaciones algebraicas así como la geometría y topología de sus orbidades. Además describiremos algunas de sus variedades hiperbólicas cubrientes como los complementos en la 3-esfera de los enlaces de Whitehead y de los anillos borromeanos.

Geometría del espacio de anti-de Sitter tridimensional.

El espacio de anti-de Sitter es un modelo de espacio lorenziano, y es un ejemplo de modelo cosmológico. Es el análogo lorenziano del espacio hiperbólico y, en particular, el espacio de anti-de Sitter de dimensión cinco, tiene aplicaciones en la física.

Se describe la geometría del espacio de anti-de Sitter de dimensión tres, que se puede representar como $PSL(2, R)$, y se comparan sus propiedades geométricas, vistas en este modelo, con las mismas, pero presentadas con un encaje en $\mathbb{R}^{2,2}$, haciendo incapié en las relaciones con geometría hiperbólica.

Grupos kleinianos elementales.

En este charlas discutiremos los diferentes tipos de grupos elementales que hay en los grupos kleinianos complejos y daremos unos avances sobre su clasificación.

Around Wild Knots.

On Poincaré Extensions of Rational Maps.